Flächeninhalt und Umfang von Quadraten
Der Umfang einer Figur ist die Länge um sie herum und hat eine Längeneinheit. Der Flächeninhalt füllt die Form aus und hat Flächeneinheiten. Lerne, wie man den Umfang und den Flächeninhalt von Quadraten berechnet und nutze die interaktiven Rechner! Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Flächeninhalt und Umfang von Quadraten
Umfang und Flächeninhalt
Der Umfang einer Figur umgibt die Form. Du kannst ihn ausmessen wie eine Länge, indem du einmal um die Figur herum misst. Daher hat der Umfang als Einheit auch eine Längeneinheit wie $\text{m}$, $\text{dm}$, $\text{cm}$ oder $\text{mm}$.
Der Flächeninhalt einer Figur füllt die Form aus. Zum Ausfüllen kannst du sogenannte Einheitsquadrate verwenden, zum Beispiel $1 ~ \text{cm}^2$. Die Gesamtfläche ergibt sich dann darüber, wie viele dieser Quadrate du benötigst, um die Form vollständig zu füllen. Daher wird der Flächeninhalt in Flächeneinheiten wie $\text{m}^2$, $\text{dm}^2$, $\text{cm}^2$ und $\text{mm}^2$ angegeben.
Wie du den Umfang und Flächeninhalt von Quadraten berechnen kannst, schauen wir uns jetzt genauer an.
Quadrat – Umfang
Bei einem Quadrat haben alle vier Seiten dieselbe Länge $a$. Daher musst du, um den Umfang zu berechnen, diese vier Seiten zusammenzählen. Daraus ergibt sich die folgende Formel für den Umfang eines Quadrats:
$U = a + a + a + a = 4 ~ \cdot ~ a$
Das heißt, du musst die Seitenlänge $a$ mit vier multiplizieren, um den Umfang $U$ des Quadrats zu berechnen.
Im Bild siehst du die Formel für die Berechnung des Umfangs und die Einheiten des Umfangs:
Wenn du zum Beispiel ein quadratisches Gehege für Kaninchen bauen willst, bei dem jede Seite $5 ~ \text{m}$ lang ist, dann setzt du $a = 5 ~ \text{m}$ in die Formel ein und es ergibt sich:
$U = 4 ~ \cdot ~ a = 4 ~ \cdot ~ 5 ~ \text{m} = 20 ~ \text{m}$
Du brauchst also $20 ~ \text{m}$ Zaun, um das Gehege rundum zu sichern.
Quadrat – Umfang Rechner
Quadrat – Flächeninhalt
Neben vier gleich langen Seiten hat ein Quadrat auch vier rechte Winkel. Es lässt sich somit gut mit Einheitsquadraten auslegen und es passen gleich viele Quadrate in die Länge und in die Breite. Daraus ergibt sich die folgende Formel für die Anzahl der Einheitsquadrate, die den Flächeninhalt des Quadrats angibt:
$A = a ~ \cdot ~ a = a^{2}$
Das heißt, du musst die Seitenlänge $a$ mit sich selbst multiplizieren, um den Flächeninhalt $A$ des Quadrats zu berechnen.
In unserem Beispiel hat das Gehege mit der Seitenlänge $a = 5 ~ \text{m}$ nach der Formel einen Flächeninhalt von:
$A = a^{2} = 5 ~ \text{m} ~ \cdot ~ 5 ~ \text{m} = 25 ~ \text{m}^2$
Quadrat – Flächeninhalt Rechner
Flächeninhalt und Umfang – Aufgaben
Hier findest du ein paar Beispiele für verschiedene Aufgaben zum Umfang und Flächeninhalt von Quadraten:
Ein Quadrat hat einen Umfang von $12 ~ \text{cm}$. Bestimme den Flächeninhalt des Quadrats.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, brauchst du die Seitenlänge $a$ des Quadrats. Da du den Umfang $U = 12 ~ \text{cm}$ kennst und weißt, dass gilt: $U = 4 ~ \cdot ~ a$, ist hier $a = 3 ~ \text{cm}$. Denn dann ist $U = 4 ~ \cdot ~ 3 ~ \text{cm} = 12 ~ \text{cm}$. Dann kannst du den Flächeninhalt $A$ mit der Formel berechnen: $A = a^{2} = 3 ~ \text{cm} ~ \cdot ~ 3 ~ \text{cm} = 9 ~ \text{cm}^2$.Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a = 11 ~ \text{mm}$. Bestimme Umfang und Flächeninhalt.
Hier kannst du direkt die Formeln verwenden und erhältst:
$U = 4 ~ \cdot ~ 11 ~ \text{mm} = 44 ~ \text{mm}$ und
$A = 11 ~ \text{mm} ~ \cdot ~ 11 ~ \text{mm} = 121 ~ \text{mm}^2$Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von $16 ~ \text{m}^2$. Bestimme den Umfang.
Hier musst du dir, um den Umfang zu berechnen, wieder zunächst überlegen, wie groß die Seitenlänge $a$ des Quadrats ist. Dazu nutzt du den gegebenen Flächeninhalt. Hier ist $a = 4 ~ \text{m}$, da somit gilt $A = a^{2} = 4 ~ \text{m} ~ \cdot ~ 4 ~ \text{m} = 16 ~ \text{m}^2$. Dann kannst du den Umfang wieder mit der Formel berechnen: $U = 4 ~ \cdot ~ 4 \text{m} = 16 ~ \text{m}$.
Transkript Flächeninhalt und Umfang von Quadraten
Kaninchen brauchen Platz und Pflege. Und sie wollen nicht gerne allein sein. Um die Pflege muss man sich jeden Tag kümmern. Um den Platz einmal am Anfang, wenn man das Gehege zusammenstellt. Aber wie viele Kaninchen können in so einem Gehege wohnen? Und dazu schauen wir uns jetzt an, wie man Flächeninhalt und Umfang von Quadraten berechnet. Der Umfang UMGIBT die Form. Man kann ihn ausmessen wie eine Länge. Daher gibst du ihn auch in Einheiten wie Meter, Dezimeter, Zentimeter oder Millimeter an. Der Flächeninhalt FÜLLT die Form AUS. Zum Beispiel mit kleinen 1 mal 1 Zentimeter-Quadraten. Die nennt man auch Einheitsquadrate. So ein kleines Quadrat hier besitzt eine Fläche von einem Quadratzentimeter. Daher kannst du auch die Gesamtfläche in Quadratzentimeter angeben. Genauso geht das beispielsweise auch mit Quadratdezimetern, Quadratmetern oder Quadratmillimetern. Ein Quadrat besitzt 4 gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Weil die Seiten GLEICH LANG sind, musst du nur EINE Seitenlänge a kennen, um den Umfang U auszurechnen. Dazu addierst du diese Seitenlänge 4 mal. Im Fall eines Quadrats geht es auch einfacher: Du rechnest 4 mal die Seitenlänge. Schauen wir uns dieses quadratische Freigehege an. Betrachten wir das mal von oben. Die Seitenlänge beträgt 6 Meter. Die können wir in die Formel für den Umfang einsetzen. Indem wir 4 mal 6 Meter rechnen, erhalten wir den Umfang: 24 Meter. Um ein solches Gehege einzuzäunen, benötigst du also 24 Meter Zaun. Weil ein Quadrat in allen 4 Ecken rechte Winkel hat, kannst du es gut mit Einheitsquadraten auslegen. Dann siehst du, dass auf einer QuadratLÄNGE genauso viele Quadrate liegen, wie auf einer QuadratBREITE. Um die Anzahl ALLER Quadrate zu erhalten, rechnest du Länge mal Breite. Im Quadrat sind die gleich lang. Das entspricht aber genau dem FLÄCHENINHALT des Quadrats. Für den Flächeninhalt verwenden wir das Formelzeichen A. Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du also, indem du eine Seitenlänge mit sich selbst multiplizierst. Das kann man auch SO schreiben. Die kleine 2 hier oben gibt an, wie oft du den Wert unten mit sich selbst multiplizierst. Hier also zweimal. DIESE Schreibweise nennt man daher auch 'a Quadrat', weil sie angibt, welche Fläche ein Quadrat mit dieser Seitenlänge hat. Schauen wir uns noch einmal das quadratische Freigehege an. Setzen wir die Seitenlänge von 6 Metern in die Formel für den Flächeninhalt ein, erhalten wir 6 Meter mal 6 Meter. Meter mal Meter ergibt Quadratmeter. Das ist die Einheit. 6 mal 6 sind 36. Insgesamt haben wir also 36 Quadratmeter herausbekommen. Weil jedes Kaninchen 6 Quadratmeter für sich braucht, können in diesem Gehege also maximal 6 Kaninchen wohnen. Fassen wir das noch einmal zusammen: Der Umfang U umgibt eine Form. Er besitzt die Einheit einer Länge, also bspw. Meter, Dezimeter, Zentimeter oder Millimeter. Beim Quadrat kannst du ihn berechnen, indem du die Seitenlänge mit 4 multiplizierst. Der Flächeninhalt A füllt eine Form aus. Die Einheit ist bspw. Quadratmeter, Quadratdezimeter, Quadratzentimeter oder Quadratmillimeter. Beim Quadrat berechnest du ihn, indem du die Seitenlänge mit sich selbst multiplizierst. Das kannst du auch SO schreiben. Wie geht es denn den Kaninchen? Ah! Da ist wohl jemand zum Einkaufshoppeln gegangen.
Flächeninhalt und Umfang von Quadraten Übung
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Beschreibe, wie du den Umfang und Flächeninhalt eines Quadrats berechnest.
TippsDas Formelzeichen für den Umfang lautet $U$. Für den Flächeninhalt schreiben wir $A$.
Die Potenz $a^4$ gibt an, dass der Faktor $a$ viermal mit sich selbst multipliziert wird. Es gilt also:
- $a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a$
LösungUmfang eines Quadrats
Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten. Weil alle Seiten gleich lang sind, musst du nur eine Seitenlänge kennen, um den Umfang $U$ auszurechnen. Dazu addierst du diese Seitenlänge viermal. Das geht für ein Quadrat aber auch einfacher: Du rechnest $4$ mal die Seitenlänge des Quadrats, also:
$U=4a$
Flächeninhalt eines Quadrats
Für den Flächeninhalt verwenden wir das Formelzeichen $A$. Um den Flächeninhalt eines Quadrats zu erhalten, rechnest du Länge mal Breite. Im Quadrat sind Länge und Breite gleich lang. Den Flächeninhalt bestimmst du also, indem du die Seitenlänge des Quadrats mit sich selbst multiplizierst.
$A=a\cdot a$
Das kann man auch als Potenz schreiben:
$A=a^2$
Die kleine $2$ oben gibt an, wie oft du den Wert unten mit sich selbst multiplizierst, also zweimal.
-
Berechne den Umfang und Flächeninhalt des quadratischen Freigeheges.
TippsFür den Umfang addierst du alle Seitenlängen des Quadrats. Beachte, dass beim Quadrat alle vier Seiten gleich lang sind.
Den Flächeninhalt erhältst du, indem du die Seitenlänge des Quadrats quadrierst, also einmal mit sich selbst multiplizierst.
LösungUmfang des Freigeheges
Für den Umfang addierst du alle Seitenlängen des Quadrats. Da diese beim Quadrat alle gleich lang sind, rechnest du die Seitenlänge mal $4$:
$U=4a=4\cdot 6~\text{m}=24~\text{m}$
Flächeninhalt des Freigeheges
Den Flächeninhalt erhältst du, indem du die Seitenlänge des Quadrats quadrierst, also einmal mit sich selbst multiplizierst:
$A=a^2=(6~\text{m})^2=36~\text{m}^2$
-
Ermittle den Umfang der Quadrate mit der Seitenlänge $a$.
TippsDer Umfang einer Figur ist die Länge der Begrenzungslinie.
Addiere alle vier Seitenlängen eines Quadrats, um seinen Umfang zu erhalten. Denke daran, dass ein Quadrat vier gleich lange Seiten hat.
LösungDer Umfang einer Figur ist die Länge der jeweiligen Begrenzungslinie. Den Umfang eines Quadrats erhalten wir, indem wir alle vier Seitenlängen addieren. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang, sodass sich folgende Formel ergibt:
$U=4a$
Damit erhalten wir die folgenden Lösungen:
Beispiel 1: $~a=4~\text{cm}$
$~~U=4\cdot 4~\text{cm}=16~\text{cm}$
Beispiel 2: $a=8~\text{cm}$
$~~U=4\cdot 8~\text{cm}=32~\text{cm}$
Beispiel 3: $a=2~\text{cm}$
$~~U=4\cdot 2~\text{cm}=8~\text{cm}$
Beispiel 4: $a=12~\text{cm}$
$~~U=4\cdot 12~\text{cm}=48~\text{cm}$
-
Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Quadrate mit der Seitenlänge $a$.
TippsFür den Flächeninhalt musst du die Seitenlänge quadrieren.
LösungUmfang eines Quadrats
Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten. Weil alle Seiten gleich lang sind, musst du nur eine Seitenlänge kennen, um den Umfang $U$ auszurechnen. Du rechnest $4$ mal die Seitenlänge des Quadrats, also:
$U=4a$
Flächeninhalt eines Quadrats
Um den Flächeninhalt eines Quadrats zu erhalten, multiplizierst du die Seitenlänge des Quadrats mit sich selbst:
$A=a\cdot a=a^2$
Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:
Beispiel 1: $~a=9~\text{cm}$
$U=4\cdot 9~\text{cm}=36~\text{cm}$
$A=(9~\text{cm})^2=81~\text{cm}^2$
Beispiel 2: $~a=7~\text{cm}$
$U=4\cdot 7~\text{cm}=28~\text{cm}$
$A=(7~\text{cm})^2=49~\text{cm}^2$
Beispiel 3: $~a=11~\text{cm}$
$U=4\cdot 11~\text{cm}=44~\text{cm}$
$A=(11~\text{cm})^2=121~\text{cm}^2$
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Beschreibe die Eigenschaften eines Quadrats.
TippsHier siehst du ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$.
Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt $360^\circ$. Daher ist ein Viereck mit vier spitzen Winkeln, also Winkeln kleiner als $90^\circ$, nicht möglich.
LösungEin Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Damit sind sich gegenüberliegende Seiten jeweils parallel zueinander.
Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen.
Für seinen Umfang gilt:
$U=4a$
Für seinen Flächeninhalt gilt:
$A=a^2$
-
Bestimme die fehlenden Größen.
TippsDie Zaunlänge entspricht dem Umfang des Swimmingpools.
Leite dir aus dem Umfang zunächst die Seitenlänge des quadratischen Swimmingpools her.
Es gilt:
$a=\dfrac U4$
LösungDie gegebene Zaunlänge von $60~\text{m}$ entspricht dem Umfang des quadratischen Swimmingpools. Daraus können wir zunächst die Seitenlänge $a$ berechnen. Es folgt:
$a=\dfrac U4=\dfrac{60~\text{m}}{4}=15~\text{m}$
Mit der Seitenlänge $a=15~\text{m}$ können wir nun den Flächeninhalt ermitteln:
$A=(15~\text{m})^2=225~\text{m}^2$
Flächeninhalt und Umfang von Quadraten
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Umfang eines Rechtecks – Übung
Flächeninhalt von aus Rechtecken zusammengesetzten Figuren
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