Terme aufstellen und berechnen

Terme aufstellen und berechnen Übung

• Berechne die Terme.

  Tipps

  Setze in den Term für die Variable $x$ die vorgegebenen Werte ein.

  Für den Term $3 \cdot x + 4$ und den Wert $x=2$ erhältst du $3 \cdot 2 +4 = 6+4=10$.

  Beachte die Vorzeichen in der Rechnung.

  Lösung

  In einen Term mit einer Variablen kannst du verschiedene Werte für die Variable einsetzen, um den Term zu berechnen. Dazu setzt du an jede Stelle, an der eine Variable steht, denselben Wert ein. Enthält ein Term mehr als eine Variable, so kannst du so viele verschiedene konkrete Werte einsetzen, wie der Term verschiedene Variablen enthält. Nur für jede Stelle, an der dieselbe Variable vorkommt, musst du immer denselben Wert einsetzen. Z. B. kannst du in den Term $U = a+b+a+b$, der den Umfang eines Rechtecks beschreibt, für die Seitenlängen $a$ und $b$ verschiedene Werte einsetzen. Aber an jeder Stelle, an der die Variable $a$ vorkommt, musst du denselben Wert einsetzen.

  Hier findest du für den Term $x \cdot (-1) +5$ folgende Tabelle (mit Nebenrechnung):

  $\begin{array}{c|c} x=1 & 1 \cdot (-1) + 5 = -1 + 5 = 4 \\ \hline x=2 & 2 \cdot (-1) + 5 = -2+5 = 3 \\ \hline x=5 & 5 \cdot (-1) + 5 = -5 + 5 = 0 \end{array}$

• Stelle den Term auf.

  Tipps

  Die unbestimmte Anzahl der Tage wird mit der Anzahl der täglich bearbeiteten Akten multipliziert.

  Die zusätzlichen $5$ Akten werden dazu gezählt.

  Bearbeitete Akten gehen mit Minuszeichen in den Term ein.

  Lösung

  Termann stellt einen Term auf, der die Akten auf seinem Schreibtisch nach einer unbestimmten Anzahl von $x$ Tagen beschreibt. Die Akten, die auf seinem Schreibtisch bereits liegen oder neu hinzukommen, zählt Termann mit positivem Vorzeichen, diejenigen Akten, die er bearbeitet hat, mit negativem Vorzeichen.

  Die $5$ Akten aus der vorigen Woche tragen zu dem gesuchten Term den Summanden $+5$ bei. Die täglich hinzukommenden Akten machen nach $x$ Tagen $+3 \cdot x$ Akten aus, die täglich bearbeiteten tragen $-4 \cdot x$ zu dem gesuchten Term bei. Dieser lautet daher:

  $(3-4) \cdot x + 5 = (-1) \cdot x + 5$

• Erschließe die Werte.

  Tipps

  Finde zu jedem Term die passenden Variablen.

  Vereinfache den Term, wenn möglich.

  Dieser Term mit zwei Variablen lässt sich zu einem Term mit nur einer Variablen vereinfachen:

  $ x + 2 \cdot y + (3-x) = 2 \cdot y +3 $

  Lösung

  In einen Term mit Variablen kannst du verschiedene Werte für die Variablen einsetzen und so einen konkreten Wert für den Term ermitteln. Einsetzen kannst du jeweils nur Werte für diejenigen Variablen, die in dem Term vorkommen. In einen Term, der die Variable $z$ nicht enthält, kannst du z.B. $z=2$ nicht einsetzen. Manchmal kannst du einen Term so vereinfachen, dass eine Variable in der vereinfachten Umformung des Terms nicht mehr vorkommt.

  In der Aufgabe sind verschiedene Terme sowie Werte für die Variablen und konkrete Zahlen gegeben. Setzt du die Werte der Variablen in den jeweils passenden Term ein, so erhältst du eine konkrete Zahl als Ergebnis.

  Hier sind die Terme mit passenden Werten der Variablen und Ergebnissen:

  $2 \cdot (a+b) - 2 \cdot a$:

  • $b=1$ kannst du einsetzen, denn die Variable $b$ kommt in dem Term vor. Du kannst den Term so vereinfachen, dass $b$ die einzige Variable ist: $2 \cdot (a+b) - 2 \cdot a = 2 \cdot a + 2 \cdot b - 2 \cdot a = 2 \cdot b$.
  • $2$ ist der Wert des Terms nach Einsetzen von $b=1$, denn $ 2 \cdot 1 = 2$.

  $2 \cdot x + 3$:

  • $x=1$ kannst du einsetzen, denn $x$ ist die einzige Variable dieses Terms.
  • $5$ ist der zugehörige Wert, denn $2 \cdot 1 + 3 = 5$.

  $-(3 +y) + 2 + 4\cdot y$:

  • $y=-2$ kannst du hier einsetzen. Du musst dann den Wert $-2$ an beiden Stellen einsetzen, an denen in dem Term die Variable $y$ vorkommt.
  • $-7$ ist der zugehörige Wert, denn $-(3 -2) + 2 + 4\cdot (-2) = -1+2-8 = -7$.

  $3 \cdot z+2 -5 \cdot (2-z)$:

  • $z=0$ kannst du hier einsetzen.
  • $-8$ ist der resultierende Wert, denn $3 \cdot 0+2 -5 \cdot (2-0) = 2-10 = -8$.

• Bestimme die Terme.

  Tipps

  Der Umfang einer Figur ist die Summe ihrer Kantenlängen.

  Der Term für den Umfang einer Figur enthält nur Variablen, die die Kanten der Figur bezeichnen.

  Lösung

  Terme mit Variablen beschreiben allgemeine Größen, die in einzelnen Werten unbestimmt sind und dennoch Rechenoperationen eindeutig festlegen. So ist z. B. der Umfang einer Figur die Summe seiner Kantenlängen – unabhängig davon, welche konkreten Werte die Kantenlängen annehmen. Verwendest du Variablen für die verschiedenen Kanten, so kannst du jeweils einen Term aufstellen, der den Umfang eindeutig beschreibt.

  Quadrat:

  • Bei einem Quadrat sind alle Kanten gleich lang. Nennst du die Kantenlänge $a$, so ist der Umfang des Quadrates $U=4 \cdot a$.

  Dreieck $\Delta_{ABC}$:

  • Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$, also $U = a+b+c$.
  • Die Seitenlängen des Dreiecks tragen die Bezeichnungen $a$, $b$ und $c$. Das Dreifache der längsten Seitenlänge ist $3 \cdot c$.

  Rechteck:

  • In einem Rechteck sind die einander gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang. Der Umfang ist daher $U = 2 \cdot (a+b)$. Das Doppelte des Umfangs ist dann $4 \cdot (a+b)$.

  Rechtwinkliges Dreieck:

  • Durch die Diagonale entsteht aus dem Quadrat ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses Dreieck ist auch gleichschenklig. Sein Umfang ist daher $U = d + 2\cdot a$.

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Terme dienen z. B. dazu, mit bestimmten und unbestimmten Werten zu rechnen.

  Eine Variable bezeichnet man z. B. durch Buchstaben wie $a$, $b$, $x$, $y$ usw.

  Setzt du für die Variablen in einem Term konkrete Werte ein, so kannst du den Term ausrechnen.

  Lösung

  Ein Term dient immer als sinnvolle Vorschrift zur Ausführung einer Rechnung. Mit „sinnvoll“ ist gemeint, dass die Vorschrift einen eindeutig bestimmten Sinn hat. Variablen dienen in einem Term als Platzhalter. Du kannst an Stelle der Variablen einen beliebigen konkreten Wert einsetzen und den Wert des Terms ausrechnen.

  So findest du folgende richtigen Sätze:

  • Ein konkreter Wert ... erscheint in einem Term als Zahl.
  • Ein Term ... ist ein sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen.
  • Eine Variable ... steht für eine unbestimmte Größe.
  • In einem Term kannst du für die Variable ... konkrete Werte einsetzen.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Die Terme $3\cdot x + 2$ und $2 \cdot (1+x+y) - (2y-x+2)$ nehmen die gleichen Werte an.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Ein Term kann mehr als eine Variable enthalten.“ Dies gilt z.B. für den Term $2 \cdot (a+b)$, der den Umfang eines Rechtecks beschreibt: Hier sind $a$ und $b$ Variablen, die für die beiden Seitenlängen des Rechtecks stehen. Die Werte der Variablen sind im Allgemeinen verschieden. Du darfst aber auch jeweils denselben Wert für $a$ und $b$ einsetzen.

  • „Aus jedem Term kannst du durch Einsetzen konkreter Werte in alle Variablen eine eindeutig festgelegte Zahl ausrechnen.“ Terme sind nur solche Ausdrücke, die eine Rechenoperation eindeutig festlegen. Setzt du für jede vorkommende Variable eine Zahl ein, so kannst du mit dem Term auch eine konkrete Zahl ausrechnen.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jeder Term enthält mindestens eine Variable.“ Auch eine konkrete Zahl wie $528$ ist ein Term. Aber ein Operationssymbol allein wie $:$ oder eine Klammer $($ ist kein Term.

  • „In jeden Term kannst du verschiedene Werte einsetzen.“ Verschiedene Werte kannst du nur in Variablen einsetzen. Enthält ein Term keine Variablen, so kannst du auch keine Werte einsetzen.

  • „Wenn du in eine Variable eines Terms einen konkreten Wert einsetzt, ergibt sich aus dem Term eine Zahl.“ Um einen konkreten Wert zu erhalten, musst du für alle Variablen konkrete Werten einsetzen. Setzt du z. B. in den Term $2 \cdot (a+b)$ nur $a=4$ ein, so erhältst du keine konkrete Zahl als Ergebnis.