Termumformungen (Übungsvideo)

Termumformungen (Übungsvideo) Übung

• Beschreibe, was Terme und Termumformungen sind.

  Tipps

  $3x + 4a + 2x = 3x + 2x + 4a$

  Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet.

  Wir können den Term $2k + 5k - k$ zusammenfassen zu $6k$.

  Lösung

  Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Variablen, Zahlen, Rechenzeichen und Klammern.
  Beispiel: $4x + (3x+2y) \cdot 5$

  Wir kennen die folgenden Termumformungen:

  • Mit dem Distributivgesetz können Klammern aufgelöst werden.

  Beispiel: $4 \cdot (2x+y) = 4 \cdot 2x + 4 \cdot y$

  • Mit dem Kommutativgesetz kann ein Term geordnet werden.

  Beispiel: $2x + 6y + 7x = 2x + 7x + 6y$

  • Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.

  Beispiel: $5x - 2x + 5y + 2y =3x+7y$

• Fasse die Terme zusammen.

  Tipps

  Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.

  $4(x+y)=4x+4y$

  Hier wurde das Distributivgesetz angewendet.

  Lösung

  Um Terme zu vereinfachen, können wir

  • mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen,
  • mit dem Kommutativgesetz die Elemente ordnen und
  • Terme mit gleichen Variablen zusammenfassen.

  Beispiel 1: $5k+7k+10k =22k$
  Bei dieser Rechnung können die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.

  Beispiel 2: $3x+3x+4x=10x$
  Auch hier können die einzelnen Summanden zusammengefasst werden, da sie alle die gleiche Variable enthalten.

  Beispiel 3: $(x+x) \cdot 3 + 4x = 3x + 3x + 4x = 10x$
  In dem Fall wird zuerst die Klammer mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst. Anschließend können die einzelnen Elemente mit derselben Variable zusammengefasst werden.

• Ordne äquivalente Terme einander zu.

  Tipps

  Fasse, wenn möglich, Terme mit gleichen Variablen zusammen.

  Beispiel:

  $4(3x+y) = 12x+4y$

  Demnach sind $4(3x+y)$ und $12x+4y$ äquivalente Terme.

  Lösung

  Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie beim Einsetzen einer Zahl für die Variable denselben Wert annehmen.
  Nachweisen können wir die Äquivalenz von Termen auch, indem wir den einen Term in den anderen umformen.

  Wir können beispielsweise den Term auf der linken Seite vereinfachen und so den Term auf der rechten Seite erhalten. Manchmal erhalten wir auch den Term auf der linken Seite durch Vereinfachung des Terms auf der rechten Seite. Beim letzten Beispiel müssen wir beide Terme umformen:

  • $\mathbf{4s + 5t + 3s} = 4s + 3s + 5t = \mathbf{7s+5t}$
  • $\mathbf{3(2s + 4t)} = 3 \cdot 2s + 3 \cdot 4t = \mathbf{6s+12t}$
  • $\mathbf{(s+2s) \cdot 2 + 4t} = (3s) \cdot 2 + 4t = \mathbf{6s+4t}$
  • $\mathbf{(4+3s) \cdot 5t} = 4 \cdot 5t + 3s \cdot 5t = 20t + 15st = 15t + 5t + 15st = \mathbf{15t + 15st + 5t}$

• Überprüfe, ob die Terme richtig umgeformt wurden.

  Tipps

  Überprüfe, ob die Klammern richtig aufgelöst wurden: Wird die Klammer mit einer Zahl oder mit einer Variable multipliziert, so muss beim Auflösen jedes Element aus der Klammer damit multipliziert werden.

  Nur Terme mit gleichen Variablen dürfen zusammengefasst werden, zum Beispiel $3a+5a$. Der Term $3a + 5ab$ hingegen kann nicht zusammengefasst werden.

  Du kannst das Distributivgesetz auch in umgekehrter Reihenfolge anwenden.

  Beispiel:

  $4s + 4x = 4(s+x)$

  Lösung

  Folgende Umformungen sind richtig:

  • $3a + 4(5b +2) = 3a + 20b +8$

  Hier wurde die Klammer korrekt aufgelöst.

  • $2a +b -4a + b = 2(b-a)$

  Bei diesem Term wurde richtig zusammengefasst und eine Klammer gesetzt. Dabei wurde das Distributivgesetz rückwärts angewendet. Ausführlich lautet die Umformung:
  $2a +b -4a + b =2a-4a+b+b=-2a+2b=2b-2a= 2(b-a)$

  • $3a + (4a -b) \cdot b = 3a + 4ab - b^2$

  Hier wurde die Klammer richtig aufgelöst.

  Folgende Umformungen sind falsch:

  • $a(4+2b) - 4b = 4a-2b$

  In diesem Fall wurde die Klammer nicht korrekt aufgelöst. Richtig lautet die Umformung:
  $a(4+2b) - 4b =4a+2ab-4b$

  • $4a + 7a - a = 11a -1$

  Hier wurde der letzte Term $-a$ nicht richtig hinzugefügt. Korrekt lautet die Umformung:
  $4a+7a-a=4a+7a-1a=10a$

  • $6a - 6b = 6+(a-b)$

  Hier wurde das falsche Rechenzeichen zwischen Zahl und Klammer gesetzt. Richtig muss es lauten:
  $6a-6b = 6 \cdot (a-b)$

• Vereinfache den Term $5x \cdot (2x-4) - x + 12$.

  Tipps

  Löse zuerst die Klammer mit dem Distributivgesetz auf.

  Beispiel:

  $5b \cdot 3b = 15b^2$

  Lösung

  Der gegebene Term ist der Ausgangsterm:

  $5x \cdot (2x-4) - x + 12$

  Zuerst können wir die Klammer mit dem Distributivgesetz auflösen:

  $5x \cdot 2x- 5x \cdot 4 - x + 12$

  Nun fassen wir die beiden Produkte zusammen:

  $10x^2-20x-x+12$

  Jetzt können wir die beiden Summanden, welche $x$ enthalten, zusammenfassen:

  $10x^2-21x+12$

  Weiter können wir den Term nicht vereinfachen.

• Stelle einen Term auf und berechne.

  Tipps

  Stelle zunächst einen Term für die Anzahl der geleisteten Stunden pro Woche auf. Multipliziere ihn anschließend mit der Anzahl der Wochen.

  Fasse den Term zusammen. Hier einige Beispiele dazu:

  $4 \cdot 2x = 8x$

  $3x + 5x = 8x$

  Lösung

  Wir stellen den Term Schritt für Schritt auf:

  • montags: $4s$
  • donnerstags: $2s$
  • die restlichen $3$ Tage jeweils: $5s$

  Insgesamt sind das pro Woche: $4s+2s+3 \cdot 5s$

  Da das Praktikum $3$ Wochen dauert, ergibt sich dieser Term:

  ${(4s+2s+3 \cdot 5s) \cdot 3}$

  Wir können den Term vereinfachen, indem wir die ersten beiden Summanden in der Klammer zusammenfassen und das Produkt berechnen:

  $(6s + 15s) \cdot 3$

  Wir berechnen nun den Wert der Klammer:

  $(21s) \cdot 3$

  Vollständig zusammengefasst ergibt sich:

  ${63s}$