Das Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Erfahre mehr über die Eckpunkte, Winkel und spezielle Formen von Trapezen wie gleichschenklige oder rechtwinklige. Interessiert dich das? Dann lies weiter und entdecke noch mehr dazu!
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Grundlagen zum Thema Das Trapez
Trapez – Definition
In diesem Text geht es um das Trapez. Ein Trapez ist eine bestimmte Art von Viereck in der Geometrie.
Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
Demnach ist jedes Trapez ein Viereck, aber nicht jedes Viereck ist ein Trapez.
Eine der parallelen Seiten eines Trapezes wird meist als Grundseite, die nicht parallelen Seiten werden als Schenkel bezeichnet. Die Eckpunkte des Trapezes werden entgegen des Uhrzeigersinns mit den großen Buchstaben $A$, $B$, $C$ und $D$ beschriftet, die angrenzenden Seiten mit den jeweiligen kleinen Buchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$.
Winkel werden entsprechend der Eckpunkte nach dem griechischen Alphabet benannt: Bei $A$ liegt der Winkel $\alpha$, bei $B$ der Winkel $\beta$, der Winkel bei $C$ heißt $\gamma$ und am Eckpunkt $D$ befindet sich der Winkel $\delta$.
Wusstest du schon?
Im Zirkus gibt es auch etwas, das als Trapez bezeichnet wird! Das sind die Schaukelstangen, die Artistinnen und Artisten nutzen, um beeindruckende Kunststücke in der Luft zu vollführen. Die Form der Stange erinnert dabei an die geometrische Figur des Trapezes, da sie parallel zum Dach des Zirkuszelts verläuft.
Trapez – Eigenschaften
- Ein Trapez hat vier Ecken, vier Seiten und vier Innenwinkel.
- In jedem Trapez sind zwei Seiten parallel zueinander.
- Die Innenwinkelsumme ist im Trapez, wie bei allen Vierecken, gleich $360^\circ$.
Es gilt also: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$. - Die Summe zweier Winkel an einer nicht parallelen Seite ist gleich $180^\circ$.
Sind $a$ und $c$ parallel zueinander, gilt: ${\alpha + \delta = 180^\circ}$ und ${\beta + \gamma= 180^\circ}$.
Jetzt weißt du, woher das Trapez im Zirkus seinen Namen hat!
Es besteht aus einer Stange, die parallel zum Dach des Zirkuszelts an zwei Seilen aufgehängt ist. Die Stange, an der die Akrobaten turnen, bildet so zusammen mit den beiden Seilen und dem Dach des Zirkuszelts ein Trapez.
Trapez – Beispiele
Das Trapez kann in verschiedenen Formen vorliegen. Dabei lassen sich vier Formen unterscheiden. Es gibt das allgemeine, das gleichschenklige, das rechtwinklige und das verschränkte Trapez. Das Bild oben zeigt ein allgemeines Trapez.
Besondere Vierecke mit zwei Paaren paralleler Seiten sind ebenfalls Trapeze. Dazu gehören:
- das Quadrat,
- die Raute,
- das Rechteck und
- das Parallelogramm.
Gleichschenkliges Trapez
Das gleichschenklige Trapez wird oftmals auch symmetrisches Trapez genannt, da es achsensymmetrisch ist. Wie der Name schon verrät, sind die beiden Schenkel gleich lang.
Die Seite $b$ ist also gleich der Seite $d$. Weiterhin gilt, dass beim gleichschenkligen Trapez die Winkel an den parallelen Seiten gleich groß sind. Somit ist $\alpha = \beta$ und $\gamma = \delta$.
Rechtwinkliges Trapez
Das rechtwinklige Trapez besitzt insgesamt zwei rechte Winkel. In diesem Fall gilt
Verschränktes Trapez
Trotz seiner ungewöhnlichen Form ist auch das verschränkte Trapez per Definition ein Trapez, da es ebenfalls ein Paar paralleler Seiten besitzt. Die Seite $a$ ist parallel zu $c$. Die Besonderheit dieses Trapezes ist, dass die nicht parallelen Seiten verschränkt sind. Die Seiten $b$ und $d$ schneiden sich also in einem Punkt, was zur Folge hat, dass die Anordnung der Eckpunkte $C$ und $D$ vertauscht ist.
Fehleralarm
Es ist ein verbreiteter Fehler zu denken, dass die Winkel in einem Trapez gleich groß sind. Das trifft nur bei einem gleichschenkligen Trapez zu – hier sind die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sowie $\gamma$ und $\delta$ nämlich paarweise gleich groß.
Ein verschränktes Trapez kann zugleich gleichschenklig sein oder auch nicht.
Das Trapez im Haus der Vierecke
Das Trapez lässt sich wie alle Vierecke auch in das sogenannte Haus der Vierecke einordnen. Im folgenden Bild ist das Trapez in Orange in der zweiten Etage von unten zu sehen.
Das Haus der Vierecke ordnet die darin enthaltenen Vierecke nach ihren Eigenschaften ein. Ganz unten steht das allgemeine Viereck, dem keine speziellen Eigenschaften zukommen. Ganz oben steht das Quadrat, das alle speziellen Eigenschaften der Vierecke, die darunter stehen, ebenfalls aufweist.
Trapez und Drachenviereck – Unterschied
Vom Drachenviereck und vom Trapez geht jeweils ein Pfeil zum allgemeinen Viereck. Genau genommen stehen diese beiden Vierecke auf der Hierarchieebene im Haus der Vierecke ganz unten. Alle anderen Vierecke vereinen mindestens die Eigenschaft eines weiteren Vierecks in sich. Das Drachenviereck, bei dem eine Diagonale gleichzeitig eine Symmetrieachse ist, und das Trapez, das ein Paar paralleler Seiten hat, besitzen in ihrer allgemeinen Form jedoch keine weiteren speziellen Eigenschaften.
Verschiedene Trapeze – Übersicht
| allgemeines Trapez | gleichschenkliges Trapez | rechtwinkliges Trapez |
|---|---|---|
| $\bullet$ zwei parallele Seiten $\bullet$ vier Seiten unterschiedlicher Länge $\bullet$ vier verschiedene Winkel |
$\bullet$ zwei parallele Seiten $\bullet$ Schenkel gleich lang $\bullet$ zwei Paare gleicher Winkel $\bullet$ achsensymmetrisch |
$\bullet$ zwei parallele Seiten $\bullet$ vier Seiten unterschiedlicher Länge $\bullet$ zwei rechte Winkel |
Trapez – Formeln
Aufgrund der besonderen Eigenschaften von Trapezen gelten spezielle Formeln für die Berechnung von Trapezen.
Trapez – Flächeninhalt
Sehen wir uns die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A_\text{Trapez}$ eines allgemeinen Trapezes an:
$A_\text{Trapez} = \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist das Produkt aus dem Mittelwert der Längen der parallelen Seiten $a$ und $c$ und der Höhe $h$ des Trapezes.
Beispiel:
Ein Trapez mit den parallelen Seiten $a = \pu{8 cm}$ und $c = \pu{2 cm}$ und der Höhe $h = \pu{3 cm}$ hat einen Flächeninhalt von:
$\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot (\pu{8 cm} + \pu{2 cm}) \cdot \pu{3 cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot \pu{10 cm} \cdot \pu{3 cm} \\ \\ &=& \pu{5 cm} \cdot \pu{3 cm} \\ \\ &=& \pu{15 cm2} \end{array}$
Trapez – Umfang
Sehen wir uns nun noch die Formel zur Berechnung des Umfangs $U_\text{Trapez}$ eines allgemeinen Trapezes an:
$U_\text{Trapez} = a+b+c+d$
Der Umfang eines Trapezes ist die Summe aller Seitenlängen, also $a$, $b$, $c$ und $d$.
Beispiel:
Ein Trapez mit den Seiten $a = \pu{8 cm}$, $b = \pu{5 cm}$, $c = \pu{2 cm}$ und $d = \pu{3 cm}$ hat einen Umfang von:
$\begin{array}{rcl} U &=& a + b + c + d \\ &=& \pu{8 cm} + \pu{5 cm} + \pu{2 cm} + \pu{3 cm} \\ &=& \pu{18 cm} \end{array}$
Ausblick – das lernst du nach Das Trapez
Als Nächstes kannst du das Drachenviereck kennenlernen und das Identifizieren von Vierecken üben. Freue dich auf neue Entdeckungen in der Geometrie!
Zusammenfassung – Trapez
- Ein Viereck, in dem zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez.
- Die nicht parallelen Seiten im Trapez werden Schenkel genannt.
- Für den Flächeninhalt $A$ eines Trapezes mit parallelen Seiten $a$ und $c$ gilt:
$A = \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$ - Für den Umfang $U$ eines Trapezes gilt:
$U = a + b + c + d$ - Wir können vier verschiedene Formen von Trapezen unterscheiden:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Trapez
Transkript Das Trapez
Manege frei für den furiosen Trapezo. Lange hat er für diesen Auftritt geübt. Seine waghalsigen Kunststücke präsentiert er uns heute auf dem Trapez. Doch was genau ist ein Trapez? In der Geometrie ist ein Trapez ein Viereck, mit zwei zueinander parallelen Seiten. Die parallelen Seiten werden dabei als Grundseiten, die nicht parallelen Seiten meist als Schenkel bezeichnet. Die Eckpunkte des Trapezes beschriften wir üblicherweise mit A, B, C und D entgegen des Uhrzeigersinns. Die Seiten bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen Buchstaben a, b, c und d. Die Winkel bezeichnen wir mit kleinen griechischen Buchstaben. Bei A liegt Alpha, bei B Beta, bei C Gamma und bei D der Winkel Delta. Die Innenwinkelsumme im Trapez ist wie bei allen Vierecken gleich 360 Grad. Eine Besonderheit gibt es noch: Die Summe zweier Winkel an einer der nicht parallelen Seiten ist jeweils gleich 180 Grad. Hier ist Alpha plus Delta gleich 180 Grad. Das gilt auch für Beta plus Gamma. Schauen wir uns Trapezos erstes Kunststück an. Wow! Beeindruckend! Hier bildet er die Form eines symmetrischen Trapezes. Bei dieser Variante des Trapezes sind die beiden Schenkel gleich lang. Somit ist b gleich d. Eine gedachte Symmetrieachse, teilt dieses Trapez in zwei gleich große Flächen. Klappen wir es an dieser Achse zusammen, sind beide Flächen deckungsgleich. Deshalb nennen wir dieses Trapez auch symmetrisches Trapez. Die Winkel an den parallelen Seiten sind jeweils gleich groß. Alpha ist demnach gleich Beta und Gamma gleich Delta. Und welche Form stellt er nun dar? Spektakulär, ein rechtwinkliges Trapez. Das rechtwinklige Trapez wird so genannt, da es zwei rechte Winkel hat. Hier sind Alpha und Delta 90 Grad groß. Das a und c parallel zueinander sind, sieht man hier an den beiden rechten Winkeln sofort. Hat das Trapez zusätzlich noch rechte Winkel bei Beta und Gamma, dann erfüllt es nicht nur die Eigenschaften des Trapezes, sondern auch des Rechtecks. Alle Winkel betragen dann 90 Grad und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander. Sind zusätzlich alle Seiten gleich lang, entspricht es darüber hinaus der Definition eines Quadrates. Sind alle Seiten gleich lang, die Winkel jedoch nicht mehr 90 Grad groß, dann sind trotzdem die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Somit erfüllt diese Figur die Eigenschaften der Raute. Wenn ausschließlich gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, dann ist das Trapez auch ein Parallelogramm. Die Vierecktypen Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm sind also immer auch Trapeze. Unfassbar! Nun bildet er die Form eines verschränkten Trapezes. Wir sagen dazu auch überschlagenes Trapez. Die Entstehung dieser Variante kannst du dir so vorstellen. Bei einem überschlagen Trapez schneiden sich die beiden nicht parallelen Seiten, also b und d. a und c sind dennoch weiterhin parallel zueinander. Es entspricht somit der grundlegenden Definition eines Trapezes. Trapezo setzt zum "Grande Finale" an. Wird er es wirklich wagen zu springen? Bevor wir das erfahren, fassen wir noch schnell zusammen. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Das Trapez kann dabei verschiedene Formen annehmen. Es gibt zum Beispiel das symmetrische, das rechtwinklige und das verschränkte Trapez. Außerdem erfüllen viele weitere Vierecke die Eigenschaften des Trapezes, wie zum Beispiel das Rechteck. Trapezo macht sich bereit und springt offensichtlich nur ins eigene Wohnzimmer.
Das Trapez Übung
-
Beschrifte die Trapeze.
TippsBei einem Parallelogramm sind je zwei Seiten parallel, aber nicht notwendig alle Seiten gleich lang.
Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
Ein Trapez mit überkreuzten Seiten heißt verschränkt oder überschlagen.
LösungAlle Trapeze sind Vierecke. Ein allgemeines Trapez hat genau zwei parallele Seiten. Die vier Seiten sind im Allgemeinen verschieden lang. Neben diesem allgemeinen Trapez gibt es die hier gezeigten spezielleren Trapeze:
- Ein Trapez heißt rechtwinklig, wenn es mindestens einen rechten Winkel besitzt. Wegen der Parallelität zweier Seiten hat ein solches Trapez notwendig einen weiteren rechten Winkel. Ein allgemeines rechtwinkliges Trapez hat vier verschieden lange Seiten.
- Ein Trapez heißt symmetrisch, wenn es achsensymmetrisch ist. In diesem Fall sind je zwei Seiten gleich lang und die den parallelen Seiten anliegenden Winkel gleich groß.
- Ein Trapez mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck. Bei einem allgemeinen Rechteck sind je zwei Seiten gleich lang.
- Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat.
- Sind bei einem Trapez alle vier Seiten gleich lang, aber die Winkel nicht notwendig alle gleich, so ist es eine Raute. Bei einer Raute sind je zwei gegenüberliegende Seiten parallel.
- Ein Parallelogramm ist ein Trapez, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel sind. Sie sind aber nicht notwendig gleich lang.
- Bei einem verschränkten Trapez schneiden sich die beiden nicht parallelen Seiten zwischen den beiden parallelen Seiten.
-
Benenne die Eigenschaften von Trapezen.
TippsEin Viereck kannst du durch eine Diagonale in zwei Dreiecke teilen. Die Innenwinkelsumme des Vierecks ist daher das Doppelte der Innenwinkelsumme eines Dreiecks.
Es gibt kein Trapez, das genau einen rechten Winkel hat.
Ein Quadrat ist auch eine Raute. Aber nicht jede Raute ist auch ein Quadrat.
LösungTrapezos Figuren sind allesamt Trapeze. Sie folgen daher den Gesetzen der Geometrie. Hier sind die korrekten Aussagen:
- „Die Winkelsumme im Trapez ... beträgt $360^\circ$.“ Dies gilt sogar in jedem Viereck.
- „Die Summe der Innenwinkel an nicht parallelen Seiten ... ist immer $180^\circ$.“ Diese Winkelsumme ergibt sich aus der Parallelität der beiden anderen Seiten. Sie gilt daher nur bei Trapezen.
- „Ein rechtwinkliges Trapez ... hat zwei rechte Winkel.“ Ein Trapez heißt rechtwinklig, wenn es mindestens einen rechten Winkel besitzt. Wegen der Parallelität zweier Seiten hat es dann mindestens einen weiteren rechten Winkel.
- „Ein nicht verschränktes Trapez mit vier gleich langen Seiten ... heißt Raute.“ Bei einer Raute sind alle vier Seiten gleich lang. Daraus folgt auch, dass gegenüberliegende Seiten parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß sind.
- „Ein nicht verschränktes Trapez, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, ... heißt Parallelogramm.“ Sind zwei Seiten eines Vierecks parallel und die beiden anderen Seiten gegenüberliegend und gleich lang, so sind sie auch parallel. In diesem Falle ist das Viereck ein Parallelogramm.
-
Ordne die Eigenschaften der Figuren zu.
TippsEin Trapez hat mindestens zwei parallele Seiten.
Die mathematischen Symbole sind wie folgt definiert:
- $\parallel$: parallel
- $\nparallel$: nicht parallel
- $\perp$: orthogonal
- $=$: gleich
- $\neq$: ungleich
Bei einem symmetrischen Trapez sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.
LösungEin Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Die Seiten werden üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn mit $a$, $b$, $c$ und $d$ bezeichnet. Bei einem Trapez ist daher $a \parallel c$ oder $b \parallel d$. Wir bezeichnen hier die parallelen Seiten immer mit $a$ und $c$.
Ist zusätzlich $b \parallel d$, so ist das Trapez ein Parallelogramm. Sind dann noch alle vier Seiten gleich lang, d. h. $a=b=c=d$, so ist es eine Raute. Ein symmetrisches Trapez hat eine Symmetrieachse. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang, d. h. $a=c$ und $b=d$, aber im Allgemeinen sind einander anliegende Seiten verschieden lang, d. h. $a \neq b$. Nur bei einem symmetrischen Trapez sind die den parallelen Seiten anliegenden Winkel gleich groß, d. h. $\alpha =\beta$ und $\gamma =\delta$.
-
Charakterisiere die Trapeze.
TippsDie Diagonalen eines Vierecks mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $D$ sind die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$.
Überlege, welche die möglichen rechten Winkel in einem allgemeinen rechtwinkligen Trapez sind.
LösungEin allgemeines Trapez hat genau zwei parallele Seiten. Die beiden übrigen Seiten sind nicht parallel. Die vier Seiten eines allgemeinen Trapezes haben je verschiedene Längen. Die Winkelsumme in einem Trapez beträgt immer $360^\circ$. Die Summe der anliegenden Winkel einer nicht parallelen Seite ist $180^\circ$. Ist $a \parallel c$, so gilt die Gleichung:
$\alpha + \delta = \beta + \gamma$
Sind die nicht parallelen Seiten eines Trapezes gleich lang, so ist das Trapez achsensymmetrisch. In diesem Falle gilt für die Winkel:
$\alpha= \beta$ und $\gamma = \delta$
Bei einem verschränkten Trapez liegen die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ außerhalb der Trapezfläche. Teilt der Schnittpunkt der nicht parallelen Seiten diese Seiten in der Mitte, so ist das Trapez punktsymmetrisch.
Ein Trapez heißt rechtwinklig, wenn es mindestens einen rechten Winkel besitzt. Ist in einem Trapez $a \parallel c$ und $\beta = 90^\circ$, ist auch $\gamma=90^\circ$. Ist zusätzlich $\alpha = 90^\circ$ und damit $\delta = 90^\circ$, so sind alle Winkel des Trapezes rechte Winkel.
-
Zeige auf, welche Figuren Trapeze sind.
TippsJedes Trapez ist ein Viereck.
Bei einem Trapez sind zwei Seiten parallel.
Nicht jede Figur mit parallelen Seiten ist ein Trapez.
LösungJedes Trapez ist ein Viereck. Manche der Figuren sind aber Fünfecke und können daher keine Trapeze sein. Ein verschränktes Trapez sieht auf den ersten Blick nicht wie ein Viereck aus, da sich die beiden nicht parallelen Seiten in einem weiteren Punkt schneiden. Dieser gehört aber nicht zu den Ecken des Trapezes.
Ein Parallelogramm ist ein spezielles Trapez, bei dem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Ein Trapez heißt symmetrisch, wenn es eine Symmetrieachse hat. Sie teilt das Trapez in zwei gleich große Flächen.
Eine Raute ist ein nicht verschränktes Trapez, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Ein Drachen sieht einer Raute ähnlich, hat aber im Allgemeinen keine parallelen Seiten.
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Analysiere die Aussagen.
TippsÜberlege, welche verschiedenen Trapeze punktsymmetrisch sind.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Sind bei einem Trapez zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß, so sind auch die beiden anderen gegenüberliegenden Winkel gleich groß.“ Diese Aussage folgt aus der Beobachtung, dass die Summe der einer nicht parallelen Seite anliegenden Winkel $180^\circ$ beträgt. Sind nämlich $\alpha + \delta = 180^\circ = \beta + \gamma$ und $\alpha = \gamma$, so ist $\gamma + \delta = \beta + \gamma$ und daher $\beta = \delta$.
- „Ein Trapez mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute oder ein verschränktes Trapez.“ Jedes nicht verschränkte Trapez, das keine Raute ist, hat verschieden lange Seiten. Bei einem verschränkten Trapez können auch die Seiten gleich lang sein, ohne dass das Trapez eine Raute ist.
- „Ist bei einem Parallelogramm die Summe gegenüberliegender Winkel $180^\circ$, so ist es ein Rechteck.“ Bei einem Parallelogramm ist immer $\alpha + \delta = 180^\circ = \beta + \gamma$ und $\alpha + \beta = 180^\circ =\gamma + \delta$. Ist auch $\alpha + \gamma =180^\circ= \beta + \delta$, so folgt daraus $(180^\circ - \gamma) + \delta = 180^\circ$, also $\gamma = \delta$. Wegen $\gamma + \delta = 180^\circ$ ist also $\gamma = \delta = 90^\circ$. Analog findet man $\alpha = \beta = 90^\circ$.
- „Ein punktsymmetrisches, nicht verschränktes Trapez ist ein Parallelogramm.“ Wird bei einer Drehung um $180^\circ$ jede Seite eines Trapezes auf ihre gegenüberliegende Seite abgebildet, so ist das Trapez entweder verschränkt oder ein Parallelogramm.
- „Sind bei einem Trapez je zwei Seiten gleich lang, so ist es ein Parallelogramm.“ Auch verschränkte Trapeze können Paare gleich langer Seiten haben.
- „Es gibt kein rechtwinkliges verschränktes Trapez.“ In dem Bild siehst du ein rechtwinkliges verschränktes Trapez.
- „Ist ein Trapez punktsymmetrisch, so ist es ein verschränktes Trapez.“ Parallelogramme sind auch punktsymmetrisch, aber nicht verschränkt.
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