Prozentrechnung: Prozentsatz

Prozentrechnung: Prozentsatz Übung

• Berechne mithilfe des Dreisatzes die jeweiligen Prozentsätze.

  Tipps

  Die Gesamtzahl der zu erschreckenden Lebewesen entspricht dem Grundwert $G$. Der Grundwert entspricht $100\,\%$.

  Hier siehst du ein Beispiel für einen Dreisatz.

  Lösung

  Gehen wir die Rechnung mal gemeinsam durch.

  Wir betrachten in dieser Aufgabe insgesamt $736$ Lebewesen, die Buuuhgo erschrecken soll. Die Gesamtzahl der Lebewesen entspricht $100\,\%$ und damit dem Grundwert $G$. Wir wissen, dass Buuuhgo $720$ der Lebewesen erschreckt hat. Damit kennen wir den Prozentwert $W$ für die erschreckten Lebewesen. Nun können wir mit dem Dreisatz den Prozentsatz zu $W=720$ ermitteln. Hierzu gehen wir wie folgt vor:

  • $100\,\%\ \hat{=}\ 736\ $ Lebewesen

  Nun möchten wir den Prozentsatz von einem Lebewesen bestimmen. Wir teilen hierzu beide Seiten durch $736$:

  • $\dfrac{100\,\%}{736}\ \hat{=}\ \dfrac{736}{736}\ $ Lebewesen $\quad\Rightarrow\quad 0,\!136\,\%\ \hat{=}\ 1\ $ Lebewesen

  Jetzt können wir den Prozentsatz für $720$ Lebewesen bestimmen, indem wir beide Seiten mit $720$ multiplizieren:

  • $0,\!136\,\%\ \cdot 720\ \hat{=}\ 1\cdot 720\ $ Lebewesen $\quad\Rightarrow\quad 97,\!92\,\%\ \hat{=}\ 720\ $ Lebewesen

  Also entsprechen $720$ Lebewesen einem Prozentsatz von gerundet $0,\!98$, da $97,\!97\,\% : 100\,\% \approx 0,\!98$ ist.

• Vervollständige die Tabelle, indem du die Prozentsätze bestimmst.

  Tipps

  Den Prozentsatz $p\%$ erhältst du, indem du den Prozentwert $W$ durch den Grundwert $G$ teilst. Der Prozentsatz $p\%$ entspricht einer Dezimalzahl:

  • $p\%=\dfrac WG$

  Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Lebewesen in einem Test.

  Beim Runden betrachtest du die nächstkleinere Stelle zu der Stelle, auf die du runden möchtest. Möchtest du also auf die zweite Stelle nach dem Komma runden, so betrachtest du die dritte Stelle hinter dem Komma. Ist diese eine $1$, $2$, $3$ oder $4$, so rundest du ab. Andernfalls rundest du auf.

  Lösung

  Für die Spuktests benötigt Buuuhgo die Anteile der erschreckten Lebewesen an der jeweiligen Gesamtzahl der Lebewesen als Prozentsatz. Den Prozentsatz erhalten wir mit folgender Formel:

  • $p\%=\dfrac{W}{G}$

  Somit erhalten wir folgende Tabelle:

  $\begin{array}{c|c|c} \\ \text{Grundwert} \ G & \text{Prozentwert} \ W & \text{Prozentsatz} \ p\% \\ \hline 50 & 27 & 0,\!54 \\ 26 & 18 & 0,\!69 \\ 736 & 720 & 0,\!98 \end{array}$

• Ermittle die jeweiligen Prozentsätze.

  Tipps

  Verwende die Prozentformel. Diese lautet:

  $p\%=\dfrac WG$

  Dabei ist $G$ der Grundwert und $W$ der Prozentwert.

  Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Gummibärchen in einer Packung. Für den Prozentwert $W$ setzt du immer die Anzahl der Gummibärchen ein, deren Prozentsatz du berechnen möchtest.

  Beachte, dass die Angaben auf den Packungen auch die prozentualen Anteile für weiße und orange Gummibärchen enthalten. Es bleiben also pro Packung zwei Angaben übrig – diese sollst du nicht markieren.

  Lösung

  Wir betrachten hier drei Packungen mit je $28$ Gummibärchen. Diese enthalten pinke, grüne, blaue, gelbe, weiße und orange Gummibärchen. Uns interessieren hier nur die Prozentsätze der pinken, grünen, blauen und gelben Gummibärchen. Die Prozentwerte $W$ erhalten wir, indem wir die Anzahl der jeweiligen Farbe für jede Packung bestimmen. Das hat Suse bereits gemacht und sich Folgendes notiert:

  • Packung 1: $2$ pinke, $7$ grüne, $6$ blaue, $3$ gelbe
  • Packung 2: $4$ pinke, $3$ grüne, $1$ blaue, $13$ gelbe
  • Packung 3: $1$ pinke, $9$ grüne, $5$ blaue, $8$ gelbe

  Mit der Prozentformel können wir nun die Prozentsätze bestimmen. Diese lautet wie folgt:

  • $p\%=\dfrac WG$

  Der Grundwert $G$ entspricht der Gesamtzahl der Gummibärchen in einer Packung, also $28$. Wir rechnen das nun gemeinsam:

  Packung 1:

  pink: $~p\%=\dfrac 2{28}\approx 0,\!07$

  grün: $~p\%=\dfrac 7{28}\approx 0,\!25$

  blau: $~p\%=\dfrac 6{28}\approx 0,\!21$

  gelb: $~p\%=\dfrac 3{28}\approx 0,\!11$

  
  

  Packung 2

  pink: $~p\%=\dfrac 4{28}\approx 0,\!14$

  grün: $~p\%=\dfrac 3{28}\approx 0,\!11$

  blau: $~p\%=\dfrac 1{28}\approx 0,\!04$

  gelb: $~p\%=\dfrac {13}{28}\approx 0,\!46$

  
  

  Packung 3

  pink: $~p\%=\dfrac 1{28}\approx 0,\!04$

  grün: $~p\%=\dfrac 9{28}\approx 0,\!32$

  blau: $~p\%=\dfrac 5{28}\approx 0,\!18$

  gelb: $~p\%=\dfrac 8{28}\approx 0,\!29$

• Bestimme ausgehend vom Grund- und Prozentwert den Prozentsatz.

  Tipps

  Verwende die Prozentformel. Beachte, dass du nur Zahlen mit derselben Einheit in die Prozentformel einsetzen darfst.

  Willst du von $\text{km}$ in $\text{m}$ umrechnen, musst du den Wert mit $1\,000$ multiplizieren. Willst du von $\text{m}$ in $\text{dm}$ umrechnen, so musst du den Wert mit $10$ multiplizieren.

  Für die direkte Umrechnung von $\text{km}$ in $\text{dm}$ musst du mit $1\,000 \cdot 10 = 10\,000$ multiplizieren.

  Die Prozentformel lautet:

  • $p\%=\dfrac WG$

  Dabei ist $p\%$ der Prozentsatz. Dieser kann als Dezimalzahl angegeben werden oder mit einem Prozentzeichen, daher gilt für $W=13$ und $G=20$:

  $p\%=\dfrac {13}{20}=0,\!65=65\,\%$

  Lösung

  Um den prozentualen Anteil der gerannten Strecken von Roberto zu bestimmen, verwenden wir die Prozentformel. Dabei müssen wir beachten, dass nur Zahlen mit derselben Einheit in die Prozentformel eingesetzt werden dürfen. Also müssen wir die Zahlen für den Grund- und Prozentwert zunächst auf eine gemeinsame Einheit bringen. Dann setzen wir diese in folgende Formel ein und berechnen zunächst den Prozentsatz:

  • $p\%=\dfrac WG$

  Route 1

  Wir betrachten hier $2\,350\ \text{m}$ von $3,\!5\ \text{km}$. Es spielt keine Rolle, in welche Längeneinheit wir nun umrechnen. Also wählen wir hier einfach mal Meter und rechnen mit dem Umrechnungsfaktor $1\,000$ wie folgt um:

  • $3,\!5\ \text{km}=3,\!5\cdot 1\,000 \ \text{m}=3\,500\ \text{m}$

  Nun setzen wir in die obige Formel ein und erhalten:

  • $p\%=\dfrac {2\,350\ \text{m}}{3\,500\ \text{m}}=0,\!6714$

  Wir erhalten also den Prozentsatz $67,\!14\,\%$.

  Route 2

  Nun rechnen wir den prozentualen Anteil für $2,\!95\ \text{km}$ von $41\,000\ \text{dm}$. Wir wählen diesmal Kilometer und rechnen wie folgt um:

  • $41\,000\ \text{dm}=41\,000: 10\,000 \ \text{km}=4,\!1\ \text{km}$

  Mit obiger Formel erhalten wir:

  • $p\%=\dfrac {2,\!95\ \text{km}}{4,\!1\ \text{km}}=0,\!7195$

  Der Prozentsatz lautet $71,\!95\,\%$.

  Route 3

  Wir betrachten $3\,012\ \text{m}$ von $3,\!15\ \text{km}$ und rechnen wieder in Kilometer um:

  • $3\,012\ \text{m}=3\,012: 1\,000 \ \text{km}=3,\!012\ \text{km}$

  Mit obiger Formel erhalten wir:

  • $p\%=\dfrac {3,\!012\ \text{km}}{3,\!15\ \text{km}}=0,\!9562$

  Der Prozentsatz ist also $95,\!62\,\%$.

  Route 4

  Nun rechnen wir den prozentualen Anteil für $39\,500\ \text{dm}$ von $5\,460\ \text{m}$. Hierzu rechnen wir in Meter um:

  • $39\,500\ \text{dm}=39\,500:10\ \text{m}=3\,950\ \text{m}$

  Mit obiger Formel erhalten wir:

  • $p\%=\dfrac {3\,950\ \text{m}}{5\,460\ \text{m}}=0,\!7234$

  Der Prozentsatz ist also $72,\!34\,\%$.

• Gib die Formeln für Prozentrechnung an.

  Tipps

  Dieses Dreieck kann man als Merkhilfe nutzen.

  Lösung

  Die Prozentformel erlaubt die Berechnung von

  • dem Prozentwert $W$, falls $G$ und $p\%$ bekannt sind.
  • dem Grundwert $G$, falls $W$ und $p\%$ bekannt sind.
  • dem Prozentsatz $p\%$, falls $G$ und $W$ bekannt sind.

  Die jeweilige Formel lautet:

  • $p\%=\dfrac{W}{G}$

  Durch Äquivalenzumformung kannst du diese nach den anderen beiden Größen wie folgt umstellen:

  $\begin{array}{llll} \\ p\% &=& \dfrac{W}{G} & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \vert :p\% \\ G &=& \dfrac{W}{p\%} & \end{array}$

• Ermittle den Prozentwert.

  Tipps

  Ermittle zunächst, wie viele Punkte man in der Englischarbeit insgesamt erzielen konnte.

  Lege dann fest, welche der Größen Grundwert $G$, Prozentsatz $p\%$ und Prozentwert $W$ gegeben sind. Stelle anschließend die Prozentformel nach der gesuchten Größe um und bestimme diese.

  Lösung

  Beispiel 1

  Da sich die Englischarbeit aus fünf Aufgaben mit je $7$ Punkten zusammensetzt, kann man insgesamt $35$ Punkte erreichen. Die Gesamtzahl der Punkte entspricht hier dem Grundwert $G$. Da Lukas $80\,\%$ aller Punkte erreicht hat, gilt für den Prozentsatz $p\%=0,\!8$. Als Nächstes stellen wir die Prozentformel nach dem Prozentwert $W$ um:

  $\begin{array}{llll} p\% &=& \dfrac WG & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \end{array}$

  Damit erhalten wir folgende Anzahl für die Punkte, die Lukas erzielt hat:

  • $W=G\cdot p\%=35\cdot 0,\!8=28$

  Beispiel 2

  Lukas hat $52$ Punkte in der Mathearbeit erreicht und weiß, dass er damit $80\,\%$ der Gesamtpunkte erzielt hat. Die Anzahl erreichter Punkte entspricht hier dem Prozentwert $W$. Da Lukas $80\,\%$ aller Punkte erreicht hat, gilt für den Prozentsatz $p\%=0,\!8$. Als Nächstes stellen wir die Prozentformel nach dem Grundwert $G$ um:

  $\begin{array}{llll} p\% &=& \dfrac WG & \vert \cdot G \\ p\% \cdot G &=& W & \vert : p\% \\ G &=& \dfrac W{p\%} & \\ \end{array}$

  Damit erhalten wir folgende Anzahl für die Punkte, die Lukas erzielt hat:

  • $G = \dfrac W{p\%}= \dfrac {52}{0,\!8}=65$