Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übung

Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übung Übung

• Bestimme die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

  Tipps

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.

  Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck $180°$ beträgt.

  Lösung

  Wir wenden den Innenwinkelsummensatz für Dreiecke an:

  • $\alpha + \beta +\gamma = 180°$

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.

  • $\alpha = \beta$

  Wir können $\alpha$ durch $\beta$ ersetzen und erhalten:

  • $2\beta + \gamma = 180°$
  • $\beta = (180° - \gamma): 2 = (180° - 80°):2 = 50°$

  Da $\alpha$ genauso groß ist wie $\beta$, gilt $\beta = 50°$. $\alpha$ und $\beta$ sind $50°$ groß.

• Berechne die Winkel im gleichseitigen Dreieck.

  Tipps

  Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Innenwinkel gleich groß.

  Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck $180°$ beträgt.

  Lösung

  Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Innenwinkel gleich groß.

  • $\alpha = \beta = \gamma $

  Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt:$\alpha + \beta + \gamma = 180°$.

  • $3 \alpha = 180°$
  • $\alpha = 60°$, $\beta = 60°$, $\gamma = 60°$

  Die Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks sind immer $60°$ groß.

• Ermittle den fehlenden Winkel $\gamma$.

  Tipps

  Der Innenwinkelsummensatz für Vierecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck $360°$ beträgt.

  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$

  Lösung

  Um Gamma zu berechnen, nutzen wir den Innenwinkelsatz für Vierecke.

  • Der Innenwinkelsummensatz für Vierecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck $360°$ beträgt.

  Auf das Viereck angewendet bedeutet dies:

  • $120° + 50° + 90° + \gamma = 360°$

  Nach $\gamma$ umgestellt erhalten wir:

  • $\gamma = 360° - (120° + 50° + 90°) = 100°$

  Der Winkel $\gamma$ ist $100°$ groß.

• Leite die Winkel $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ für das Parallelogramm her.

  Tipps

  Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß.

  Der Innenwinkelsummensatz für Vierecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck $360°$ beträgt.

  Lösung

  Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Das bedeutet in unserem Beispiel:

  • $\alpha = \gamma = 40°$ und $\beta = \delta$

  Der Innenwinkelsummensatz für Vierecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck $360°$ beträgt. Für uns bedeutet dies:

  • $2\alpha + 2\beta = 360°$
  • $\beta = (360° - 2\alpha):2 = (360° - 80°):2 = 140°$

  $\beta$ ist $140°$ groß, $\gamma$ ist $40°$ groß und $\delta$ ist $140°$ groß.

• Beschreibe die Winkelsummen bei Dreiecken und Vierecken.

  Tipps

  Erinnere dich an den Innenwinkelsummensatz für Dreiecke und Vierecke.

  Male dir ein gleichseitiges und ein gleichschenkliges Dreieck auf und miss die Winkel nach. Was fällt dir auf?

  Lösung

  Die Aussage Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel immer $60°$ groß ist falsch. Richtig wäre:

  • Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel immer gleich groß.

  Die Aussage Die Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks sind immer $90°$ groß ist falsch. Richtig wäre:

  • Die Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks sind immer $60°$ groß.

  Die Aussage Der Innenwinkelsummensatz für Vierecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck $180°$ beträgt ist falsch. Richtig wäre:

  • Der Innenwinkelsummensatz für Vierecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck $360°$ beträgt.

• Leite die Winkel für das Dreieck her.

  Tipps

  Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck $180°$ beträgt.

  Du kannst die Innenwinkel der Dreiecke ABD, ACD und BCD berechnen. Summiert ergeben die Innenwinkel jeweils $180°$.

  Lösung

  Wir wollen die Winkel $\gamma, ~\delta$$_1$ und $\delta$$_2$ bestimmen.

  Wenn wir das Dreieck ACD betrachten, haben wir den Winkel $\alpha$ mit $35°$ gegeben und die Winkel $\gamma, ~ \delta$$_1$ und $\delta$$_2$ sind unbekannt. Betrachten wir das Dreieck ABD, sehen wir nur einen unbekannten Winkel. Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck $180°$ beträgt.

  • $35° + 90° + \delta$$_1 = 180°$
  • $\delta$$_1 = 180° - (35° + 90°) = 55°$

  $\delta$$_1$ und $\delta$$_2$ zusammen ergeben einen rechten Winkel.

  • $\delta$$_1 + \delta$$_2 = 90°$
  • $\delta$$_2 = 90° - 55° = 35°$

  Nun können wir $\gamma$ auf die gleiche Weise wie $\delta$$_1$ bestimmen, indem wir uns das Dreieck BCD ansehen.

  • $\delta$$_2 + 90° + \gamma = 180°$
  • $\gamma = 180° - (90° + 35°) = 55°$

  Wie erhalten: $\gamma = 55°, ~\delta$$_1 = 55°$ und $\delta$$_2 = 35°$.