Winkelpaare an Geradenkreuzungen

Winkelpaare an Geradenkreuzungen Übung

• Gib an, um welche Winkelpaare es sich handelt.

  Tipps

  Hier sind $\alpha$ und $\beta$ Stufenwinkel.

  Nebenwinkel und Scheitelwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden kreuzen.

  Lösung

  An Geradenkreuzungen entstehen Winkel. Wir unterscheiden dabei folgende Winkelpaare:

  • Nebenwinkel sind zwei Winkel, die am Geradenschnittpunkt direkt nebeneinanderliegen. Die Summe der beiden Nebenwinkel ergibt immer $180^\circ$.

  • Scheitelwinkel liegen an der Geradenkreuzung gegenüber. Scheitelwinkel sind gleich groß.

  
  

  Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, so entstehen dabei folgende weitere Winkelpaare:

  • Stufenwinkel liegen auf der gleichen Seite der Schnittgerade und auf der gleichen Seite der Parallelen. Stufenwinkel sind gleich groß.

  • Wechselwinkel liegen einander in der Form des Buchstaben Z gegenüber, sie befinden sich also an unterschiedlichen Seiten der Schnittgerade und der Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß.

• Bestimme die Winkel.

  Tipps

  $\alpha$ und $\beta$ sind Scheitelwinkel.

  In der Abbildung kannst du erkennen: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ sind spitze Winkel, $\epsilon$ hingegen ist ein stumpfer Winkel.

  Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, so entstehen dabei Wechselwinkel. Sie liegen einander in der Form des Buchstaben Z gegenüber, sie befinden sich also an unterschiedlichen Seiten der Schnittgerade und der Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß.

  Lösung

  Wir können die fehlenden Winkel an den Geradenkreuzungen mithilfe von Nebenwinkeln, Scheitelwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln bestimmen:

  • $\beta$ ist Scheitelwinkel von $\alpha$. Daher gilt: $\beta = \alpha = 47^\circ$

  • $\gamma$ ist Wechselwinkel von $\beta$. Daher gilt: $\gamma = \beta = 47^\circ$

  • $\delta$ ist Wechselwinkel von $\gamma$ und Stufenwinkel von $\beta$. Daher gilt: $\delta = \gamma = \beta = 47^\circ$

  • $\epsilon$ ist Nebenwinkel von $\delta$. Daher gilt: $\epsilon = 180^\circ - \delta = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$

• Bestimme die fehlenden Winkel.

  Tipps

  $\beta$ und $\delta$ sind Scheitelwinkel.

  Lösung

  In der Skizze schneidet die Gerade $m$ die beiden parallelen Geraden $k$ und $l$. Dadurch entstehen Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel:

  • $\alpha$ ist Stufenwinkel vom $60^\circ$-Winkel. Daher gilt: $\alpha=60^\circ$

  • $\beta$ ist Nebenwinkel vom $60^\circ$-Winkel. Daher gilt: $\beta=180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

  • $\gamma$ ist Scheitelwinkel von $\alpha$. Daher gilt: $\gamma = \alpha=60^\circ$

  • $\delta$ ist Scheitelwinkel von $\beta$. Daher gilt: $\delta = \beta =120^\circ$

• Ermittle die Winkel.

  Tipps

  • Scheitelwinkel sind gleich groß.
  • Nebenwinkel bilden zusammen $180^\circ$.
  • Stufenwinkel sind gleich groß.
  • Wechselwinkel sind gleich groß.

  $\alpha_5$ ist Stufenwinkel vom $75^\circ$-Winkel.

  Lösung

  Wir ermitteln die fehlenden Winkel mithilfe der Winkelpaare. Dabei gilt:

  • Scheitelwinkel sind gleich groß.
  • Nebenwinkel bilden zusammen $180^\circ$.
  • Stufenwinkel sind gleich groß.
  • Wechselwinkel sind gleich groß.

  Somit ergibt sich:

  $\alpha_2$ ist Stufenwinkel vom $63^\circ$-Winkel, daher gilt: $\alpha_2 = 63^\circ$
  $\alpha_5$ ist Stufenwinkel vom $75^\circ$-Winkel, daher gilt: $\alpha_5 = 75^\circ$
  $\alpha_4$ ist Nebenwinkel vom $\alpha_5$, daher gilt: $\alpha_4 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$
  $\alpha_3$ ist Nebenwinkel vom $\alpha_2$, daher gilt: $\alpha_3 = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$
  $\alpha_1$ ist Scheitelwinkel des Winkels zwischen $63^\circ$ und $75^\circ$. Daher gilt: $\alpha_1 = 180^\circ - 75^\circ - 63^\circ = 42^\circ$

• Beschreibe die Zusammenhänge der Winkelpaare.

  Tipps

  Einen $180^\circ$-Winkel nennen wir auch gestreckten Winkel.

  Lösung

  Schneiden sich zwei Geraden, entstehen folgende Winkel:

  Nebenwinkel sind zwei Winkel, die am Geradenschnittpunkt direkt nebeneinanderliegen. Die Summe der beiden Nebenwinkel ergibt immer $180^\circ$.

  Nebenwinkel liegen nebeneinander und bilden zusammen einen gestreckten Winkel. $\mapsto$ Diese Aussage ist also richtig.

  Scheitelwinkel liegen an der Geradenkreuzung gegenüber. Scheitelwinkel sind gleich groß.

  Scheitelwinkel findet man an zwei parallelen Geraden. $\mapsto$ Diese Aussage ist also falsch. Man findet Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden.

  
  

  Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, so entstehen folgende Winkelpaare:

  Stufenwinkel liegen auf der gleichen Seite der Schnittgerade und auf der gleichen Seite der Parallelen.

  Stufenwinkel sind gleich groß. $\mapsto$ Diese Aussage ist richtig.

  Wechselwinkel liegen einander in der Form des Buchstaben Z gegenüber, sie befinden sich also an unterschiedlichen Seiten der Schnittgerade und der Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß.

  Wechselwinkel ergeben zusammen $360^\circ$. $\mapsto$ Diese Aussage ist also falsch, da Wechselwinkel gleich groß sind und nicht gestreckt sein können.

• Überprüfe die Aussagen.

  Tipps

  • Spitze Winkel sind kleiner als $90^\circ$.
  • Stumpfe Winkel sind kleiner als $180^\circ$ und größer als $90^\circ$.
  • Überstumpfe Winkel sind kleiner als $360^\circ$ und größer als $180^\circ$.

  Liegen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so sind alle 4 entstehenden Winkel gleich groß.

  Lösung

  Wir unterscheiden folgende Winkelarten:

  • Spitze Winkel sind kleiner als $90^\circ$.
  • Rechte Winkel sind genau $90^\circ$.
  • Stumpfe Winkel sind kleiner als $180^\circ$ und größer als $90^\circ$.
  • Gestreckte Winkel sind genau $180^\circ$.
  • Überstumpfe Winkel sind kleiner als $360^\circ$ und größer als $180^\circ$.

  Wir überprüfen damit die Aussagen:

  Es gibt überstumpfe Stufenwinkel.
  Stufenwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden durch eine weitere Gerade geschnitten werden. Daher sind sie immer kleiner als $180^\circ$. Die Aussage ist also falsch.

  Es gibt stumpfe Nebenwinkel.
  Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Sie liegen immer nebeneinander. Sie können also stumpf, rechtwinklig oder spitz sein. Die Aussage ist richtig.

  Es gibt keine gestreckten Scheitelwinkel.
  Scheitelwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Dadurch wird der gestreckte Winkel geteilt. Scheitelwinkel sind daher immer kleiner als $180^\circ$. Die Aussage ist richtig.

  Es gibt keine stumpfen Wechselwinkel.
  Stufenwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden durch eine weitere Gerade geschnitten werden. Daher sind sie immer kleiner als $180^\circ$. Sie können also spitz, rechtwinklig oder stumpf sein. Die Aussage ist also falsch.

  Es gibt keine rechten Scheitelwinkel.
  Schneiden sich zwei Geraden im rechten Winkel, so sind alle vier entstehenden Winkel gleich $90^\circ$. Dies gilt auch für die Scheitelwinkel. Die Aussage ist also falsch.

  Es gibt nur spitze Wechselwinkel.
  Wechselwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden durch eine weitere Gerade geschnitten werden. Daher sind sie immer kleiner als $180^\circ$. Sie können also spitz, rechtwinklig oder stumpf sein. Die Aussage ist also falsch.