Prozentrechnung

Prozentrechnung Übung

• Berechne mithilfe des Dreisatzes den Prozentsatz zu dem jeweiligen Prozentwert $W$.

  Tipps

  Die Gesamtzahl der Pralinen entspricht dem Grundwert $G$. Der Grundwert entspricht $100\ \%$.

  Der Prozentwert gibt einen absoluten Anteil und der Prozentsatz einen prozentualen Anteil an.

  Damit sind diese beiden Größen proportional zueinander.

  Hier siehst du einen Dreisatz zu einer proportionalen Zuordnung.

  Lösung

  Gehen wir die Rechnung mal gemeinsam durch.

  Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Pralinenpackung mit insgesamt $20$ Pralinen. Die Gesamtzahl der Pralinen entspricht $100\ \%$ und damit dem Grundwert $G$. Zudem wissen wir, dass $8$ der $20$ Pralinen eine Füllung aus weißer Schokolade haben. Damit kennen wir den Prozentwert $W$ für die Pralinen mit weißer Schokolade. Nun können wir mit dem Dreisatz den Prozentsatz zu $W=8$ ermitteln. Hierzu gehen wir wie folgt vor:

  • $100\ \%\ \hat{=}\ 20\ $ Pralinen

  Nun möchten wir den prozentualen Anteil von einer Praline bestimmen. Wir teilen hierzu beide Seiten durch $20$:

  • $\dfrac{100\ \%}{20}\ \hat{=}\ \dfrac{20}{20}\ $ Pralinen $\quad\rightarrow\quad 5\ \%\ \hat{=}\ 1\ $ Praline

  Jetzt können wir den prozentualen Anteil für $8$ Pralinen bestimmen, indem wir beide Seiten mit $8$ multiplizieren:

  • $5\ \%\ \cdot 8\ \hat{=}\ 1\cdot 8\ $ Pralinen $\quad\rightarrow\quad 40\ \%\ \hat{=}\ 8\ $ Pralinen

  Also entsprechen $8$ Pralinen einem prozentualen Anteil von $40$ Prozent.

• Vervollständige die Tabelle, indem du die Prozentsätze in Prozent und als Dezimalbruch bestimmst.

  Tipps

  Den Prozentsatz $p\%$ als Dezimalbruch erhältst du, indem du den Prozentwert $W$ durch den Grundwert $G$ teilst:

  • $p\%=\dfrac {W}{G}$

  Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Pralinen in einer Packung.

  Den Prozentsatz kannst du in Prozent angeben, indem du den jeweiligen Dezimalbruch umrechnest.

  Der Begriff Prozent kommt aus dem Lateinischen pro centum und bedeutet so viel wie von Hundert. Das Prozentzeichen kannst du also wie folgt deuten:

  $p\%=p\cdot\dfrac{1}{100}$.

  Lösung

  Dupla muss überprüfen, ob eine Pralinenpackung auch das enthält, was die Packungsbeilage angibt. Die hier betrachtete Pralinenschachtel enthält insgesamt $20$ Pralinen. Dies entspricht dem Grundwert $G$. $10$ davon sind mit Milchschokolade, $8$ mit weißer Schokolade und $2$ mit Nugat gefüllt.

  Für die Qualitätskontrolle benötigt Dupla die Anteile der einzelnen Pralinensorten an der Gesamtzahl als Prozentzahl und Prozentsatz. Den Prozentsatz erhalten wir mit folgender Formel:

  • $p\%=\dfrac{W}{G}$

  Möchtest du von dem Prozentsatz zur Prozentzahl, musst du den Prozentsatz mit $100$ multiplizieren und ein Prozentzeichen anhängen. Somit erhalten wir folgende Tabelle:

  $\begin{array}{l|ccc} \\ \text{Pralinenfüllung} & \text{Prozentwert} \ W & \text{Prozentsatz}~ p\% & \text{Prozentsatz}~ p\% \\ & & \text{in}~\% & \text{als Dezimalbruch} \\ \hline \text{Milchschokolade} & 10 & 50\ \% & 0,5 \\ \text{weiße Schokolade} & 8 & 40\ \% & 0,4 \\ \text{Nugat} & 2 & 10\ \% & 0,1 \end{array}$

• Ermittle die gesuchten Prozentsätze in Prozent.

  Tipps

  Nutze die Prozentformel:

  $p\%=\dfrac{W}{G}$

  Dabei steht $G$ für den Grundwert und $W$ für den Prozentwert. Rechne dann den Prozentsatz $p\%$ von einem Dezimalbruch in Prozent um.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $0,02=2~\%$.

  Beachte, dass das Prozentzeichen dem Bruch $\frac 1{100}$ entspricht.

  Mit $G=20$ und $W=5$ folgt:

  $p\%=\dfrac5{20}=\dfrac 14=0,25$.

  Das entspricht $25\ \%$.

  Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Schüler aus beiden Kursen. Die Prozentwerte $W$ musst du der Tabelle entnehmen.

  Lösung

  Die Gesamtzahl der Schüler aus beiden Physikkursen beträgt $60$. Diese liefert uns den Grundwert $G=60$. Die Prozentwerte $W$ sind gegeben durch die Liste. Diese entnehmen wir der ersten Tabellenspalte:

  $ \begin{array}{r|l} \text{Anzahl Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler} & \text{Grund} \\ \hline 6 & \text{Klausur im anderen Kurs} \\ 8 & \text{Krankheit} \\ 11 & \text{bereits im Technikmuseum gewesen} \\ 5 & \text{kein Interesse} \end{array} $

  Die gegebenen Daten, eingesetzt in die Prozentformel $p\%=\frac{W}{G}$, liefern uns zunächst die Prozentsätze $p\%$ als Dezimalbruch. Diese können wir einfach in den jeweiligen Prozentsatz in Prozent umwandeln:

  Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Klausur nicht teilnehmen können:

  Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=6$ Schüler

  Gesucht: $p\%$

  Lösung:

  $p\% = \frac{6}{60}=0,1$

  Das entspricht $10\ \%$.

  Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Krankheit nicht teilnehmen können:

  Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=8$ Schüler

  Gesucht: $p\%$

  Lösung:

  $p\% = \frac{8}{60}=0,1\overline{3}$

  Das entspricht auf die zweite Nachkommastelle gerundet $13,33\ \%$.

  Anzahl der Schüler, die bereits im Technikmuseum gewesen sind:

  Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=11$ Schüler

  Gesucht: $p\%$

  Lösung:

  $p\% = \frac{11}{60}=0,18\overline{3}$

  Das entspricht rund $18,33\ \%$.

  Anzahl der Schüler, die aufgrund von keinem Interesse nicht teilnehmen möchten:

  Gegeben: $G=60$ Schüler, $W=5$ Schüler

  Gesucht: $p\%$

  Lösung:

  $p\% = \frac{5}{60}=0,08\overline{3}$

  Das entspricht etwa $8,33\ \%$.

• Ordne die Anteile der Größe nach und beginne dabei mit dem kleinsten Anteil.

  Tipps

  Rechne alle Angaben in eine Größe um. Mit dem Prozentwert $W$ und dem Grundwert $G$ kannst du den Prozentsatz mit folgender Formel bestimmen:

  • $p\%=\dfrac{W}{G}$

  Du kannst den Prozentsatz in der Prozentschreibweise in einen Dezimalbruch umwandeln, indem du durch $100$ teilst und das Prozentzeichen weglässt.

  Mit $G=20$ und $W=10$ folgt:

  $p\%=\dfrac{10}{20}=0,5$.

  Das entspricht einem Prozentsatz von $50\ \%$.

  Lösung

  Wir betrachten hier den Grundwert $G=80$ und rechnen alle Angaben in Prozent um. Dann folgt:

  • $p\%=0,1$: das entspricht $10\ \%$.
  • $15\ \%$: ist bereits in Prozent angegeben
  • $W=16$: teilen wir diesen Prozentwert durch $G=80$, erhalten wir $p\%=0,2$, also $20\ \%$.
  • $25\ \%$: ist bereits in Prozent angegeben.
  • $W=24$: teilen wir diesen Prozentwert durch $G=80$, erhalten wir $p\%=0,3$, also $30\ \%$.

• Gib die Formel für Prozentrechnung an.

  Tipps

  Die Formelzeichen für die Größen kannst du dir wie folgt merken:

  • Grundwert
  • Prozentwert
  • Prozentsatz

  Die gefetteten Buchstaben entsprechen den jeweiligen Formelzeichen.

  Um den Prozentsatz zu berechnen, musst du den Prozentwert durch den Grundwert teilen.

  Nutze das hier abgebildete Dreieck, um die Formel nach den jeweiligen Größen umzustellen.

  Lösung

  Die Prozentformel erlaubt die Berechnung von

  • dem Prozentwert $W$, falls $G$ und $p\%$ bekannt sind.
  • dem Grundwert $G$, falls $W$ und $p\%$ bekannt sind.
  • dem Prozentsatz $p\%$, falls $G$ und $W$ bekannt sind.

  Die jeweilige Formel lautet:

  • $p\%=\dfrac{W}{G}$

  Durch Äquivalenzumformung kannst du diese nach den anderen beiden Größen wie folgt umstellen:

  $\begin{array}{llll} \\ p\% &=& \dfrac{W}{G} & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \vert :p\% \\ G &=& \dfrac{W}{p\%} & \end{array}$

• Ermittle die fehlenden Größen der Tabelle.

  Tipps

  Verwende die Formel:

  $p\%=\dfrac WG$.

  Diese Formel kannst du mittels Äquivalenzumformungen nach dem Prozentwert $W$ umstellen.

  Lösung

  Mit der Prozentformel können wir die fehlenden Prozentsätze bestimmen:

  • $p\%=\dfrac WG$.

  Stellen wir diese nach dem Prozentwert $W$ um, erhalten wir:

  • $W=G\cdot p\%$.

  Damit erhalten wir folgende Rechnungen:

  Zutat 1

  Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $W=525\ \text{ml}$ erhalten wir:

  • $p\%=\dfrac {525\ \text{ml}}{1500\ \text{ml}}=0,35$.

  Zutat 2

  Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $p\%=0,1$ erhalten wir:

  • $W=1500\ \text{ml}\cdot 0,1=150\ \text{ml}$.

  Zutat 3

  Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $W=375\ \text{ml}$ erhalten wir:

  • $p\%=\dfrac {375\ \text{ml}}{1500\ \text{ml}}=0,25$.

  Zutat 4

  Bei dieser Zutat fehlen gleich beide Angaben, aber wir wissen, dass Marie für $2000\ \text{ml}$ des Getränks $600\ \text{ml}$ von Zutat 4 verwendet. Damit können wir zunächst den prozentualen Anteil berechnen und mit diesem dann den absoluten Anteil für $1500\ \text{ml}$ des Getränks ermitteln. Es folgt:

  • $p\%=\dfrac {600\ \text{ml}}{2000\ \text{ml}}=0,3$.

  Mit $G=1500\ \text{ml}$ und $p\%=0,3$ erhalten wir:

  • $W=1500\ \text{ml}\cdot 0,3=450\ \text{ml}$.