Aufbau von Vierecken

Aufbau von Vierecken Übung

• Gib Eigenschaften von Vierecken an.

  Tipps

  Überlege, welche Eigenschaften Vierecke haben, und entscheide dann, welche Wörter in den Lückentext gehören.

  Lösung

  Ein Viereck ist eine ebene, also zweidimensionale geometrische Figur mit vier Ecken. Diese werden mit Großbuchstaben beschriftet. Es wird normalerweise in der Ecke unten links mit dem Buchstaben A begonnen. Dann werden die weiteren Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn in alphabetischer Reihenfolge gekennzeichnet. Grundsätzlich ist die Bezeichnung der Eckpunkte aber beliebig.

  Jedes Viereck hat immer vier Seiten. Die Seiten verbinden als Strecken jeweils zwei Eckpunkte. Sie umranden das Viereck. Sie werden ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn mit kleinen Buchstaben beschriftet. Und es wird mit Seite a angefangen, die die Punkte A und B verbindet. Die Diagonalen werden ebenfalls mit kleinen Buchstaben markiert, sie verbinden aber gegenüberliegende Eckpunkte miteinander, zum Beispiel A und C. Sie werden üblicherweise mit e und f bezeichnet.

  Innenwinkel werden von den sich treffenden Seiten im Eckpunkt eingeschlossen. Für die Bezeichnung benutzen wir griechische Buchstaben. Das hat den Vorteil, dass wir gleich wissen, dass es sich um Winkel handelt. Sie werden analog zu den Eckpunkten benannt, also bei A liegt der Winkel α. Alle Innenwinkel ergeben zusammen in der Summe 360°.

• Benenne das allgemeine Viereck.

  Tipps

  Eckpunkte werden mit Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

  Seiten werden mit Kleinbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Die Seite $a$ verbindet die Eckpunkte $A$ und $B$.

  Innenwinkel werden entsprechend den Eckpunkten, bei denen sie liegen, mit griechischen Buchstaben beschriftet. Bei Eckpunkt $A$ liegt also der Innenwinkel $\alpha$.

  Lösung

  Die Eckpunkte eines Vierecks werden mit Großbuchstaben, üblicherweise mit $A$, $B$, $C$ und $D$, gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet. Die Seiten eines Vierecks werden mit Kleinbuchstaben entsprechend den Eckpunkten gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet, hier also mit $a$, $b$, $c$ und $d$. Ebenso werden auch die Diagonalen mit Kleinbuchstaben beschriftet. Die Innenwinkel werden entsprechend den Eckpunkten, bei denen sie liegen, mit griechischen Buchstaben bezeichnet, hier also mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$.

• Entscheide anhand der Winkelsumme, ob ein Viereck gegeben ist.

  Tipps

  Die Innenwinkelsumme in einem Viereck beträgt immer $360^\circ$.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $\alpha = 60^\circ;~ \beta = 40^\circ;~ \gamma = 160^\circ;~ \delta = 100^\circ$

  Die Summe der Winkel entspricht

  • $60^\circ + 40^\circ + 160^\circ + 100^\circ = 360°$

  und damit handelt es sich hierbei um die Innenwinkel eines Vierecks.

  Lösung

  Es handelt sich genau dann um ein Viereck, wenn die Summe der Winkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ genau $360^\circ$ ergibt.

  Demnach können die folgenden Winkel die Innenwinkel eines Vierecks bilden:

  $92^\circ + 47^\circ + 110^\circ + 111^\circ = 360^\circ$

  $66^\circ + 33^\circ + 111^\circ +150^\circ = 360^\circ$

  Folgende Winkel können nicht die Innenwinkel eines Vierecks sein, da die Innenwinkelsumme nicht $360^\circ$ ergibt:

  $61^\circ+ 78^\circ + 59^\circ + 163^\circ = 361^\circ$

  $170^\circ + 32^\circ + 88^\circ + 71^\circ= 361^\circ$

• Berechne die Winkelsumme im Viereck.

  Tipps

  Die Winkelsumme im Viereck ergibt immer $360^\circ$. Man addiert also alle Winkel und erhält in der Summe $360^\circ$.

  Die Formel lautet $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$.

  Um die Gradangabe eines fehlenden Winkels zu erhalten, kann man auch $360^\circ$ minus die gegebenen Winkel rechnen.

  Lösung

  Um die fehlenden Werte zu erhalten, rechnest du $360^\circ$ minus die gegebenen Winkel.

  1. $\quad 360^\circ - 60^\circ - 80^\circ - 125^\circ = 95^\circ$

  2. $\quad 360^\circ - 130^\circ - 70^\circ - 115^\circ = 45^\circ$

  3. $\quad 360^\circ - 52^\circ - 96^\circ - 74^\circ = 138^\circ$

  4. $\quad 360^\circ - 17^\circ - 201^\circ - 83^\circ = 59^\circ$

• Beschreibe die Eigenschaften eines allgemeinen Vierecks.

  Tipps

  Die Eckpunkte eines Vierecks werden mit Großbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel:

  • $A$, $B$, $C$ und $D$
  • $E$, $F$, $G$ und $H$

  Die Diagonalen eines Vierecks verbinden jeweils zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Vierecks.

  Bei jedem Eckpunkt eines Vierecks liegt ein Innenwinkel.

  Lösung

  Aufbau eines allgemeinen Vierecks

  Ein Viereck hat immer vier Eckpunkte, die mit Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn beschriftet werden.

  Es hat auch immer vier Seiten, die als Strecken jeweils zwei benachbarte Eckpunkte verbinden. Die Seiten werden immer mit Kleinbuchstaben ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

  Sich im Eckpunkt treffende Seiten bilden die Innenwinkel des Vierecks. Damit liegt bei jedem Eckpunkt ein Innenwinkel. Ein Viereck hat also immer vier Innenwinkel. Die Summe aller Innenwinkel beträgt immer $360^\circ$. Die Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

  Die zwei Diagonalen im Viereck verbinden jeweils zwei gegenüberliegende Eckpunkte, sie werden auch mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

• Bestimme die richtigen Aussagen über Vierecke.

  Tipps

  Ein rechter Winkel hat immer $90^\circ$.

  Seiten und Diagonalen werden mit der gleichen Art von Buchstaben bezeichnet.

  Die Winkelsumme bezieht sich immer auf die Innenwinkel.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  Es existiert ein Viereck mit den Innenwinkeln: $\alpha = 30^\circ, \beta = 80^\circ, \gamma = 100^\circ$ und $\delta = 150^\circ$.

  Zwei benachbarte Seiten schließen im gemeinsamen Eckpunkt immer einen Innenwinkel ein. Vier Seiten umranden das Viereck.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  - Ein Viereck besitzt immer $4$ Eckpunkte, $4$ Diagonalen und $2$ Seiten.

  Begründung: Im Viereck gibt es $4$ Seiten und $2$ Diagonalen.

  - Die Summe aller Außenwinkel im Viereck ergibt immer $360^\circ$.

  Begründung: Die Winkelsumme bezieht sich immer auf die Innenwinkel. Man bezeichnet sie daher auch als Innenwinkelsumme.

  - Die Seiten und Eckpunkte werden immer in alphabetischer Reihenfolge und mit dem Uhrzeigersinn beschriftet.

  Begründung: Es wird immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

  - Vierecke sind ebene, dreidimensionale geometrische Figuren.

  Begründung: Vierecke sind eben und damit zweidimensional.