Termumformungen mit Variablen

Termumformungen mit Variablen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Termen und Termumformungen.

  Tipps

  Dieser Term wurde korrekt ausmultipliziert:

  $2(3x+7y)=2 \cdot 3x + 2 \cdot 7y=6x+14y$

  Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden:

  $6x+14y$

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Du kannst Terme, in denen die gleichen Variablen vorkommen, zwar addieren, aber niemals subtrahieren.“

  • Gleichartige Terme kannst du zusammenfassen, indem du sie addierst oder subtrahierst. Beachte dabei die Vorzeichen der Terme.

  „Multiplizierst du eine positive Zahl mit einer negativen Zahl, wird das Ergebnis positiv.“

  • Beim Multiplizieren zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen wird das Ergebnis immer negativ.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Du kannst nur gleichartige Terme (also Terme, die die gleiche Variable enthalten) zusammenfassen.“

  „Mithilfe des Distributivgesetzes können Summanden mit gleichen Variablen oder Zahlen noch weiter zusammengefasst werden.“

  • Du kannst das Distributivgesetz anwenden, um gemeinsame Zahlen oder Variablen von Summanden (aber auch von Subtrahenden und Minuenden) auszuklammern. Es ist zum Beispiel: $2r+2r+1r+3r=(2+2+1+3)\cdot r$

  „Beim Ausmultiplizieren wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert.“

• Beschreibe das Rechnen mit Termen und ihren Umformungen.

  Tipps

  Mit dem Distributivgesetz kannst du Faktoren, die in allen Summanden vorkommen, ausklammern und anschließend die Zahlenwerte zusammenrechnen. Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $2a+3a=(2+3)\cdot a= 5 a$

  Besteht ein Term aus Summanden mit unterschiedlichen Variablen, kannst du nur Terme zusammenfassen, die dieselbe Variable enthalten.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Auf der ersten Insel beschreibt er die Anzahl der Rubine durch folgenden Term:

  $r+r+2r+r+3r$

  Hier schreibt er zuerst $1r$ statt $r$.“

  • Dies verändert den Wert des Terms nicht. Es wird so aber einfacher, die Summanden zu berechnen.

  „$=1r+1r+2r+1r+3r$

  Dann wendet er das Distributivgesetz an, um die gemeinsame Variable der Summanden wie folgt auszuklammern:

  $(1+1+2+1+3) \cdot r=8r$“

  • Mit dem Distributivgesetz kannst du Faktoren, die in allen Summanden vorkommen, ausklammern und anschließend die Zahlenwerte zusammenrechnen.

  „Die Anzahl der Smaragde gibt er durch folgenden Term an:

  $3s+1s+1s+2s$

  Auch diesen klammert er mit dem Distributivgesetz wie folgt aus:

  $(3+1+1+2)\cdot s=7s$

  Dazu stellt er folgenden Term auf:

  $8r+7s+12r+15s$

  Und vereinfacht ihn:

  $20r+22s$“

  • Besteht ein Term aus Summanden mit unterschiedlichen Variablen, kannst du nur Terme zusammenfassen, die dieselbe Variable enthalten.

• Ermittle die vereinfachte Form der Terme.

  Tipps

  Um die Lösung zu bestimmen, fasst du alle Summanden, die die gleiche Variable enthalten, mit dem Distributivgesetz zusammen.

  Steht vor einer Variablen kein Faktor, kannst du eine $1$ davor schreiben.

  Lösung

  Um die Lösung zu bestimmen, fasst du alle Summanden, die die gleiche Variable enthalten, mit dem Distributivgesetz zusammen. Steht vor einer Variablen kein Faktor, kannst du eine $1$ davor schreiben. So erhältst du:

  • $2t+c+5c+t=(2+1)t+ (5+1)c=3t+6c$

  • $t+c+2c+4c+t=(1+1)t+ (1+2+4)c=2t+7c$

  • $t+c+t+1c+2t+4c+t=(1+1+2+1)t+ (1+1+4)c=5t+6c$

  • $4t+4c+t+3c=(4+1)t+ (4+3)c=5t+7c$

• Ermittle die ausmultiplizierte Form der Terme.

  Tipps

  Bei den ersten beiden Termen musst du alle Einträge in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren.

  Bei den letzten beiden Termen musst du jeweils beide Einträge der ersten Klammer mit dem Faktor hinter der Klammer multiplizieren. Anschließend kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.

  Lösung

  Du kannst die Lücken füllen, indem du die Terme ausmultiplizierst und vereinfachst. Bei den ersten beiden Termen musst du alle Einträge in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren. So erhältst du:

  • $2x(3+x)=2x \cdot 3 + 2x \cdot x=2x^2+6x$

  • $3x(1+x+2x^2)= 3x \cdot 2x^2 +3x \cdot x + 3x \cdot 1=6x^3+3x^2+3x$

  Bei den letzten beiden Termen musst du jeweils beide Einträge der ersten Klammer mit dem Faktor hinter der Klammer multiplizieren. Anschließend kannst du gleichartige Terme zusammenfassen. Die Vorzeichen sind hierbei zu beachten. So erhältst du:

  $\begin{array}{ll} (x-2)\cdot 2x &=& x \cdot 2x - 2 \cdot 2x \\ &=& 2x^2 - 4x \\ \end{array}$

  Und:

  $\begin{array}{ll} (3x-1)\cdot(-3x^2) &=& 3x \cdot (-3x^2) -1 \cdot (-3x^2) \\ &=& -9x^3 + 3x^2 \\ \end{array}$

• Bestimme die fehlenden Summanden.

  Tipps

  Multipliziere den Term aus und vereinfache ihn anschließend.

  Beachte, dass du jeden Summanden der einen Klammer einzeln mit jedem Summanden der anderen Klammer multiplizieren musst.

  Lösung

  Du kannst die Lücken füllen, indem du den Term ausmultiplizierst und anschließend vereinfachst. Beachte, dass du jeden Summanden der einen Klammer einzeln mit jedem Summanden der anderen Klammer multiplizieren musst. So erhältst du:

  $\begin{array}{ll} (3+4)(x+y) &= 3x + 4x + 3y+4y\\ &= 7x + 7y\\ \end{array}$

• Leite den Term ab und vereinfache ihn.

  Tipps

  Die Fläche eines Rechtecks berechnest du, indem du die beiden Seitenlängen multiplizierst.

  Da die Länge des ersten Feldes mit $x$ bezeichnet wird und das zweite Feld $10~\text{m}$ kürzer ist, können wir die Länge des zweiten Feldes durch $x-10$ ausdrücken.

  Zwei Klammern multiplizierst du, indem du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizierst. Anschließend kannst du gleichnamige Terme zusammenfassen.

  Beispiel:

  $\begin{array}{lll} (2x + 3) \cdot (x + 1) &=& 2x \cdot x + 2x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 \\ &=& 2x^2 + 2x +3x+3 \\ &=& 2x^2 + 5x +3 \\ \end{array}$

  Lösung

  So kannst du die Rechnung vervollständigen:

  „Die Länge des ersten Feldes beträgt: $x$

  Die Breite des ersten Feldes beträgt: $y$

  Die Fläche beträgt: $A_1=x \cdot y$“

  • Die Fläche eines Rechtecks berechnest du, indem du die beiden Seitenlängen multiplizierst.

  „Die Länge des zweiten Feldes beträgt: $x-10$“

  • Da die Länge des ersten Feldes mit $x$ bezeichnet wird und das zweite Feld $10~\text{m}$ kürzer ist, können wir es so ausdrücken.

  „Die Breite des zweiten Feldes beträgt: $y+20$

  Die Fläche beträgt: $A_2=(x -10) \cdot (y+20)$“

  • Beachte hier die Klammern. Ohne sie wäre die Rechnung nicht korrekt.

  „Also beträgt die Gesamtfläche:

  $A_{Ges}=A_1+A_2=xy+(x -10) \cdot (y+20)$“

  • Die Gesamtfläche bestimmen wir, indem wir die beiden Teilflächen addieren.

  „Das vereinfacht sie zu:

  $=xy+ xy + 20x-10y-200=2xy+20x-10y-200$“

  • Hier musst du den Term zuerst ausmultiplizieren und anschließend vereinfachen. Beachte die Vorzeichen der Ergebnisse.