Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras Übung

• Ergänze die Seiten und Flächeninhalte.

  Tipps

  Die kürzeste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Kathete.

  Die Fläche eines Quadrates mit der Kantenlänge $x$ ist $x^2$.

  Der Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse entspricht der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras drückt den Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks durch den Flächeninhalt der Quadrate über den Katheten aus. Üblicherweise werden die Katheten mit $a$ und $b$ bezeichnet und die Hypotenuse mit $c$. Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Kantenlänge $x$ ist $x^2$. Somit haben die Quadrate über den Katheten die Flächeninhalte $a^2$ bzw. $b^2$, das Quadrat über der Hypotenuse den Flächeninhalt $c^2$. Der Satz des Pythagoras ist die folgende Formel für die Flächeninhalte:

  $a^2+b^2=c^2$

• Bestimme die Seitenlängen und Flächeninhalte.

  Tipps

  $c$ ist die längste der drei Seiten und somit die Hypotenuse des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

  Berechne das Quadrat der Seitenlängen $a$ und $b$.

  Hier ist eine Beispielrechnung: In dem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a = 5~\text{cm}$ und $b = 12~\text{cm}$ gilt:

  $c = \sqrt{(5~\text{cm})^2+(12~\text{cm})^2} = \sqrt{25~\text{cm}^2+144~\text{cm}^2} = \sqrt{169~\text{cm}^2} = 13~\text{cm}$

  Lösung

  Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge der Hypotenuse aus den Längen beider Katheten ausrechnen. Heißen die Katheten $a$ und $b$ und die Hypotenuse $c$, so gilt:

  • $a^2+b^2=c^2$

  Diese Formel kannst du benutzen, um zuerst $c^2$ und dann $c$ auszurechnen:

  Setzt du $a=16~\text{m}$ und $b=63~\text{m}$ in den Term $a^2+b^2$ ein, so ergibt sich:

  • $c^2 = (16~\text{m})^2 + (63~\text{m})^2= 256~\text{m}^2+3.969~\text{m}^2=4.225~\text{m}^2$

  Da $c$ eine Länge und daher positiv ist, kommt nur die positive Wurzel als Lösung der Gleichung $c^2=4.225~\text{m}^2$ in Betracht. Es ist also:

  • $c=\sqrt{4. 225~\text{m}^2} = 65~\text{m}$

• Ermittle die Längen der Hypotenusen.

  Tipps

  Setze die Werte von $a$ und $b$ ein und berechne die Quadrate $a^2$ und $b^2$.

  Die Hypotenuse ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Katheten, d.h. $c = \sqrt{a^2+b^2}$.

  Hier ist eine Beispielrechnung: Mit $a= 12$ und $b=5$ ist $a^2 = 144$ und $b=25$. Daher ist $c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$.

  Lösung

  Du kannst die Werte für die Katheten $a$ und $b$ in die Quadrate einsetzen und so die Flächeninhalte der Kathetenquadrate bestimmen. Dann addierst du diese und erhältst den Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats. Ziehst du daraus die Wurzel, so erhältst du die Länge der Hypotenuse:

  • Mit den Katheten $a=7$ und $b=24$ erhältst du die Kathetenquadrate $a^2 =7^2 = 49$ und $b^2= 24^2=576$. Das Hypotenusenquadrat ist dann $c^2 = a^2+b^2 = 49+576 = 625$. Die Hypotenuse ist schließlich $c=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{625} =25$.

  • Die Quadrate der Katheten $a=8$ und $b=15$ sind $a^2 = 8^2=64$ und $b^2=15^2=225$. Das zugehörige Quadrat der Hypotenuse ist dann $c^2= 64+225 = 289$. Die Hypotenuse hat daher die Länge $c=\sqrt{289} = 17$.

  • Zu den Katheten $a=21$ und $b=20$ gehören die Quadrate $a^2=21^2=441$ und $b^2=20^2=400$. Die Hypotenuse hat dann die Länge $c = \sqrt{400+441} =29$.

• Setze die Katheten mit den Hypotenusen in Beziehung.

  Tipps

  Die Hypotenuse ist stets länger als beide Katheten.

  Zu einer ganzzahligen und einer nicht ganzzahligen Kathete passt keine ganzzahlige Hypotenuse.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras lautet für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ wie folgt:

  $a^2+b^2 = c^2$

  Du kannst die Formel benutzen, um aus je zwei gegebenen Seiten die dritte auszurechnen.

  In dieser Aufgabe ist aber jeweils nur eine Seite vorgegeben und die beiden anderen dazu passenden gesucht. Auch dafür kannst du den Satz des Pythagoras verwenden. Um nicht alle Möglichkeiten einzeln durchprobieren zu müssen, kannst du zusätzlich Folgendes verwenden: Die Hypotenuse $c$ ist stets die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Die Kathete $b=12$ kann daher zu keiner anderen Hypotenuse als $c=13$ gehören. Außerdem ist die Hypotenuse kürzer als die Summe der Katheten, sonst würde sich das Dreieck nicht schließen. Zu der Hypotenuse $c=13$ und der Kathete $b=12$ passt also nicht die Kathete $a=0,8$, denn für diese ist $a+b = 12,8 < 13$. Ferner ist das Quadrat einer Kommazahl wieder eine Kommazahl. Sind also zwei der drei Längen eines Dreiecks ganzzahlig, so kann die dritte Länge keine Kommazahl sein: Zu der Hypotenuse $c=13$ und der Kathete $b=12$ passt also nicht die Kathete $a=2,4$, denn sonst wäre $a^2 + b^2$ eine Kommazahl, aber $c^2$ ist keine Kommazahl.

  So findest du folgende Zuordnungen:

  $c=5$:

  • $a=3$
  • $b=4$
  • Für diese Werte ist $a^2+b^2 = 9+16 = 25 = c^2$.

  $c=13$:

  • $a=5$
  • $b=12$
  • Hier ist $a^2 + b^2 = 25+144 = 169 = c^2$.

  $c=4$:

  • $a=2,4$
  • $b=3,2$
  • Diese Werte ergeben $a^2 + b^2 = 5,76+10,24 = 16 = c^2$.

  $c=1$:

  • $a=0,8$
  • $b=0,6$
  • Hier ergibt sich $a^2 + b^2 = 0,64 + 036 = 1 = c^2$.

• Zeige die geometrischen Größen.

  Tipps

  Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber.

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist der rechte Winkel der größte der drei Winkel.

  Die am rechten Winkel anliegenden Seiten heißen Katheten.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es jeweils einen speziellen Winkel und eine spezielle Seite: Der rechte Winkel ist stets der größte Winkel im rechtwinkligen Dreieck und hat die Winkelgröße $90^\circ$. Die beiden anderen Winkel sind spitze Winkel, d. h. sie haben eine Winkelgröße $< 90^\circ$.

  Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

• Prüfe die Formeln.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken. Für jedes nicht-rechtwinklige Dreieck ist die Formel aus dem Satz des Pythagoras falsch.

  Folgende Bilder sind richtig beschriftet:

  2. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Katheten $x$ und $y$ und der Hypotenuse $z$.

  4. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$. Du kannst die Formel $a^2+b^2=c^2$ nach $b^2$ auflösen und die Wurzel ziehen.

  6. Das Bild zeigt eine geometrische Beweisidee für den Satz des Pythagoras: Die vier Dreiecke sind kongruent, du kannst jedes der vier benutzen, um die Formel zu überprüfen. Das Quadrat in der Mitte hat die Fläche $c^2$. Das äußere Quadrat hat die Fläche $(a+b)^2$. Jedes der Dreiecke hat die Fläche $\frac{1}{2} ab$, zusammen haben die vier Dreiecke also die Fläche $4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2ab$. Die Fläche des großen Quadrates abzüglich der Dreiecke ist daher $(a+b)^2 - 2ab = (a^2+2ab+b^2) -2ab = a^2+b^2$. Andererseits ist diese Fläche genau das innere Quadrat, also $c^2$.

  Folgende Bilder sind falsch beschriftet:

  1. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, daher gilt der Satz des Pythagoras in diesem Dreieck nicht.

  3. Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig. Daher ist $a=b$ und daher $c = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}a \neq 2a$.

  5. Die Diagonale $d$ des Rechtecks ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $a$ und $b$. Daher ist nach dem Satz des Pythagoras $d^2=a^2+b^2\neq (a+b)^2$.