Division – Überblick und Anwendung
Die Division ist eine mathematische Operation, die den Dividend durch den Divisor teilt, um den Quotienten zu erhalten. Erfahre mehr über die Begriffe Dividend, Divisor und Quotient sowie Anwendungen wie die Bestimmung von Verhältnissen und Durchschnittswerten. Interessiert? Mehr dazu im vollständigen Text!
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Grundlagen zum Thema Division – Überblick und Anwendung
Division – Mathematik
Division bedeutet, dass man etwas gerecht verteilt oder dass man etwas unter Mehreren gerecht aufteilt.
Aufgaben, bei denen die Größe der Teilgruppen gegeben und die Anzahl der Teilgruppen gesucht ist, stellen in der Regel das aufteilende Rechnen dar. Dagegen zählt eine Aufgabe, bei der die Anzahl der Teilgruppen gegeben ist und nun die Größe dieser Teilgruppen gesucht wird, in der Regel zum verteilendem Rechnen.
Beispielaufgabe für aufteilendes Rechnen:
Du hast $12$ Bauklötze, die du in Gruppen teilen sollst. Jede Gruppe soll $4$ Bauklötze haben. Wie viele Gruppen ergibt das?
- Du rechnest: $12 : 4 = 3$.
- Deine Antwort lautet: Es ergeben sich $3$ Gruppen mit je $4$ Bauklötzen, denn $3 \cdot 4 = 12$.
Kennst du das?
Hast du auch schon einmal dein Taschengeld auf mehrere Wochen aufteilen müssen? Wenn du $20$ Euro hast und es gerecht auf vier Wochen verteilen möchtest, benutzt du die Division. Du teilst die $20$ Euro durch $4$ und erhältst $5$ Euro pro Woche. So hast du immer ein bisschen Geld zur Verfügung, anstatt alles auf einmal auszugeben.
Beispielaufgabe für verteilendes Rechnen:
Du hast $16$ Bonbons und willst diese gerecht auf $4$ Kinder aufteilen. Wie viele Bonbons bekommt jedes Kind?.
- Du rechnest: $16 : 4 = 4$.
- Deine Antwort: Jedes Kind bekommt $4$ Bonbons, denn $4 \cdot 4 = 16$.
Wie du siehst, ist die Division die Umkehroperation bzw. Umkehraufgabe zur Multiplikation.
Division – Begriffe
McWuff ist ein Hirtenhund. Er hilft dem Hirten dabei, die Schafe gleichmäßig auf ihre Gehege zu verteilen und nutzt dazu die Division. Weißt du, was das ist?
Um herauszufinden, was es mit der Division auf sich hat, schauen wir uns ein Beispiel an:
- Der Hirte hat insgesamt $18$ Schafe.
- McWuff soll die Schafe in Gruppen zu je $6$ Schafen aufteilen.
- Es ergeben sich genau $3$ Gruppen.
Er hat also $18$ durch $6$ geteilt. Das ist die Division. Mathematisch kannst du diese Rechnung auf zwei unterschiedliche Arten aufschreiben:
$18 : 6 = \dfrac{18}{6} = 3$
Es gibt eine ganz bestimmte Benennung bei der Division: Die Zahl, die aufgeteilt werden soll, heißt Dividend. Die Zahl, durch die du teilst, ist der Divisor und das Ergebnis heißt Quotient. Mit diesen Begriffen sieht die Rechnung so aus:
$\text{Dividend} : \text{Divisor} = \dfrac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}= \text{Quotient}$
Division – Ergebnis
Weißt du auch, wie viele Gruppen es gibt, wenn McWuff nun $24$ Schafe hat und diese auch so in Gruppen aufteilen soll, dass in jeder Gruppe $6$ Schafe sind?
Du rechnest hier also $24 : 6$ = $4$.
Es ergeben sich also genau $4$ gleich große Gruppen.
Aber was passiert, wenn McWuff versucht, die $24$ Schafe in Gruppen mit jeweils $5$ Schafen aufzuteilen? McWuff kann genau $4$ volle Gruppen bilden, aber dann bleiben noch $4$ Schafe übrig. Man nennt diese Zahl, die übrig bleibst den Rest der Division. Du schreibst es wie folgt:
$24 : 5 = 4 ~ ~ ~ ~ \text{ Rest: }4$
$24$ lässt sich also nicht ohne Rest durch $5$ teilen.
Division – Tabelle
In der nachfolgenden Darstellung siehst du eine Übersicht an Divisionsaufgaben. Diese Übersicht kann dir dabei helfen, Divisionsaufgaben von $1 : 1$ bis $100 : 10$ einzuüben. Du kannst dir eine solche Übersicht auch selbst als Divisionstabelle erstellen und damit üben.
Schlaue Idee
Beim Backen ist Division hilfreich. Wenn ein Rezept für $14$ Muffins ist und du nur $7$ machen möchtest, teilst du die Mengenangaben der Zutaten durch $2$. Das hilft dir, die richtige Menge zu berechnen.
Schriftliche Division
Das Dividieren von großen Zahlen ist im Kopf gar nicht so leicht. Hier kann dir die schriftliche Division helfen. Bei der schriftlichen Division gibt es bestimmte Schritte, wie du vorgehst. Du findest sie hier für die Division ohne Rest einmal aufgelistet.
- Die schriftliche Division erfolgt in vier Schritten, die du so lange wiederholst, bis du am Ende der größeren Zahl angelangt bist.
- Du beginnst mit der vordersten Stelle deiner Zahl, die geteilt werden soll (Dividend). Im ersten Schritt überlegst du, wie oft die Zahl, durch die du teilen möchtest (der Divisor), in diese Zahl hineinpasst. Das Ergebnis dieser Rechnung schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.
- Im zweiten Schritt multiplizierst du dann das Ergebnis aus dem ersten Schritt mit dem Divisor. Diese Zahl schreibst du direkt unter die erste Stelle deines Dividenden.
- Für den dritten Schritt subtrahierst du die Zahl aus Schritt zwei von der ersten Stelle deines Dividenden. Dieses Ergebnis schreibst du unter die Zahl aus Schritt zwei.
- Im vierten Schritt holst du die nächste Stelle der größeren Zahl nach unten, indem du sie neben das Ergebnis aus dem dritten Schritt schreibst.
- Nun beginnst du erneut mit dem ersten Schritt und überlegst, wie oft der Divisor in die Zahl aus dem vierten Schritt passt.
- Nach dem vierten Schritt beginnst du jeweils wieder mit dem ersten Schritt.
- Du bist fertig, wenn die Differenz im dritten Schritt $0$ ergibt und du alle Stellen der größeren Zahl verwendet hast. Dein Ergebnis der Division steht dann hinter dem Gleichheitszeichen.
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler bei Schülerinnen und Schülern ist die Annahme, dass die Division durch null möglich ist. Tatsächlich ist jedoch die Division durch null undefiniert und ergibt keinen sinnvollen Wert.
Division – Beispiele
Schauen wir uns an, was McWuff noch alles mit der Division anstellen kann. Der Hirte hat weiße und schwarze Schafe. McWuff kann durch Division das Verhältnis zwischen den Schafen bestimmen. Es gibt $15$ weiße und $3$ schwarze Schafe. Man sagt: Das Verhältnis ist $15$ zu $3$. Das kann man auch so schreiben:
$\dfrac{15}{3} = 15 : 3 = \text{weiße Schafe} : \text{schwarze Schafe}$
Das Ergebnis ist $5$. Für jedes schwarze Schaf gibt es also $5$ weiße Schafe.
Mit der Division kann man auch ausrechnen, wie viel Wolle durchschnittlich pro Schaf produziert wird. Das macht natürlich nicht McWuff, sondern der Hirte. Nehmen wir die $3$ schwarzen Schafe: Sie heißen Steve, Gradh und Tracy. Schauen wir uns in einer Tabelle an, wie viel Wolle sie produzieren:
| Name | Wolle in kg |
|---|---|
| Steve | 3 |
| Gradh | 2 |
| Tracy | 4 |
Um den Durchschnitt zu berechnen, musst du die Gesamtmenge an Wolle nehmen und durch die Anzahl der Schafe teilen. Also:
$\dfrac{\text{Gesamtgewicht Wolle}}{\text{Anzahl Schafe}} = \dfrac{9}{3} = 3$
Es gibt also durchschnittlich $3~\text{kg}$ Wolle pro Schaf.
Ausblick – das lernst du nach Division – Überblick und Anwendung
Das Multiplizieren ist als Umkehraufgabe der Division eng verknüpft mit dieser. Beschäftige dich außerdem mit dem Sonderfall der Null.
Division – Zusammenfassung
Division bedeutet, dass man etwas gerecht verteilt oder dass man etwas unter Mehreren gerecht aufteilt.
Die Division ist die Umkehraufgabe der Multiplikation.
Es gibt für die Zahlen bestimmte Bezeichnungen bei der Division: Die Zahl, die aufgeteilt werden soll, heißt Dividend. Die Zahl, durch die du teilst, ist der Divisor und das Ergebnis heißt Quotient.
Es gibt auch Divisionsaufgaben mit Rest, wenn sich eine Zahl nicht ganz durch eine andere Zahl teilen lässt, zum Beispiel $36 : 7 = 5 ~ ~ ~ ~ \text{ Rest: }1$.
Die schriftliche Division hilft dir bei großen Zahlen und erfolgt in bestimmten Schritten.
Division – Übungen
Häufig gestellte Fragen zum Thema Division
Transkript Division – Überblick und Anwendung
Das ist McWuff, ein Champion unter den Hirtenhunden. Aber noch ist kein Meister vom Himmel gefallen und so musste auch der beste Hirtenhund zunächst viel lernen. In seiner Ausbildung lernte er die wichtigsten Kommandos für die Division. Als Welpe brachte ihm McWilliams, der Hirte, die verschiedenen Begriffe der Division bei:
Elemente der Division
der Dividend der Divisor der Quotient und der Rest.
Um das Weideland zu schonen, sollen die Schafe auf verschiedene Felder gebracht und die 18 Schafe in Gruppen mit je 6 Schafen geteilt werden. Hierbei ist 18 unser Dividend, also die Zahl, die geteilt werden soll. 6 ist der Divisor, also die Anzahl der Schafe pro Gruppe. Teilst du den Dividenden durch den Divisor, erhältst du den Quotienten: 3. Wären nach der Division noch Schafe übrig, so wäre dies der sogenannte Rest. Die Gleichung dazu kannst du so ausdrücken oder so. Egal, welche Schreibweise du wählst, das Ergebnis ist dasselbe. Sobald McWuffs Arbeit erledigt ist, gibt er ein Signal und der Hirte kann überprüfen, ob die Gruppen richtig aufgeteilt wurden. Der Hund hat gelernt, die Division so auszuführen, dass kein Rest übrig bleibt. Wie es aussieht hat McWuff versucht, Gruppen mit je 5 Schafen zu bilden.
Drei Gruppen mit je 5 Schafen kann er bilden, doch 3 Schafe sind übrig. Das ist der Rest.
Das Verhältnis bestimmen
Neben dem Aufteilen der Herde hat McWuff auch gelernt, das Verhältnis von weißen Schafen zu schwarzen Schafen im Auge zu behalten. In McWilliams Herde beträgt das Verhältnis weiß zu schwarz 15 zu 3. Genau wie bei Brüchen können wir dieses Zahlenverhältnis kürzen! Das bedeutet, auf 5 weiße Schafe kommt ein schwarzes. Auch Verhältnisse kannst du auf weitere Arten ausdrücken: "So.... oder so." Die Aufgabe des Hirten ist es, die durchschnittliche Menge der Schafswolle zu bestimmen. Für den Durchschnitt addierst du die einzelnen Beträge und dividierst das Ergebnis durch die Anzahl. Wenn die schwarzen Schafe zum Beispiel so viel Wolle produzieren dann ist das Gesamtgewicht der Wolle, 9, dein Dividend und die Anzahl der schwarzen Schafe, 3, dein Divisor. Wir dividieren einfach 9 durch 3 und wissen jetzt: Wenn die schwarzen Schafe geschoren werden, erhält der Hirte durchschnittlich 3 kg Wolle pro Schaf.
McWilliams ist sehr zufrieden mit seinem Hirtenhund und möchte ihn mit einem Leckerli belohnen...oh...anscheinend hat McWuff zu viele Schäfchen gezählt...
Division – Überblick und Anwendung Übung
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Nenne die verschiedenen Ausdrücke, die das Aufteilen von 18 Schafen in Gruppen von je 6 Schafen mathematisch korrekt wiedergeben.
TippsDas Ergebnis kannst du durch eine Umkehraufgabe prüfen:
$18:~$?$~=6$
Merke dir:
Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient
Das Ergebnis bleibt gleich - egal, welche Schreibweise für die Division genutzt wird.
LösungDer Hirtenhund muss die Herde mit $18$ Schafen auf gleich große Gruppen mit je $6$ Schafen pro Gruppe aufteilen.
Dies ist eine Divisionsaufgabe $18:6$.
- $18$ ist der Dividend, die Zahl, die geteilt wird.
- $6$ ist der Divisor, die Anzahl der Schafe pro Gruppe.
- Das Ergebnis einer Division ist der Quotient. Hier ist der Quotient $3$, die Anzahl der Gruppen, die McWuff bilden kann.
- $18:6=3$ oder
- $\frac{18}6=3$ (hier steht im Zähler der Dividend und im Nenner der Divisor)
-
Erkläre, wie du das Verhältnis von weißen Schafen zu schwarzen Schafen bestimmen kannst.
TippsBeachte, dass das Verhältnis von weißen zu schwarzen Schafen gesucht ist und nicht umgekehrt.
Du kannst Verhältnisse auch als Bruch darstellen.
Wie du sicher weißt, kannst du Brüche auch vereinfachen (kürzen):
$\frac{14}{7}=\frac21$
LösungVerhältnisse können ähnlich geschrieben werden wie Divisionen.
In der Herde befinden sich $18$ Schafe, $3$ davon sind schwarz und somit kannst du folgern, dass $15$ weiß sind. Das Verhältnis von weißen zu schwarzen Schafen kannst du dann mit $\frac{15}3$ ausdrücken. Diesen Bruch kannst du zu $\frac51$ kürzen.
Du kannst das Verhältnis von weißen zu schwarzen Schafen auch durch $18:3$ oder, vereinfacht, $5:1$ ausdrücken.
In jedem Fall kommt auf $5$ weiße Schafe genau $1$ schwarzes Schaf.
Verhältnisse kannst du also auf diese Arten ausdrücken:
- $5:1$ oder
- $\frac51$
-
Erkläre, wie du die durchschnittliche Wolle pro Schaf berechnen kannst.
TippsSchau dir die Berechnung des Durchschnitts bei George und Ringo an:
- Du addierst $4+6=10$.
- Dann dividierst du durch $2$, also durch die Anzahl der Schafe.
- Der gesuchte Durchschnitt ist $\frac{10}2=5$ kg Wolle pro Schaf.
Die Summe aller berechneten Durchschnittswerte ist $11$.
LösungUm einen Durchschnittswert zu berechnen, geht man wie folgt vor:
- Man addiert alle Werte
- Man dividiert diese Summe durch die Anzahl der Werte
- Summe der Wolle: $4 + 2 = 6$
- Division der Summe durch die Anzahl der Schafe: $6 : 2 = 3$
- Lösung: $3~kg$ Wolle pro Schaf ist der Durchschnittswert der Wolle, die John und Paul produzieren.
- Summe der Wolle: $2 + 4 + 6 = 12$
- Division der Summe durch die Anzahl der Schafe: $12 : 3 = 4$
- Lösung: $4~kg$ Wolle pro Schaf sind die Durchschnittsmenge an Wolle von John, Paul und Ringo.
- Summe der Wolle: $4 + 2 + 4 + 6 = 16$
- Division der Summe durch die Anzahl der Schafe: $16 : 4 = 4$
- Lösung: Die vier Schafe produzieren durchschnittlich $4~kg$ Wolle pro Schaf.
-
Untersuche, welche Informationen die Bestandteile der Division darstellen.
TippsMerke dir:
Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient
Hier siehst du ein Beispiel mit einem Rest:
$25:3=7+4$
Du kannst dies prüfen: $7\cdot 3=21$. Wenn du $4$ addierst, erhältst du wieder $25$.
- $25$ ist der Dividend
- $3$ ist der Divisor
- $7$ ist der Quotient
- $4$ ist der Rest
LösungPaul und seine Bonbons $25:5=5$
- $25$ Bonbons ist der Dividend
- $5$ Personen ist der Divisor
- $5$ Bonbons ist der Quotient
- $12$ Hausaufgaben ist der Dividend
- $3$ Tage ist der Divisor
- $4$ Hausaufgaben ist der Quotient
- Addiere $17 + 21 + 34 = 72$. Dies ist der Dividend.
- Dividiere diese Summe durch die Anzahl der Personen, $3$. Dies ist der Divisor.
- So erhalten die drei ihr Durchschnittsalter: $72:3=24$. $24$ ist der Quotient, also das Durchschnittsalter der drei Freunde.
- $100$ Äpfel ist der Dividend
- $6$ Klassenkameraden ist der Divisor
- $16$ Äpfel ist der Quotient
- $4$ Äpfel sind der Rest
-
Gib an, wie die einzelnen Bestandteile der Division heißen.
TippsMerke dir:
- für die Addition: Summand $+$ Summand $=$ Summe
- für die Subtraktion: Minuend $-$ Subtrahend $=$ Differenz
Für die Multiplikation gilt:
Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt
Der Dividend ist das, was geteilt wird.
Das Ergebnis einer Division ist der Quotient.
LösungDer Hund McWuff muss die Herde in kleinere Gruppen mit je $6$ Schafen pro Gruppe aufteilen. Zu der Herde gehören insgesamt $18$ Schafe. Das kannst du als Divisionsaufgabe $18 : 6$ ausdrücken.
- $18$ ist der Dividend, die Zahl, die geteilt wird.
- $6$ ist der Divisor, die Zahl, durch die geteilt wird.
- Das Ergebnis der Division, die Anzahl der Gruppen mit je $6$ Schafen, ist der Quotient. Hier sind es $3$ Gruppen, die McWuff bilden kann.
-
Wende die Division zur Berechnung von Durchschnitt und Verhältnissen an.
TippsVereinfache die Brüche so weit wie möglich. Schau dir dies an einem Beispiel an:
$\frac{20}{8}=\frac{20:4}{8:4}=\frac52$
Um den Durchschnitt von verschiedenen Werten zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
- Addiere alle Werte
- Teile die Summe durch die Anzahl der Werte
Um das Verhältnis zu bestimmen, ermittle zuerst die Anzahl der Schülerinnen.
LösungDas Verhältnis von Jungen zu Mädchen:
- Die Anzahl der Mädchen bestimmst du, indem du von der Gesamtzahl der Schüler, $30$, die Zahl der Jungen, $18$, abziehst: $30-18=12$. Es gibt also $12$ Mädchen in Pauls Klasse.
- Das kannst du nun in einem Verhältnis $18:12$ Jungen zu Mädchen ausdrücken. Du kannst das Verhältnis auch immer als Bruch schreiben: $\frac{18}{12}$.
- Brüche und Verhältnisse kannst du vereinfachen, indem du Dividend und Divisor durch den größten gemeinsamen Teiler teilst. Hier kannst du vereinfachen zu $3:2$.
- Auf jeweils $3$ Jungen kommen also $2$ Mädchen.
- Die Klasse soll in $4$ Gruppen aufgeteilt werden. Dies führt zu der folgenden Aufgabe: $30:4=7$, Rest $2$.
- In jeder Gruppe befinden sich also $7$ Kinder und es bleiben zwei Kinder übrig. Aber kein Problem: Die beiden sind die Schiedsrichter im Quiz!
- Um den Durchschnitt zu bestimmen, gehst du immer gleich vor: Addiere alle Werte und teile danach diese Summe durch die Anzahl der Werte.
- Die Addition der Ergebnisse des Quiz sieht so aus: $120+80+70=270$
- Diese Summe, $270$, wird durch die Anzahl der Gruppen, $3$, dividiert: $270:3=90$
- Das Durchschnittsergebnis bei dem Quiz ist $90$ Punkte pro Gruppe.
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Mcwuff klingt wie ein Bürger
Coooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooles Vido
nice
ganz ok
Das widio war lustig