Satz des Pythagoras – Kathete gesucht

Satz des Pythagoras – Kathete gesucht Übung

• Bestimme die fehlende Länge der Kathete.

  Tipps

  Die Formel des Pythagoras

  $a^2 +b^2 =c^2$

  kannst du nach $a^2$ oder $b^2$ auflösen.

  Setze die Werte $8$ und $32,5$ in die Formel für $a^2$ ein.

  Den Wert für $a$ erhältst du, indem du aus dem Wert für $a^2$ die Wurzel ziehst.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten üblicherweise mit $a$ und $b$ und die Hypotenuse mit $c$. Der Satz des Pythagoras lässt sich dann durch folgende Formel ausdrücken:

  $a^2+b^2=c^2$

  Du kannst die Formel benutzen, um die Länge der Kathete $a$ aus den Längen $b=8$ und $c=32,5$ zu berechnen. Dazu löst du zuerst die Formel des Pythagoras nach $a^2$ auf:

  $a^2 = c^2-b^2$

  Nun kannst du die Werte für $b$ und $c$ einsetzen:

  $a^2 = (32,5)^2-(8)^2 = 1056,25 - 64 = 992,25$

  Ziehst du nun die Wurzel, so erhältst du die Länge der Kathete:

  $a = \sqrt{992,25} = 31,5$

  Bedenke, dass du beim Ziehen einer Wurzel immer zwei Ergebnisse bekommst. Da eine Länge jedoch immer nur positiv sein kann, scheidet $-31,5$ aus.

• Gib den Satz des Pythagoras wieder.

  Tipps

  In der Formel $a^2 +b^2 =c^2$ ist $c$ die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

  Jedes Dreieck, in dem der Satz des Pythagoras gilt, ist rechtwinklig.

  Benutze die binomische Formel, um $(a+b)^2$ zu berechnen und vergleiche das Ergebnis mit der Formel des Pythagoras.

  Lösung

  Nach dem Satz des Pythagoras ist bei einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über die Hypotenuse flächengleich mit der Summe der Quadrate über den Katheten. Als Formel schreibt man dafür:

  $a^2+b^2=c^2$

  Hier bezeichnen $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse. An der Formel erkennst du auch gleich, dass $c$ die längste Seite des Dreiecks sein muss.

  Folgende Bilder sind falsch bezeichnet:

  Bild oben links: Hier sind die Flächeninhalte $b^2$ und $c^2$ vertauscht. Denn an der Formel $a^2+b^2 = c^2$ erkennst du, dass $c$ die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks sein muss. Bild oben rechts: Hier stimmt die Formel nicht mit dem Satz des Pythagoras überein. Der Satz des Pythagoras besagt: $c^2 = a^2+b^2$. Der rechte Term der Formel im Bild ist aber $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Da $2ab\neq 0$, ist die Formel nicht mit dem Satz des Pythagoras vereinbar und daher falsch. Bild unten rechts: Dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig. Der Satz des Pythagoras gilt aber genau in rechtwinkligen Dreiecken. Gilt in einem Dreieck der Satz des Pythagoras, so ist das Dreieck rechtwinklig.

• Bestimme jeweils die fehlende Länge der Katheten.

  Tipps

  Löse die Formel $a^2 +b^2 =c^2$ nach der passenden Variablen auf und setze die vorgegebenen Werte ein.

  Ist $a^2=36$ und $a$ positiv, so ist $a= \sqrt{36}=6$.

  In dem Dreieck mit $a=8$ und $c=17$ ist:

  $b^2 = c^2 - a^2 = 289-64=225$

  Daher ist:

  $b =\sqrt{225}=15$

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse denselben Flächeninhalt hat wie die Quadrate über beiden Katheten zusammen. Meistens bezeichnet man die Katheten mit $a$ und $b$ und die Hypotenuse mit $c$. Den Satz des Pythagoras kannst du dann durch folgende Formel ausdrücken:

  $a^2+b^2=c^2$

  Du kannst die Formel nach $a$ oder $b$ auflösen und erhältst so die beiden Formeln

  $a= \sqrt{c^2-b^2}$ und $b = \sqrt{c^2-a^2}$

  In diese kannst du die vorgegebenen Werte für $a$ und $b$ bzw. für $b$ und $c$ einsetzen.

  Beispiel 1:

  In einem Dreieck mit $c=17$ und $a=15$ lautet die nach $b^2$ aufgelöste Formel des Pythagoras:

  $b^2 = c^2-a^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

  Durch Wurzelziehen erhältst du die Länge der Kathete $b$:

  $b=\sqrt{64} = 8$

  Beispiel 2:

  Ist $c=10,9$ und $b=9,1$, so lautet der Satz des Pythagoras:

  $a^2 = c^2-b^2 = 10,9^2 - 9,1^2 = 118,81 - 82,81 = 36$

  Daher gilt:

  $a=\sqrt{36} = 6$

  Beispiel 3:

  Ist in einem dritten rechtwinkligen Dreieck $c=10,1$ und $b=9,9$, so lautet die Formel für das Quadrat der dritten Seite:

  $a^2 = c^2-b^2 = 10,1^2 - 9,9^2 = 102,01 - 98,01 = 4$

  Für die Kathete $a$ gilt also:

  $a = \sqrt{4} = 2$

• Erschließe die Längen der fehlenden Katheten.

  Tipps

  Ist $a$ eine Kommazahl und $b$ eine ganze Zahl, so kann $c=\sqrt{a^2 +b^2} $ keine ganze Zahl sein.

  Die Hypotenuse $c$ ist länger als beide Katheten $a$ und $b$ und kürzer als $a+b$.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man meistens die Hypotenuse mit $c$ und die Katheten mit $a$ und $b$. Der Satz des Pythagoras lässt sich dann durch folgende Formel ausdrücken:

  $a^2 +b^2 =c^2$

  Du kannst die Formel benutzen, um die Hypotenuse $c$ aus den Katheten $a$ und $b$ zu berechnen. Denn da $c>0$ ist, kommt nur die positive Wurzel in Betracht. Es ist also:

  $c= \sqrt{a^2 +b^2}$

  In diese Formel kannst du die Werte einsetzen, um die passende Kombination von Katheten zu finden. Um die Suche nach passenden Kombinationen zu vereinfachen, kannst du dir noch Folgendes überlegen:

  • Es gilt immer $a \lt c$ und $b \lt c$ sowie $c \lt (a+b)$.
  • Es ist unmöglich, dass genau einer der Werte $a$, $b$ und $c$ eine Kommazahl ist und die beiden anderen Werte ganze Zahlen sind.

  Mit diesen Überlegungen findest du folgende Zuordnungen:

  $c=37$:

  • $a=35$
  • $b=12$
  • Denn $35^2 +12^2 = 1.225+144=1.369=37^2$.

  $c=29$:

  • $a=20$
  • $b=21$
  • Hier ist nämlich $20^2 +21^2 = 400+441=841=29^2$.

  $c=17$:

  • $b=7,2$
  • $a=15,4$
  • Mit diesen Werten erhältst du $7,2^2 +15,4^2 =51,84+237,16=289=17^2$.

  $c=13$:

  • $a=3,2$
  • $b=12,6$
  • Hier ist $3,2^2 +12,6^2 = 10,24+ 158, 76 =169=13^2$.

• Beschrifte die bildliche Darstellung des Satz des Pythagoras.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge $x$ ist $A=x^2$.

  Beschrifte die quadratischen Flächen mit dem passenden Term für den Flächeninhalt.

  Nach dem Satz des Pythagoras ist in einem rechtwinkligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrates über der längsten Seite genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden anderen Seiten.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Meistens bezeichnet man die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes mit $a$ und $b$, die Hypotenuse mit $c$. Du kannst sie aber auch beliebig benennen. Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Den Satz des Pythagoras kannst du mit der folgenden Formel ausdrücken, wenn $c$ die Hypotenuse ist:

  $a^2+b^2=c^2$

  Hierbei ist $a^2$ genau der Flächeninhalt des Quadrates über der Seite $a$ und $b^2$ der Flächeninhalt des Quadrates über der Seite $b$. Der Satz des Pythagoras besagt, dass der Flächeninhalt $c^2$ des Quadrates über der Hypotenuse genauso groß ist wie die Summe der Flächeninhalte der beiden anderen Quadrate.

  Im Bild musst du den Flächeninhalt des größten Quadrates mit $c^2$ bezeichnen. Denn die Formel

  $a^2 +b^2 =c^2$

  zeigt, dass die Seite $c$ länger ist als $a$ und als $b$. Welches der beiden kleineren Quadrate du mit $a^2$ bezeichnest und welches mit $b^2$, ist nicht festgelegt.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Katheten $a$ und $b$ gleich lang.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • „Gilt in einem Dreieck $a^2+b^2 = c^2$, so ist das Dreieck rechtwinklig und $c$ ist die Hypotenuse.“ Denn der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken und die Formel zeigt, dass $c$ länger als $a$ und $b$ ist.

  • „In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck mit Hypotenuse $c$ und Schenkel $a$ ist $c^2 = 2a^2$.“ In einem solchen Dreieck gilt für die Katheten $a=b$. Einsetzen in die Formel des Pythagoras ergibt $c^2 =a^2 +b^2 = a^2 +a^2= 2a^2$.

  • „Ein rechtwinkliges gleichseitiges Dreieck gibt es nicht, denn sonst müsste gelten $a = \sqrt{a^2+a^2}$.“ Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Wäre das Dreieck zugleich rechtwinklig, so wäre also $a$ die Hypotenuse und $a$ und $a$ die Katheten. Der Satz des Pythagoras ergibt dann für die Hypotenuse $a = \sqrt{a^2 +a^2} = \sqrt{2} a$. Diese Gleichung kann nur durch $a=0$ erfüllt werden.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • „Ist $c$ die längste Seite eines Dreiecks, so gilt immer $a =\sqrt{c^2-b^2}$.“ Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und gilt nur, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.

  • „Gilt in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $c$ die Formel $a = \sqrt{c^2-4a^2}$, so ist das Dreieck gleichschenklig.“ In einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck ist $a=b$. Für die Hypotenuse $c$ gilt daher $c^2 =a^2 +b^2 =a^2 +a^2$. Aufgelöst nach $a$ ergibt sich die Formel $a=\sqrt{c^2 - a^2}$.