Flächeninhalt und Umfang von Quadraten

Flächeninhalt und Umfang von Quadraten Übung

• Beschreibe, wie du den Umfang und Flächeninhalt eines Quadrats berechnest.

  Tipps

  Das Formelzeichen für den Umfang lautet $U$. Für den Flächeninhalt schreiben wir $A$.

  Die Potenz $a^4$ gibt an, dass der Faktor $a$ viermal mit sich selbst multipliziert wird. Es gilt also:

  • $a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a$

  Lösung

  Umfang eines Quadrats

  Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten. Weil alle Seiten gleich lang sind, musst du nur eine Seitenlänge kennen, um den Umfang $U$ auszurechnen. Dazu addierst du diese Seitenlänge viermal. Das geht für ein Quadrat aber auch einfacher: Du rechnest $4$ mal die Seitenlänge des Quadrats, also:

  $U=4a$

  Flächeninhalt eines Quadrats

  Für den Flächeninhalt verwenden wir das Formelzeichen $A$. Um den Flächeninhalt eines Quadrats zu erhalten, rechnest du Länge mal Breite. Im Quadrat sind Länge und Breite gleich lang. Den Flächeninhalt bestimmst du also, indem du die Seitenlänge des Quadrats mit sich selbst multiplizierst.

  $A=a\cdot a$

  Das kann man auch als Potenz schreiben:

  $A=a^2$

  Die kleine $2$ oben gibt an, wie oft du den Wert unten mit sich selbst multiplizierst, also zweimal.

• Berechne den Umfang und Flächeninhalt des quadratischen Freigeheges.

  Tipps

  Für den Umfang addierst du alle Seitenlängen des Quadrats. Beachte, dass beim Quadrat alle vier Seiten gleich lang sind.

  Den Flächeninhalt erhältst du, indem du die Seitenlänge des Quadrats quadrierst, also einmal mit sich selbst multiplizierst.

  Lösung

  Umfang des Freigeheges

  Für den Umfang addierst du alle Seitenlängen des Quadrats. Da diese beim Quadrat alle gleich lang sind, rechnest du die Seitenlänge mal $4$:

  $U=4a=4\cdot 6~\text{m}=24~\text{m}$

  Flächeninhalt des Freigeheges

  Den Flächeninhalt erhältst du, indem du die Seitenlänge des Quadrats quadrierst, also einmal mit sich selbst multiplizierst:

  $A=a^2=(6~\text{m})^2=36~\text{m}^2$

• Ermittle den Umfang der Quadrate mit der Seitenlänge $a$.

  Tipps

  Der Umfang einer Figur ist die Länge der Begrenzungslinie.

  Addiere alle vier Seitenlängen eines Quadrats, um seinen Umfang zu erhalten. Denke daran, dass ein Quadrat vier gleich lange Seiten hat.

  Lösung

  Der Umfang einer Figur ist die Länge der jeweiligen Begrenzungslinie. Den Umfang eines Quadrats erhalten wir, indem wir alle vier Seitenlängen addieren. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang, sodass sich folgende Formel ergibt:

  $U=4a$

  Damit erhalten wir die folgenden Lösungen:

  Beispiel 1: $~a=4~\text{cm}$

  $~~U=4\cdot 4~\text{cm}=16~\text{cm}$

  Beispiel 2: $a=8~\text{cm}$

  $~~U=4\cdot 8~\text{cm}=32~\text{cm}$

  Beispiel 3: $a=2~\text{cm}$

  $~~U=4\cdot 2~\text{cm}=8~\text{cm}$

  Beispiel 4: $a=12~\text{cm}$

  $~~U=4\cdot 12~\text{cm}=48~\text{cm}$

• Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Quadrate mit der Seitenlänge $a$.

  Tipps

  Für den Flächeninhalt musst du die Seitenlänge quadrieren.

  Lösung

  Umfang eines Quadrats

  Ein Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten. Weil alle Seiten gleich lang sind, musst du nur eine Seitenlänge kennen, um den Umfang $U$ auszurechnen. Du rechnest $4$ mal die Seitenlänge des Quadrats, also:

  $U=4a$

  Flächeninhalt eines Quadrats

  Um den Flächeninhalt eines Quadrats zu erhalten, multiplizierst du die Seitenlänge des Quadrats mit sich selbst:

  $A=a\cdot a=a^2$

  Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:

  Beispiel 1: $~a=9~\text{cm}$

  $U=4\cdot 9~\text{cm}=36~\text{cm}$

  $A=(9~\text{cm})^2=81~\text{cm}^2$

  Beispiel 2: $~a=7~\text{cm}$

  $U=4\cdot 7~\text{cm}=28~\text{cm}$

  $A=(7~\text{cm})^2=49~\text{cm}^2$

  Beispiel 3: $~a=11~\text{cm}$

  $U=4\cdot 11~\text{cm}=44~\text{cm}$

  $A=(11~\text{cm})^2=121~\text{cm}^2$

• Beschreibe die Eigenschaften eines Quadrats.

  Tipps

  Hier siehst du ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$.

  Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt $360^\circ$. Daher ist ein Viereck mit vier spitzen Winkeln, also Winkeln kleiner als $90^\circ$, nicht möglich.

  Lösung

  Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Damit sind sich gegenüberliegende Seiten jeweils parallel zueinander.

  Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen.

  Für seinen Umfang gilt:

  $U=4a$

  Für seinen Flächeninhalt gilt:

  $A=a^2$

• Bestimme die fehlenden Größen.

  Tipps

  Die Zaunlänge entspricht dem Umfang des Swimmingpools.

  Leite dir aus dem Umfang zunächst die Seitenlänge des quadratischen Swimmingpools her.

  Es gilt:

  $a=\dfrac U4$

  Lösung

  Die gegebene Zaunlänge von $60~\text{m}$ entspricht dem Umfang des quadratischen Swimmingpools. Daraus können wir zunächst die Seitenlänge $a$ berechnen. Es folgt:

  $a=\dfrac U4=\dfrac{60~\text{m}}{4}=15~\text{m}$

  Mit der Seitenlänge $a=15~\text{m}$ können wir nun den Flächeninhalt ermitteln:

  $A=(15~\text{m})^2=225~\text{m}^2$