Möndchen des Hippokrates

Möndchen des Hippokrates Übung

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  Der Satz des Hippokrates setzt rechtwinklige Dreiecke voraus, denn nur für solche ist die längste Seite ein Durchmesser des Kreises.

  Ein Kreis vom Radius $r$ hat den Flächeninhalt $\pi r^2$.

  Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel:

  $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$.

  Lösung

  Das Dreieck in der Konstruktion der Möndchen des Hippokrates liegt mit allen drei Ecken auf einem Kreis. Die längste Seite $c$ ist der Durchmesser des Kreises. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck daher rechtwinklig. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel:

  $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$.

  Da das Dreieck rechtwinklig ist, können wir die Kathete $a$ als Grundseite nehmen, die Kathete $b$ ist dann die Höhe. Daher beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks:

  $\frac{a \cdot b}{2}$.

  Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $\pi r^2$, der Flächeninhalt eines Halbkreises $\frac{\pi r^2}{2}$. Die Halbkreise über den Seiten $a$, $b$ und $c$ haben die Radien $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ und $\frac{c}{2}$ und daher die Flächeninhalte:

  • $\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac a2\right)^2=\frac{\pi \cdot a^2}{8}$,
  • $\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac b2\right)^2=\frac{\pi \cdot b^2}{8}$,
  • $\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac c2\right)^2=\frac{\pi \cdot c^2}{8}$ .

  Der Flächeninhalt der Möndchen des Hippokrates ist die Summe der Flächeninhalte der Halbkreise über den Seiten $a$ und $b$ und des Dreiecks, abzüglich des Flächeninhalts des Halbkreises über der Seite $b$. In Formeln:

  $\frac{a \cdot b}{2} + \frac{\pi \cdot a^2}{8} + \frac{\pi \cdot b^2}{8} - \frac{\pi \cdot c^2}{8}=\frac{a \cdot b}{2}+\frac{\pi\left(a^2+b^2-c^2\right)}{8}$.

  Nach dem Satz des Pythagoras gilt in dem rechtwinkligen Dreieck $a^2 + b^2 - c^2 =0$. Damit ist der Term $a^2+b^2-c^2=0$, sodass sich der zweite Bruch komplett aufhebt. Der Flächeninhalt der Möndchen des Hippokrates beträgt daher:

  $\frac{a \cdot b}{2}$ .

• Gib die Sätze zur Flächenberechnung wieder.

  Tipps

  Ein Kreis mit Durchmesser $1~\text{cm}$ hat den Flächeninhalt $\frac{\pi}{4}~\text{cm}^2$.

  Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks aus den beiden Katheten.

  Der Umfang eines Kreises mit Radius $r$ ist $2\pi r$.

  Lösung

  Richtig sind folgende Aussagen:

  • „Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $\pi r^2$.“

  • „Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ ist $a \cdot b$.“

  • „Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der beiden Katheten.“

  Falsch sind dagegen folgende Aussagen:

  • „Der Satz des Pythagoras besagt: in jedem Dreieck mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ gilt $a^2 + b^2 = c^2$.“ Der Satz des Pythagoras setzt rechtwinklige Dreiecke voraus. Eine Verallgemeinerung ist der Cosinussatz, dieser gilt für beliebige Dreiecke.

  • „Der Flächeninhalt eines Halbkreises mit Durchmesser $d=2r$ ist $\frac{\pi \cdot d}{4}$.“ Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r= \frac{d}{2}$ ist $\pi \cdot r^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$. Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist die Hälfte davon, also $\frac{\pi \cdot r^2}{2} = \frac{\pi \cdot d^2}{8}$.

  • „Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ ist $a^2 + b^2 = c^2$.“ Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$. Sind $a$ und $b$ die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist $b$ die Höhe zu der Grundseite $a$, sodass der Flächeninhalt $\frac{a \cdot b}{2}$ beträgt.

  • „Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $2 \pi r$.“ Die korrekte Formel für den Flächeninhalt lautet $\pi r^2$. Der Term $2\pi r$ beschreibt den Umfang eines Kreises mit Radius $r$.

• Analysiere den Beweis.

  Tipps

  Beginne den Beweis mit der geometrischen Idee: Überlege, wie die Fläche der Möndchen zustande kommt.

  Bestimme als Nächstes die Flächeninhalte des Dreiecks und der Halbkreise.

  Berechne die Länge der Seite $c$ mit dem Satz des Pythagoras. Daraus ergibt sich der Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite $c$.

  Lösung

  Der sortierte Beweis sieht so aus:

  • Der Flächeninhalt der Möndchen ist der Flächeninhalt der Halbkreise

  • über den Seiten $a=3~\text{cm}$ und $b=4~\text{cm}$, abzüglich des Flächeninhalts des Halbkreises

  • über der Seite $c$. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $6~\text{cm}^2$, der Flächeninhalt

  • des Halbkreises über den Seiten $a$ bzw. $b$ ist $\frac{9}{8} \pi~\text{cm}^2$ bzw.

  • $2\pi~\text{cm}^2$. Nach dem Satz des Pythagoras ist der Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite $c$ dann

  • $\frac{25}{8}~\text{cm}^2$. Die Möndchen haben den Flächeninhalt:

  • $6~\text{cm}^2 + \frac{9}{8}\pi~\text{cm}^2 + 2\pi~\text{cm}^2 - \frac{25}{8}\pi~\text{cm}^2 = 6~\text{cm}^2$.

  Hierbei haben wir zwischendurch den Satz des Pythagoras benutzt: die Seite $c$ ist gegeben durch $c^2 = a^2 + b^2 = 3^2~\text{cm}^2 + 4^2~\text{cm}^2 = 25~\text{cm}^2$, also $c=5~\text{cm}$. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $\frac{a \cdot b}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2}~\text{cm}^2 = 6~\text{cm}^2$. Die Flächeninhalte der Halbkreise sind

  $\begin{array}{lll} \frac{\pi a^2}{8} &=& \frac{9}{8}\pi~\text{cm}^2 \\ \\ \frac{\pi b^2}{8} &=& \frac{16}{8}\pi~\text{cm}^2 = 2\pi~\text{cm}^2 \\ \\ \frac{\pi c^2}{8} &=& \frac{15}{8}\pi~\text{cm}^2 \end{array}$

• Erschließe den Flächeninhalt.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ beträgt $a\cdot b$.

  Dieses Rechteck kannst du in zwei deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$ und $b$ zerlegen. Deren Flächeninhalte sind jeweils halb so groß wie der des Rechtecks.

  Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a=3~\text{cm}$ und $b=4~\text{cm}$ hat die Hypotenuse $c= \sqrt{3^2+4^2}~\text{cm}=5~\text{cm}$.

  Der Flächeninhalt der Hippokrates-Möndchen ist genauso groß wie der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.

  Lösung

  Der Satz des Hippokrates besagt: der Flächeninhalt der Möndchen ist gleich dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. Dieser beträgt $\frac{a \cdot b}{2}$.

  Der Flächeninhalt eines Kreises mit Durchmesser $d$ beträgt $\frac{\pi \cdot d^2}{4}$, der eines Halbkreises mit demselben Durchmesser $\frac{\pi \cdot d^2}{8}$.

  Aus diesen Überlegungen ergeben sich folgende Zuordnungen:

  • Für die Seitenlängen $a= 2~\text{cm}$ und $b=3~\text{cm}$ ist der Flächeninhalt der beiden Hippokrates-Möndchen $3~\text{cm}^2$.

  • Für die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$ und $b = 4~\text{cm}$ beträgt der Flächeninhalt des Vollmonds über der Seite $c$ genau $\frac{25\pi}{4}~\text{cm}^2$.

  • Für die Seitenlängen $a= 1~\text{cm}$ und $b=2~\text{cm}$ liegt der Flächeninhalt der Halbmonde über den Seiten $a$ und $b$ bei $\frac{\pi}{8}~\text{cm}^2$ und $\frac{\pi}{2}~\text{cm}^2$.

  • Für die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$ und $b=5~\text{cm}$ liegt der Flächeninhalt der Hippokrates-Möndchen bei $\frac{15}{2}~\text{cm}^2$.

  • Für die Seitenlängen $a=\frac{5}{2}~\text{cm}$ und $b=\frac{5\pi}{2}\text{cm}$ beträgt der Flächeninhalt der Hippokrates-Möndchen $\frac{25\pi}{8}~\text{cm}^2$.

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  Ein rechtwinkliges Dreieck entsteht durch Teilung eines Rechtecks längs der Diagonalen.

  In der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ kommt der Radius quadratisch vor.

  Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist halb so groß wie der Flächeninhalt des gesamten Kreises.

  Lösung

  Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ beträgt $\pi r^2$. Der Flächeninhalt eines Halbkreises ist halb so groß.

  Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$. Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten $a$ und $b$ ist $b$ die Höhe über der Seite $a$. Der Flächeninhalt beträgt daher $\frac{a \cdot b}{2}$.

  Aus diesen Überlegungen erhalten wir folgende Flächeninhalte:

  • Der Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite $a$ beträgt $\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \big(\frac{a}{2}\big)^2 = \frac{\pi \cdot a^2}{8}$.

  • Der Flächeninhalt des Halbkreises über der Kathete $b$ beträgt analog dazu $\frac{\pi \cdot b^2}{8}$.

  • Für das rechtwinklige Dreieck mit Katheten $a$ und $b$ finden wir den Flächeninhalt $\frac{a \cdot b}{2}$.

  • Der Halbkreis über der Hypotenuse $c$ hat den Flächeninhalt $\frac{\pi \cdot c^2}{8}$.

  • Der Kreis über der Hypotenuse $c$ hat schließlich den Flächeninhalt $\pi \cdot \big(\frac{c}{2}\big)^2 = \frac{\pi \cdot c^2}{4}$.

• Bestimme den Flächeninhalt eines Möndchens.

  Tipps

  Der Satz des Thales besagt: ein Dreieck über dem Durchmesser eines Kreises, dessen Punkte auf dem Kreis liegen, ist rechtwinklig.

  Der Flächeninhalt eines Halbkreises vom Radius $2~\text{cm}$ ist $2\pi~\text{cm}^2$.

  Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe über einer Kathete die andere Kathete.

  Lösung

  Die Breite der Möndchen des Hippokrates hängt von dem Verhältnis der Katheten ab. Je länger eine Kathete im Vergleich zur anderen Kathete ist, desto schmaler ist das Möndchen. Bei der maximalen Länge wird aus der Kathete ein Durchmesser des Kreises und das Möndchen verschwindet.

  Den genauen Wert für den Flächeninhalt eines Möndchens kann man daher nur in dem Fall angeben, für den die beiden Möndchen kongruent sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn das rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist, d. h. wenn $a=b$ gilt.

  Nach dem Satz des Pythagoras gilt in diesem Fall:

  $c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2$

  und daher:

  $c = \sqrt{2} a$.

  Mit der Seitenlänge $a=2~\text{cm}$ und $\sqrt{2} \approx 1,41$ ist:

  $c \approx 1,41~\cdot 2\text{cm}=2.82~\text{cm}$.

  Nach dem Satz des Hippokrates ist bei jedem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt beider Möndchen zusammen genauso groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks.

  Die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lautet:

  $\frac{a \cdot b}{2}$.

  Diese Formel ergibt sich entweder aus der Formel $\frac{\text{Grundseite mal Höhe}}{2}$ für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks oder aus der Tatsache, dass ein rechtwinkliges Dreieck die Hälfte eines Rechtecks ist. Bei dem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck ist $a=b$, daher beträgt der Flächeninhalt:

  $\frac{a^2}{2}$.

  Die beiden Möndchen sind bei einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck kongruent und daher gleich groß.

  Der Flächeninhalt eines Möndchens ist in diesem Falle also die Hälfte des Flächeninhalts beider Möndchen bzw. die Hälfte des Flächeninhalts des Dreiecks. Dieser Flächeninhalt eines Möndchens beträgt daher:

  $\frac{a^2}{4}$.

  Setzen wir noch die Seitenlänge $a=2~\text{cm}$ ein, so haben die Halbmonde (=Halbkreise) über den Seiten $a=b$ jeweils den Flächeninhalt:

  $\frac{\pi \cdot 2^2}{8}~\text{cm}^2 = \frac{\pi}{2}~\text{cm}^2$.

  Der Halbmond über der Seite $c$ hat den Flächeninhalt:

  $\frac{\pi \cdot (\sqrt{2\cdot} 2)^2}{8}~\text{cm}^2 = \pi~\text{cm}^2$.

  Jedes der beiden Möndchen hat den Flächeninhalt:

  $\frac{2^2}{4}~\text{cm}^2 = 1~\text{cm}^2$ .