Erste binomische Formel

Erste binomische Formel Übung

• Gib die Herleitung der ersten binomischen Formel wieder.

  Tipps

  Multiplizierst du eine Zahl mit sich selbst, kannst du das als Quadrat schreiben. Zum Beispiel: $2 \cdot 2 = 2^2$.

  Beim Ausmultiplizieren des Produkts zweier Summen multiplizierst du jeden Summanden jeweils mit den beiden Summanden der anderen Klammer.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Hast du das Quadrat der Summe $a+b$ gegeben, kannst du das so aufschreiben:

  $(a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b)$“

  • Multiplizierst du eine Zahl mit sich selbst, kannst du das als Quadrat schreiben. Zum Beispiel: $2 \cdot 2 = 2^2$.

  „Das kannst du so ausrechnen:

  $a \cdot a+a \cdot b+a \cdot b+b \cdot b$“

  • Beim Ausmultiplizieren des Produkts zweier Summen multiplizierst du jeden Summanden jeweils mit den beiden Summanden der anderen Klammer.

  „Fasst du das zusammen, erhältst du:

  $a^2+2ab+b^2$“

  "Also können wir die erste binomische Formel aufschreiben als:

  $(a+b)^2=(a+b) \cdot(a+b)=a^2+2ab+b^2$“

  • Hier wurde die obige Rechnung noch einmal zusammengefasst.

• Bestimme das Ergebnis der Rechnung mit der ersten binomischen Formel.

  Tipps

  Zunächst musst du herausfinden, welcher Teil deines Terms den Variablen aus der binomischen Formel entspricht.

  Hast du herausgefunden, welcher Teil deines Terms den Variablen aus der binomischen Formel entspricht, kannst du diese in die Formel einsetzen.

  Lösung

  So kannst du die Lücken füllen:

  „Die erste binomische Formel lautet:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$“

  • Merke dir diese Formel gut. Du wirst sie immer wieder brauchen.

  „In unserem Fall entspricht:

  $a=13x$ und $b=8y$“

  • Zunächst musst du herausfinden, welcher Teil deines Terms den Variablen aus der binomischen Formel entspricht.

  „Das setzen wir jetzt in die erste binomische Formel ein:

  $(13x+8y)^2=(13x)^2+2\cdot 13x \cdot 8y+(8y)^2$

  Und rechnen aus:

  $169x^2+208 x y+64y^2$“

  • Jetzt kannst du in die binomische Formel einsetzen und ausrechnen.

• Wende die erste binomische Formel an.

  Tipps

  Nutze die erste binomische Formel:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Identifiziere dazu, welche Teile des Terms den Variablen $a$ und $b$ der binomischen Formel entsprechen und setze diese in die binomische Formel ein.

  Lösung

  Durch Anwendung der ersten binomischen Formel kannst du die Terme auflösen. Diese lautet wie folgt:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Identifiziere dazu, welche Teile des Terms den Variablen $a$ und $b$ der binomischen Formel entsprechen und setze diese in die binomische Formel ein. Anschließend kannst du das Ergebnis vereinfachen. Bei dem ersten Term $(2y+3x)^2$ ist $a=2y$ und $b=3x$. Damit ergibt sich:

  • $(2y+3x)^2= (2y)^2+ 2 \cdot 2y \cdot 3x + (3x)^2=4y^2+12xy+9x^2$

  Genauso erhältst du für die anderen Terme:

  • $(y+x)^2=(y)^2+ 2 \cdot y \cdot x + (x)^2=y^2+2xy+x^2$

  • $(3y+2x)^2=(3y)^2+ 2 \cdot 3y \cdot 2x + (2x)^2=9y^2+12xy+4x^2$

  • $(2y+2x)^2=(2y)^2+ 2 \cdot 2y \cdot 2x + (2x)^2=4y^2+8xy+4x^2$

• Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen mithilfe der ersten binomischen Formel.

  Tipps

  Rechne die Ergebnisse mit der ersten binomischen Formel nach und überprüfe, ob die angegebenen Ergebnisse herauskommen.

  Die erste binomische Formel lautet:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Da die Addition kommutativ ist, kann man die Glieder $a^2$, $2ab$ und $b^2$ vertauschen.

  Lösung

  Du kannst die Terme mithilfe der ersten binomischen Formel lösen:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Identifiziere dazu, welche Teile des Terms den Variablen $a$ und $b$ in der binomischen Formel entsprechen und setze diese in die binomische Formel ein. Anschließend kannst du das Ergebnis vereinfachen. So erhältst du:

  Diese Rechnungen sind falsch:

  „$(x+5)^2=x^2+5x+25$“

  • Hier ist $a=x$ und $b=5$. Wir erhalten: $(x+5)^2=x^2+ 2 \cdot 5 \cdot x+5^2=x^2+ 10 x+25$

  „$(y+2x)^2=y^2+4xy+4$“

  • Hier ist $a=y$ und $b=2x$. Mit der ersten binomischen Formel erhalten wir: $(y+2x)^2=y^2+2 \cdot 2x \cdot y+(2x)^2=y^2+4xy+4x^2$

  Diese Rechnungen sind richtig:

  „$(4+x)^2=x^2+8x+16$“

  • Dank des Kommutativgesetzes kann die Reihenfolge der einzelnen Summanden vertauscht werden.

  „$(5+2x)^2=4x^2+20x+25$“

  „$(5y+10x)^2=25y^2+100xy+100x^2$“

• Gib an, welcher Summand der Gleichung welchem Teil der Zeichnung entspricht.

  Tipps

  In der Zeichnung wird der Flächeninhalt des gesamten Quadrats in vier Teile aufgeteilt.

  Überlege, welcher Teil der Zeichnung, welchem Teil der Formel entspricht.

  Lösung

  In der Zeichnung wird der Flächeninhalt des gesamten Quadrats $(a+b)^2$ in vier Teile aufgeteilt. Diese entsprechen verschiedenen Summanden in der ersten binomischen Formel.

  • Der Flächeninhalt des gesamten Quadrats: $a+b$

  • Der Flächeninhalt des blauen Quadrats: $a^2$

  • Der Flächeninhalt des roten Quadrats: $b^2$

  • Der Flächeninhalt der beiden Rechtecke: $2ab$

• Wende die erste binomische Formel an.

  Tipps

  Die gegebenen Terme kannst du mit der ersten binomischen Formel umschreiben. Für

  $x^2+8x+16$

  kannst du die Werte für $a$ und $b$ aus den quadratischen Termen ablesen: $x^2=a^2 ~\Rightarrow x=a$ und $16=4^2=b^2 ~\Rightarrow 4=b$

  Also ergibt sich hier:

  $x^2+8x+16=(x+4)^2$

  Lösung

  Mit der ersten binomischen Formel kannst du die Terme so umschreiben, dass $a$ und $b$ innerhalb der Klammer stehen.

  • $x^2+6x+9 =(x+3)^2$

  Die Wurzel von $x^2$ ist $x$ und die Wurzel von $9$ ist $3$. Somit sind dies die Werte für $a$ und $b$. Zur Kontrolle kann noch $2\cdot a\cdot b$ berechnet werden, was hier $2\cdot x \cdot 3 = 6x$ ist. Da dies der dritte Summand unseres gegebenen Terms ist, wurden $a$ und $b$ korrekt ermittelt.

  $ \begin{array}{lll} x^2 +6x+9&=& x^2 +2 \cdot 3x + 3^2 \\ &=&(x+3)^2\\ \end{array}$

  • $64+16y+4y^2=(8 +2y)^2$

  Die Wurzel von $64$ ist $8$ und die Wurzel von $4y^2$ ist $2y$. Hier ist zu beachten, dass sich das Quadrat nur auf $y$ bezieht.

  $\begin{array}{lll} 64 +16y+4y^2&=& 8^2 +2 \cdot 8 \cdot y + (2y)^2 \\ &=&(8+2y)^2\\ \end{array}$

  • $x^2+2x+1=(x+1)^2$

  Die Wurzel von $x^2$ ist $x$ und die Wurzel von $1$ ist $1$.

  $\begin{array}{lll} x^2+2x+1&=& x^2 +2 \cdot 1 \cdot x + 1^2 \\ &=&(x+1)^2\\ \end{array}$

  • $16x^2+40x+25=(4x+5)^2$

  Die Wurzel von $16x^2$ ist $4x$ und die Wurzel von $25$ ist $5$.

  $\begin{array}{lll} 16x^2+40x+25&=& (4x)^2 +2 \cdot 4 \cdot 5 + 5^2 \\ &=&(4x+5)^2\\ \end{array}$