Binomische Formeln – Überblick
Erkunde die Welt der binomischen Formeln und lerne, wie du spezielle Klammerausdrücke blitzschnell berechnen kannst. Wir zeigen dir die Tricks der ersten, zweiten und dritten binomischen Formel und wie du diese rückwärts anwendest. Interessiert? Tauche tiefer ein und werde zum Experten mit unseren Beispielen und Übungen!
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
5 Minuten verstehen
5 Minuten üben
2 Minuten Fragen stellen
Bereit für eine echte Prüfung?
Grundlagen zum Thema Binomische Formeln – Überblick
Binomische Formeln – Definition
Die binomischen Formeln sind ein Hilfsmittel, mit dem du spezielle Fälle von Produkten mit Klammern schnell berechnen kannst.
Allgemein müssen wir beim Ausmultiplizieren von zwei Klammern nach folgendem Schema vorgehen:
$(a+b) \cdot (c+d)=a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d$.
Ein Term der Form $a \pm b$ wird als Binom bezeichnet.
Ein Binom ist die Summe oder Differenz aus zwei (lat. bi) Termen, die nur aus einer Zahl oder Variable, oder aus einem Produkt von Zahlen und Variablen bestehen.
Der Name binomische Formeln kommt daher, dass mit ihnen das Produkt von Binomen berechnet wird.
Es gibt drei binomische Formeln:
1. binomische Formel: $~(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$
2. binomische Formel: $~(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$
3. binomische Formel: $~(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$
Erste binomische Formel
Die erste binomische Formel behandelt das Produkt von zwei Summen der Form $a + b$. Daher wird sie auch Plus-Formel genannt.
1.$~$binomische Formel: $~(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$
Zweite binomische Formel
Die zweite binomische Formel behandelt das Produkt von zwei Differenzen der Form $a - b$. Daher wird sie auch Minus-Formel genannt.
2.$~$binomische Formel: $~(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$
Dritte binomische Formel
Die dritte binomische Formel behandelt das Produkt aus einer Summe und einer Differenz der Form $a + b$ und $a - b$. Daher wird sie auch Plus-Minus-Formel genannt.
3.$~$binomische Formel: $~(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$
Binomische Formeln rückwärts anwenden
Die beiden Seiten der binomischen Formeln sind durch ein Gleichheitszeichen ($=$) verbunden. Beide Terme haben also den gleichen Wert, wir können auch sagen die Terme sind äquivalent.
Aus diesem Grund können wir die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden. Das bedeutet, einen Term, der die Form der rechten Seite der Formel hat, in die Form der linken Seite bringen. Dabei gilt:
- $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2~$ (1. binomische Formel)
- $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2~$ (2. binomische Formel)
- $a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)~$ (3. binomische Formel)
Durch Umformung in diese Richtung können wir eine Summe (oder Differenz) als Produkt von Binomen schreiben. Termumformungen wie diese, deren Ergebnis ein Produkt ist, bezeichnet man in der Mathematik mit dem Begriff faktorisieren.
Binomische Formeln rückwärts anwenden – Beispiele
Um eine der binomischen Formeln rückwärts anzuwenden, musst du zunächst erkennen, dass ein gegebener Term die Form der rechten Seite einer Formel hat. Da jede der Formeln in ausmultiplizierter Form zwei quadratische Terme $(a^2$ und $b^2)$ enthält, solltest du diese zuerst identifizieren. Danach prüfst du die Vorzeichen und für die erste und zweite binomische Formel das gemischte Glied $(\pm 2ab)$.
Beispiel 1: Differenz zweier Quadrate
Wir betrachten den Term $25x^2 - 16z^2$.
Es handelt sich um eine Differenz, bei der wir Minuend und Subtrahend als Quadrate schreiben können:
- $25x^2 = (5x)^2$
- $16z^2 = (4z)^2$
Der Term hat also die Form $a^2 - b^2$ mit $a = 5x$ und $b = 4z$.
Wir formen nach der dritten binomischen Formel um:
$\begin{array}{ccccccc} a^2 &-& b^2 &=& (a + b) &\cdot& (a - b) \\ \\ (5x)^2 &-& (4z)^2 &=& (5x + 4z) &\cdot& (5x - 4z) \end{array}$
Beispiel 2: Summe mit drei Summanden
Wir betrachten den Term $9x^2 + 6x + 1$.
Zwei der drei Summanden können wir als Quadrate schreiben:
- $9x^2 = (3x)^2$
- $1 = 1^2$
Wir können daher vermuten, dass es sich um die rechte Seite der ersten binomischen Formel ${(a^2 + 2ab + b^2)}$ mit $a = 3x$ und $b = 1$ handelt.
Wir überprüfen den dritten Summanden:
$2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x \quad$ ✔
Wir formen der Term entsprechend der ersten binomischen Formel um:
$\begin{array}{cccccccc} a^2 &+& 2ab &+& b^2 &=& (a + b)^2 \\ \\ (3x)^2 &+& 2 \cdot 3x \cdot 1 &+& (1)^2 &=& (3x + 1)^2 \end{array}$
Binomische Formeln hoch drei
Wenn es im Matheunterricht um die binomischen Formeln geht, dann sind in den meisten Fällen die drei oben aufgeführten Formeln mit dem Exponent $2$ gemeint. Wir wollen uns hier einmal anschauen, wie das Ergebnis für ein Binom mit Exponent $3$ aussieht.
- $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
- $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Dass diese Formel gelten, kannst du selbst überprüfen, indem du das Produkt schrittweise ausmultiplizierst und gleiche Terme zusammenfasst.
Binomische Formeln – höhere Exponenten
Tatsächlich gibt es eine paar allgemeine Regeln, nach denen du ein Binom der Form $a + b$ mit einer beliebigen natürlichen Zahl $n$ als Exponent direkt berechnen kannst:
- Das Ergebnis von $(a + b)^n$ ist eine Summe mit $n + 1$ Summanden.
- Der erste Summand ist $a^n$, der letzte $b^n$.
- Die weiteren Summanden werden gebildet, indem von links nach recht der Exponent von $a$ um eins verringert und der von $b$ um eins erhöht wird.
- Die ganzzahligen Koeffizient der Summanden entsprechen dem Binomialkoeffizienten $\binom{x~-~y}{y}$, wobei $x$ der Exponent von $a$ und $y$ der Exponent von $b$ ist.
Sie können auch der $(n + 1)$-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks entnommen werden.
Wir bilden nach diesen Regeln das Ergebnis von $(a + b)^5$:
$\quad a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
Binomische Formeln – Aufgaben
Mithilfe der binomischen Formeln können auch Rechnungen vereinfacht werden:
Es soll das Produkt $42\cdot 38$ berechnet werden. Hierfür kannst du schriftlich multiplizieren oder aber die 3. binomische Formel nutzen.
$42\cdot 38=(40+2)\cdot(40-2)$
Nun kann die Differenz zweier Quadratzahlen berechnet werden:
$\begin{array}{rcc} (40+2)\cdot(40-2)&=&40^2-2^2 \\ &=&1600-4 \\ &=&1596 \end{array}$
Also ist $42\cdot 38=1596$.
Rechnen mit binomischen Formeln
Wir wollen ein paar Beispiele betrachten, wie du mit den binomischen Formeln rechnest.
Ausmultiplizieren mit binomischen Formeln
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler bei der Anwendung der binomischen Formeln ist das Überspringen des mittleren Terms. Achte darauf, dass es bei der ersten und zweiten binomischen Formel einen mittleren Term gibt und $(a+b)^2 \neq a^2 +b^2$ ist.
1. Beispiel: $(x+2)^2$
Um dieses Quadrat aufzulösen, kann eine binomische Formel verwendet werden. Welche binomische Formel liegt vor? Hier wird eine Summe quadriert: Dies ist die erste binomische Formel. Auf der rechten Seite wird $a$ durch $x$ und $b$ durch $2$ ersetzt:
$(x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2=x^2+4x+4$
2. Beispiel: $(2y-3)^2$
Das Quadrat einer Differenz zeigt an, dass es sich hier um die zweite binomische Formel handelt mit $a=2y$ und $b=3$. Das Rechenzeichen $-$ kommt in der binomischen Formel auf der rechten Seite vor:
$(2y-3)^2=(2y)^2-2\cdot (2y)\cdot 3+3^2=4y^2-12y+9$
3. Beispiel: $(4x+2y)\cdot (4x-2y)$
Abschließend noch ein Beispiel zur dritten binomischen Formel:
$(4x+2y)\cdot (4x-2y)=(4x)^2-(2y)^2=16x^2-4y^2$
Umkehrung der Binomischen Formeln (Faktorisieren)
1. Beispiel: $9a^2-18a+9$
Es liegen drei Terme vor. Das Minus zeigt an, dass die zweite binomische Formel vorliegt.
Wir schreiben den Term so um, dass die einzelnen Teile der Formel genau zu erkennen sind:
$9a^2-18a+9=(3a)^2-2\cdot (3a)\cdot 3+3^2$
Hier hat also $3a$ die Rolle von $a$ und $3$ die Rolle von $b$ in der binomischen Formel. Damit gilt:
$9a^2-18a+9=(3a-3)^2$
2. Beispiel: $25x^2-4$
Es liegen zwei Terme vor. Diese sind jeweils Quadrate und werden subtrahiert:
$25x^2-4=(5x)^2-2^2$
So ist die rechte Seite der dritten binomischen Formel genau erkennbar. Wir wenden diese an und erhalten:
$25x^2-4=(5x+2)\cdot (5x-2)$
3. Beispiel: $\dfrac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}$
Wir wollen den Bruch mit Hilfe der binomischen Formeln kürzen.
Im Folgenden darf $x$ weder $0$ noch $-\frac13$ sein, da ansonsten der Nennerterm $x(3x-1)$ den Wert $0$ annehmen würde. Du weißt ja, dass die Division durch $0$ nicht erlaubt ist.
- Forme den Zählerterm um: $9x^2+6x+1=(3x+1)^2$ (erste bin. Formel)
- Damit können wir den Bruch schreiben als: $\dfrac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}=\dfrac{(3x+1)^2}{x(3x+1)}$
- Nun siehst du, dass das Binom $3x+1$ sowohl im Zähler- als auch im Nennerterm als Faktor auftaucht. Das bedeutet, dass du dies kürzen kannst:
$\dfrac{9x^2+6x+1}{x(3x+1)}=\dfrac{\color{green}{(3x+1)}^2}{x\color{green}{(3x+1)}}=\dfrac{3x+1}x$
Binomische Formeln – Übungen
Mit den Aufgaben zu binomischen Formeln kannst du selbst prüfen, wie gut du das Thema schon verstanden hast.
Terme ausmultiplizieren
Terme faktorisieren
Quadratzahlen bestimmen
Weitere Aufgaben
Ausblick – das lernst du nach Binomische Formeln – Überblick
Vertiefe dein Verständnis in den Binomischen Formeln mit Quadratischen Gleichungen. Die Themen Quadratische Funktionen und Quadratische Ergänzung stehen als nächstes auf deinem Lernprogramm.
Binomische Formeln – Zusammenfassung
- Die binomischen Formeln sind ein Spezialfall der Regeln zur Multiplikation von Klammern.
- Es werden Binome der Form $a \pm b$ miteinander multipliziert, daher auch der Name binomische Formeln.
- In eine Richtung angewendet, dienen die Formeln zum schnellen Ausmultiplizieren. Dabei wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt.
- Wendet man die binomischen Formeln in umgekehrter Richtung an, so wird aus einer Summe ein Produkt. Der Term wird also faktorisiert.
| Bezeichnung | Term |
|---|---|
| Erste binomische Formel | $(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$ |
| Zweite binomische Formel | $(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$ |
| Dritte binomische Formel | $(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$ |
Häufig gestellte Fragen zum Thema binomische Formeln
Transkript Binomische Formeln – Überblick
AQuadrat und Cyberfüchsin sind Hacker. Sie versuchen bei jeder Gelegenheit, sich gegenseitig zu überbieten. Heute wollen sie sich in das Sicherheitssystem eines Unternehmens hacken. Wer zuerst in das System knackt, dem ist ewig währender Ruhm sicher. AQuadrat steht vor der ersten Sicherheitsschranke. Um sie zu überwinden, muss er folgenden Ausdruck vereinfachen: a + b in Klammern zum Quadrat. Also: a + b in Klammern mal a+ b in Klammern. AQuadrat weiß, wie er das Produkt dieser beiden Binome berechnen kann. Dafür nimmt er eine Fläche zu Hilfe. Und zwar ein Quadrat, das er in zwei Zeilen und zwei Spalten unterteilt. Jedes Teilstück markiert er mit einem Term aus den zwei Binomen. Dann berechnet er die Fläche von jedem Teilstück und schreibt die Formel dafür in das passende Teilstück. a mal a ist gleich a Quadrat, a mal b ist gleich ab. b mal a ist ebenfalls gleich ab. b mal b ist gleich b Quadrat. Er addiert die Terme, fasst gleichartige Terme zusammen und schreibt den Ausdruck in der Normalform: a² + 2ab + b². Ja, jetzt hat er es! Er gibt das Passwort ein. Verflixt! Cyberfüchsin war schneller. Wie kann das denn sein? Kennt sie etwa einen schnelleren Weg, um das Produkt von zwei Binomen zu berechnen? Und ob sie den kennt! Die schlaue Füchsin hat in dem Ausdruck sofort ein Muster erkannt. Sie kennt nämlich die 1. binomische Formel: a+b in Klammern zum Quadrat = a² + 2ab + b². AQuadrat kommt zur zweiten Sicherheitsschranke. Dieses Mal will er schneller sein und probiert eine andere Methode. Um Klammer auf a minus b Klammer zu mal Klammer auf a minus b Klammer zu auszurechnen, nutzt er das Distributivgesetz. Dabei multipliziert er jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer. Los, wir müssen uns ranhalten! Zuerst die beiden vorderen Terme: a mal a ist gleich a². Jetzt die beiden äußeren Terme: a mal -b ist gleich -ab. Nun die inneren Terme: -b mal a ist gleich -ab. Und zuletzt die beiden hinteren Terme: -b mal -b ist gleich b². Gleichartige Terme werden zusammengefasst und wir erhalten: a² - 2ab + b². Schnell das Passwort eingeben und. Verflixt! Er hat zwar flink gerechnet, aber Cyberfüchsin hat ihn trotzdem ausgestochen. Wie das denn? Sie hat wieder das Muster erkannt. Dieses Mal nämlich das der 2. binomischen Formel: a - b in Klammern zum Quadrat ist gleich a² - 2ab + b². Ah, die letzte Sicherheitsschranke. Dieses Mal muss ein Produkt gelöst werden: 42 mal 38. Kein Problem, AQuadrat kann multiplizieren wie kein Zweiter. Soll das ein Witz sein?! Cyberfüchsin ist wirklich ausgefuchst. Sie hat die Differenz von zwei Quadratzahlen genutzt, um die Rechnung zu lösen. Du hast den Ausdruck: In Klammern a + b mal in Klammern a – b. Schau, was beim Ausmultiplizieren passiert. Diese Produkte heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt die Differenz von zwei Quadratzahlen, a Quadrat minus b Quadrat. Clevere Cyberfüchsin. Sie hat die Zahlen 42 und 38 umgeschrieben zu 40 plus 2 und 40 minus 2 und so die Differenz von zwei Quadratzahlen erhalten. Die Potenzen hat sie dann ausgerechnet und ratzfatz die Differenz erhalten: 1.596. Sie hat die 3. binomische Formel erkannt. Pass gut auf, dann wirst du diese Muster auch erkennen, genau wie Cyberfüchsin. Mit dieser Zusammenfassung hier kannst du dir die binomischen Formeln leicht merken. Dann bist du auch so schnell wie Cyberfüchsin. Und die hat ganz klar gewonnen. Aber was ist das? Sieht so aus, als ob die beiden Hacker gehackt werden. Von ihrer Mutter?! Zeit fürs Abendessen!
Binomische Formeln – Überblick Übung
-
Berechne die Terme mithilfe der binomischen Formeln.
TippsDu kannst eine Potenz auch so aufschreiben:
$a^2=a\cdot a$
Beide Schreibweisen haben die gleiche Bedeutung.
Du kannst zum Ausmultiplizieren der Klammern auch das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet:
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Du darfst nur gleichartige Terme addieren oder subtrahieren.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$x+y+3y+xy+yx=x+4y+2xy$
Es gilt nämlich $~ xy=yx$.
LösungFolgende Terme sind uns gegeben:
- $(a+b)^2$
- $(a-b)^2$
- $(a+b)(a-b)$
- $42 /cdot 38$
1. binomische Formel: $~(a+b)^2$
$~(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$
2. binomische Formel: $~(a-b)^2$
$~(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$
3. binomische Formel: $~(a+b)(a-b)$
$~(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$
Für das Zahlenbeispiel können wir nun die dritte binomische Formel anwenden:
$42 /cdot 38 = (40+2)(40-2)=40^2-2^2=1\,600-4=1\,596$
-
Beschreibe, wie du die Multiplikation $42\cdot 38$ mithilfe der dritten binomischen Formel lösen kannst.
TippsEine Multiplikation der Form $(a+b)\cdot (c+d)$ kannst du ebenfalls durch Anwendung des Distributivgesetzes lösen. Hierzu gilt:
$(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$
Die binomischen Formeln stellen eine Sonderform beim Auflösen zweier Klammerterme dar.
Die dritte binomische Formel lautet:
$(a+b) \cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$
LösungDie Multiplikationsaufgabe $42\cdot 38$ können wir sowohl mittels schriftlicher Multiplikation als auch durch geschickte Anwendung der dritten binomischen Formel lösen.
Das Vorgehen bei der schriftlichen Multiplikation kannst du der hier dargestellten Abbildung entnehmen.
Deutlich schneller kannst du diese Aufgabe durch Anwendung der dritten binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ rechnen. Dazu schreiben wir die Aufgabe zunächst so um, dass wir zwei Klammerterme erhalten. Wir rechnen wie folgt:
$42\cdot 38=(40+2)\cdot (40-2)=40^2-2^2=1 600-4=1 596$
-
Ermittle mithilfe der binomischen Formeln die Lösungen der Terme.
TippsDie erste und zweite binomische Formel lauten:
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Du quadrierst eine Zahl, indem du sie einmal mit sich selbst multiplizierst:
$6^2=6\cdot 6=36$
LösungUnter Anwendung der binomischen Formeln möchten wir im Folgenden die gegebenen Beispiele lösen. Die drei binomischen Formeln lauten:
Erste binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Zweite binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Dritte binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Mit diesen Formeln können wir nun die gegebenen Klammerterme berechnen. Hier siehst du die Rechenwege:
- $(11+3)^2=121+66+9=196$
- $(12-5)^2=144-120+25=49$
- $(5+3)\cdot (5-3)=25-9=16$
- $(13-4)^2=169-104+16=81$
-
Bestimme den Term für die markierten Flächen.
TippsDie Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ entspricht $a^2$.
Die erste binomische Formel lautet:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Hier siehst du die dritte binomische Formel:
$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
LösungWir betrachten hier zwei Flächen, welche je durch eine der binomischen Formeln beschrieben werden. Die binomischen Formeln kann man sich nämlich jeweils als Fläche vorstellen.
Gegeben sind dabei ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a$ und ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge $b$, das in dem großen Quadrat liegt. Die Fläche eines Quadrats entspricht dem Quadrat seiner Seitenlänge. Somit hat das große Quadrat eine Fläche von $a^2$ und das kleine Quadrat eine Fläche von $b^2$.
Rote Fläche
Zunächst schauen wir uns die rote Fläche an. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge $a-b$ und somit die Fläche $(a-b)^2$. Sie entspricht also der Quadratfläche, welche durch die zweite binomische Formel beschrieben wird.
Diese lautet:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Da die linke Seite dieser Gleichung die rote Fläche beschreibt, muss diese auch durch die rechte Seite beschrieben werden. Das bedeutet, dass wir von dem großen Quadrat zunächst zweimal die Fläche $a\cdot b$ abziehen. Anschließend addieren wir die Fläche $b^2$, da wir dieses Stück zweimal abgezogen haben.
Grüne Fläche
Nun betrachten wir die grüne Fläche. Diese Fläche erhalten wir, wenn wir von dem großen Quadrat das kleine Quadrat abziehen. Der Flächeninhalt des großen Quadrats beträgt $a^2$ und der Flächeninhalt des kleinen Quadrats beträgt $b^2$. Der Flächeninhalt der grünen Fläche wird also durch den Term $a^2-b^2$ beschrieben. Du kannst dies auch auf dem Bild erkennen. Dieser Term ist gegeben durch die dritte binomische Formel.
Diese lautet:
$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Die grüne Fläche wird ebenfalls durch die linke Seite der Gleichung beschrieben.
-
Gib an, mit welcher binomischen Formel das jeweilige Beispiel gelöst werden kann.
TippsDie erste binomische Formel lautet:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Die zweite binomische Formel lautet:
$(a-b)\cdot (a-b)=a^2-2ab+b^2$
Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$.
LösungEs sind die folgenden Beispiele gegeben:
- $(4+2)\cdot (4-2)$
- $(5-3)^2$
- $(x-y)\cdot (x+y)$
- $(4+5)\cdot (4+5)$
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
- $(4+2)\cdot (4-2) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
- $(5-3)^2 ~\rightarrow ~$ 2. binomische Formel
- $(x-y)\cdot (x+y) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
- $(4+5)\cdot (4+5)=(4+5)^2 ~\rightarrow ~$ 1. binomische Formel
-
Ermittle das zugehörige Produkt von Klammertermen.
TippsDie dritte binomische Formel lautet:
$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$(x+y)\cdot (-x-y)=-1\cdot (x+y)\cdot (x+y)=-1\cdot (x+y)^2$
LösungBevor wir uns die Beispiele anschauen, notieren wir uns zunächst die drei binomischen Formeln:
- 1. binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- 2. binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- 3. binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Nun können wir uns die Beispiele anschauen:
Beispiel 1: $~ 9-6x+x^2$
Diesen Term schreiben wir zunächst um zu:
$~ 3^2-2\cdot 3\cdot x+x^2$
In dieser Schreibweise können wir die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die zweite binomische Formel handelt. Somit erhalten wir:
$~ (3-x)^2$
Beispiel 2: $~ 9-x^2$
Diesen Term können wir auch so schreiben:
$~ 3^2-x^2$
Durch diese Schreibweise können wir wieder die Klammerterme ablesen. Da wir die Subtraktion zweier Quadratzahlen haben und kein nichtquadratisches Glied enthalten ist, handelt es sich hierbei um die dritte binomische Formel. Somit erhalten wir:
$~ (3+x)\cdot (3-x)$
Beispiel 3: $~ -9-6x-x^2$
Dieser Term erscheint zunächst anders, aber wir können ihn umformen zu:
$~ -1\cdot (9+6x+x^2)=-1\cdot (3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2)$
In dieser Schreibweise erkennen wir jetzt sowohl die Klammerterme als auch die erste binomische Formel in der Klammer. Somit erhalten wir:
$~ -1\cdot (3+x)^2=-1\cdot (3+x)\cdot (3+x)=(3+x)(-3-x)$
Beispiel 4: $~ 9+6x+x^2$
Der letzte Term kann umgeformt werden zu:
$~ 3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2$
In dieser Schreibweise können wir nun die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die erste binomische Formel handelt. Somit erhalten wir:
$~ (3+x)^2$
Die restlichen Multiplikationsaufgaben
Die Lösung für die übrigen Klammerausdrücke erhältst du durch Anwendung der ersten und dritten binomischen Formel. Es folgt dann:
$(9+x)^2=81+18x+x^2$
$(9+x)\cdot (9-x)=81-x^2$
8'905
sofaheld-Level
6'601
vorgefertigte
Vokabeln
7'232
Lernvideos
35'802
Übungen
32'564
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Satz Des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Termumformungen – Übungen
- Volumen Kugel
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich Multiplizieren
- Brüche gleichnamig machen
- Brüche Multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Bruchgleichungen lösen – Übungen
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen Berechnen
Ich finde die Übungen nicht so gut, da man auf dem laptop kein hoch 2 machen kann
Das Video hat mir sehr geholfen und ist auch super zu verstehen. Vielen Dank!
Beim 2. Mal dann doch verstanden, danke fürs Video.
Das Video ist sehr schön erklärt
Bei Aufgabe 4 habe ich einen Fehler entdekt. Bei einem Kärtchen steht, das man bei einem Rechteck die 1 Binomische Formel anwenden kann. Dannach steht dort (a-b)2.
Das wiederum entspricht wieder der 2 Binomischen Formel. Bitte korrigieren