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Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
Tauche ein in die Welt der Winkelarten! Lerne, wie Geradenschnitte vier verschiedene Winkel erzeugen und welche Rolle dabei Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel spielen. Du findest Beispiele und praktische Anwendungen, die dir helfen, das Thema besser zu verstehen. Du möchtest mehr darüber erfahren? Dann lies weiter und werde zum Winkel-Experten!
- Winkelarten – Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel
- Nebenwinkel – Definition
- Scheitelwinkel – Definition
- Stufenwinkel – Definition
- Wechselwinkel – Definition
- Beispiele für Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel
- Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel im Alltag
- Übungen zu Scheitelwinkeln, Nebenwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln
- Ausblick – das lernst du nach Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel
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Grundlagen zum Thema Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
Winkelarten – Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel
Zwei Geraden können unterschiedliche Lagebeziehungen zueinander haben. Sie sind entweder parallel zueinander, identisch oder sie schneiden sich in genau einem Punkt. Im Fall, dass sie sich schneiden, schließen die beiden Geraden am Schnittpunkt insgesamt vier Winkel ein. Anhand dieser vier Winkel lassen sich unterschiedliche Winkelarten feststellen.
Schnitt zweier Geraden
Schneiden sich zwei Geraden, dann kann man daran zwei unterschiedliche Winkelarten finden: Scheitelwinkel und NebenwinkelSchnitt von zwei Parallelen durch eine Gerade
Werden zwei parallele Geraden von einer weiteren Geraden geschnitten, lassen sich neben Scheitelwinkel und Nebenwinkel noch zwei weitere Winkelarten finden: Wechselwinkel und Stufenwinkel.
Das obige Bild zeigt zwei parallele Geraden $g$ und $h$, die von einer weiteren Geraden $i$ geschnitten werden. Im Folgenden beziehen sich die Winkelbezeichnungen $\alpha, \beta, \gamma, \alpha’, \beta’, \gamma’$ auf das obige Bild.
Nebenwinkel – Definition
Alle Winkel, die auf einer Geraden liegen, sind Nebenwinkel. Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen immer $180^\circ$.
Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind beispielsweise Nebenwinkel.
Beispiel: Wenn der Winkel $\alpha = 70^\circ$ beträgt, muss der Nebenwinkel $\beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ betragen.
Scheitelwinkel – Definition
Schneiden sich zwei Geraden, dann liegen sich entsprechende Scheitelwinkel immer gegenüber. Sie sind stets gleich groß.
$\alpha$ und $\gamma$ sind Scheitelwinkel, da sie sich direkt am Schnittpunkt gegenüberliegen.
Beispiel: Ist der Winkel $\alpha = 70^\circ$, muss der Scheitelwinkel ebenso $\gamma = 70^\circ$ betragen.
Stufenwinkel – Definition
Beim Schnitt zweier Parallelen durch eine Gerade sind auch Winkel parallel verschoben.
Stufenwinkel sind immer gleich groß, da sie die parallele Verschiebung eines anderen Winkels sind.
$\alpha$ und $\alpha’$ sind Stufenwinkel, genauso wie beispielsweise $\gamma$ und $\gamma’$. Im Bild gibt es zu jedem Winkel einen entsprechenden Stufenwinkel.
Beispiel: Beträgt $\alpha = 70^\circ$, muss auch der Stufenwinkel $\alpha’ = 70^\circ$ betragen.
Wechselwinkel – Definition
Diese Winkelart entsteht ebenfalls beim Schnitt zweier paralleler Geraden durch eine weitere Gerade.Wechselwinkel sind stets gleich groß. Ein entsprechender Wechselwinkel ist der Scheitelwinkel des dazugehörigen Stufenwinkels.
Winkel $\alpha’$ und $\gamma$ sind Wechselwinkel und sind gleich groß. Das ist bekannt, da $\alpha$ der Stufenwinkel zu $\alpha’$ ist. Gleichzeitig sind $\alpha$ und $\gamma$ Scheitelwinkel und deshalb gleich groß. Somit sind $\alpha’$ und $\gamma$ ebenfalls gleich groß.
Beispiel: Ist der Winkel $\alpha’ = 70^\circ$, ist der Wechselwinkel $\gamma = 70^\circ$.
Beispiele für Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel
Mit dem Wissen über alle Winkelarten lassen sich die Winkelgrößen auch von unbekannten Winkeln bestimmen:
Gegeben sind die Winkel $\alpha=60^\circ$ und $\beta’=120^\circ$. Die übrigen Winkel können folgendermaßen bestimmt werden:
- $\alpha$ und $\gamma$ sind Scheitelwinkel: Somit gilt, dass $\gamma=60^\circ$ ist.
- $\beta’$ und $\beta$ sind Stufenwinkel und sind deshalb ebenfalls gleich groß. Also ist $\beta=120^\circ$.
- $\delta$ und $\beta’$ sind Wechselwinkel. Das ist bekannt, da $\delta$ und $\beta$ Scheitelwinkel sind und wiederum $\beta$ und $\beta’$ Stufenwinkel sind. Insofern gilt auch, dass $\delta=120^\circ$ groß ist.
- $\beta’$ und $\alpha’$ beziehungsweise $\beta’$ und $\gamma’$ sind Nebenwinkel und ergänzen sich stets zu $180^\circ$. Deshalb sind $\alpha’$ und $\gamma’$ beide $60^\circ$ groß.
- Da $\delta$ der Nebenwinkel von $\alpha$ ist, ist ebenfalls $\delta = 120^\circ$.
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler ist, dass Scheitelwinkel und Stufenwinkel verwechselt werden. Tatsächlich sind sie unterschiedlich: Scheitelwinkel liegen gegenüber und sind gleich groß, während Stufenwinkel benachbart und ihre Summe immer 180 Grad beträgt.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel im Alltag
Es gibt einige Berufe, bei denen das Wissen über die verschiedenen Winkelarten von Vorteil ist. Beispiele hierfür findet man in der Städteplanung, Architektur sowie in weiteren handwerklichen Berufen:
Schlaue Idee
- Holzverarbeitende Personen können ihre benötigten Materialien für sämtliche Möbelstücke berechnen, ohne jeden einzelnen Winkel zwischen den Brettern abzumessen.
- Beim Fliesenlegen können vor dem Zuschneiden der Fliesen die Winkel von schwer zugänglichen Ecken berechnet werden, indem eine Parallele zu einer der Wände konstruiert und daran die Winkel abgemessen werden.
- Beim Entwerfen eines Bauplans in der Architektur sind alle Winkel eines Hauses bekannt, da die Stockwerke in einem Haus im Normalfall alle parallel zueinander sind. Kreuzt eine Wand die Stockwerke in einem bestimmten Winkel, reicht es aus, einen Schnittwinkel zu berechnen, um alle anderen Winkelgrößen ebenfalls zu erhalten.
Winkelpaare entstehen nämlich nicht nur beim Schnitt von zwei parallelen Geraden durch eine weitere Gerade. Sie lassen sich an den Schnittpunkten von beliebig vielen parallelen Geraden finden.
Übungen zu Scheitelwinkeln, Nebenwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln
Im Folgenden beziehen sich die Winkelbezeichnungen auf das Bild in der Einführung zu diesem Thema.
Nebenwinkel: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
Scheitelwinkel:
- $\gamma = \alpha = 50^\circ$
- $\delta = \beta = 130^\circ$
Nebenwinkel: $\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$
Scheitelwinkel:
- $\gamma = \alpha = 35^\circ$
- $\delta = \beta = 145^\circ$
$\alpha = \gamma = 120^\circ$ (Scheitelwinkel)
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (Nebenwinkel)
$\delta = \beta = 60^\circ$ (Scheitelwinkel)
Nebenwinkel: $\alpha = 180^\circ - \delta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Scheitelwinkel:
- $\beta = \delta = 90^\circ$
- $\gamma = \alpha = 90^\circ$
Falsch: Beispielsweise ist $\alpha = 120^\circ$ ein stumpfer Winkel und ein Nebenwinkel zu $\beta = 60^\circ$.
Falsch: Ein überstumpfer Winkel ist größer als $180^\circ$, er kann daher kein Scheitelwinkel oder Nebenwinkel sein.
Richtig: Scheitelwinkel können stumpfe Winkel sein (zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$) und sind stets gleich groß.
Falsch: Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$. Ist einer der beiden Nebenwinkel $90^\circ$, gilt für den anderen Winkel $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Nebenwinkel: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
Scheitelwinkel:
- $\gamma = \alpha = 45^\circ$
- $\delta = \beta = 135^\circ$
Es soll gelten: $\alpha = 2 \cdot \beta$
Da $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel sind, gilt:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Nun setzen wir die erste in die zweite Gleichung ein:
$2 \cdot \beta + \beta = 180^\circ$
$3 \cdot \beta = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta = 60^\circ$
Das Ergebnis für $\beta$ können wir wieder in die erste Gleichung einsetzen:
$\alpha = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$
Nun wissen wir auch, wie groß die restlichen Winkel (Scheitelwinkel) sind:
- $\gamma = \alpha = 120^\circ$
- $\delta = \beta = 60^\circ$
Es soll gelten: $\delta = \alpha - 20^\circ$
Außerdem wissen wir, dass $\alpha$ und $\delta$ Nebenwinkel sind. Daher gilt:
$\delta + \alpha = 180^\circ$
Nun setzen wir die erste in die zweite Gleichung ein:
$\alpha - 20^\circ + \alpha = 180^\circ$
Daraus folgt:
$2 \cdot \alpha = 200^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 100^\circ$
Nun können wir die Nebenwinkel und Scheitelwinkel berechnen:
Scheitelwinkel: $\gamma = \alpha = 100^\circ$
Nebenwinkel:
- $\beta = 180^\circ - \alpha = 80^\circ$
- $\delta = 180^\circ - \alpha = 80^\circ$
Ausblick – das lernst du nach Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
Beschäftige dich weiterführen mit den Winkelarten. Der rechte Winkel ist besonders wichtig. Außerdem gibt es Winkel auch in Kreisen.
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel – Zusammenfassung
- Voraussetzung für die Winkelpaare sind zwei parallele Geraden und eine Gerade, die diese schneidet
- Nebenwinkel ergeben zusammen $180 ^\circ$
- Scheitelwinkel sind gleich groß
- Stufenwinkel sind gleich groß
- Wechselwinkel sind gleich groß
Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel
Ein Scheitelwinkel ist ein Winkel an einer Geradenkreuzung, der einem gleich großen Winkel gegenüberliegt.
Scheitelwinkel sind stets gleich groß. Sie haben denselben Scheitelpunkt und ihre Schenkel liegen auf denselben Geraden.
Ein Winkel hat an einer Kreuzung von Geraden immer genau einen Scheitelwinkel.
Ein Scheitelwinkel ist so groß wie der Winkel, der ihm gegenüberliegt. Ist die Größe des gegenüberliegenden Winkels bekannt, ist auch die Größe des Scheitelwinkels bekannt.
Nebenwinkel und Scheitelwinkel sind Bezeichnungen für Winkel an Geradenkreuzungen. Dabei gilt:
- Scheitelwinkel liegen einander gegenüber und sind gleich groß.
- Nebenwinkel liegen nebeneinander entlang einer Geraden. Sie ergänzen sich zu $180^\circ$.
Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann entstehen zwei Paare gleich großer Winkel, diese werden als Scheitelwinkel bezeichnet. Da zum Beispiel für beide Scheitelwinkel $\alpha$ und $\gamma$ gilt, dass $\alpha + \beta = 180^\circ$ (Nebenwinkel) und $\gamma + \beta = 180^\circ$ (Nebenwinkel), können wir gleichsetzen und erhalten: $\alpha + \beta = \gamma + \beta \quad \Rightarrow \quad \alpha = \gamma$
Das Gradmaß eines Scheitelwinkels entspricht dem des gegenüberliegenden Winkels an einer Geradenkreuzung.
Scheitelwinkel treten stets in Paaren auf. An einer Kreuzung von zwei Geraden erhalten wir zwei Paare von Scheitelwinkeln: $\alpha = \gamma$ und $\beta = \delta$.
Ein Winkelpaar besteht aus zwei Winkeln, deren Eigenschaften sich durch ihre gegenseitige Lage bedingen. Es gibt Paare von Scheitelwinkeln, Nebenwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln. Mehr dazu erfährst du hier.
Stufenwinkel finden wir, wenn eine Gerade $i$ zwei parallele Geraden $g$ und $h$ schneidet. Als Stufenwinkel oder F-Winkel bezeichnen wir dabei die entlang der Geraden $i$ parallel verschobenen gleich großen Winkel, die $i$ jeweils mit $g$ und $h$ einschließt.
Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, das heißt, sie ergänzen sich zu $180^\circ$. Sind zwei Nebenwinkel gleich groß, gilt:
$\alpha + \beta = 2 \cdot \alpha = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 90^\circ = \beta$
Gleich große Nebenwinkel sind also stets rechte Winkel.
Der Nebenwinkel eines spitzen Winkels ist stets ein stumpfer Winkel.
Nebenwinkel treten stets in Paaren auf. An einer Kreuzung von zwei Geraden können wir vier Paare von Nebenwinkeln bilden, die nebeneinander liegen und sich zu einem gestreckten Winkel von $180^\circ$ ergänzen: $\alpha$ und $\beta$, $\beta$ und $\gamma$, $\gamma$ und $\delta$, $\delta$ und $\alpha$.
Ein Nebenwinkel ergänzt einen Winkel zu einem gestreckten Winkel von $180^\circ$.
In der Regel spricht man bei Nebenwinkeln von einem Winkelpaar, das zusammen einen gestreckten Winkel von $180^\circ$ bildet. Dabei kann der Nebenwinkel an einem bestimmten Winkel an einen beliebigen Schenkel anschließen. Der Winkel $\alpha$ hat an einer Geradenkreuzung beispielsweise die Nebenwinkel $\beta$ und $\delta$, die zueinander Scheitelwinkel sind.
Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt stets $180^\circ$. Ist der Winkel $\alpha$ beispielsweise bekannt, kann sein Nebenwinkel $\beta$ aus der Differenz berechnet werden:
$\beta = 180^\circ - \alpha$
Die Gleichheit von Stufenwinkeln folgt daraus, dass die geschnittenen Geraden parallel zueinander sind. Es erfolgt also eine Parallelverschiebung, die als Kongruenzabbildung winkeltreu ist. Umgekehrt folgt aus der Gleichheit der Stufenwinkel ebenfalls die Parallelität der geschnittenen Geraden.
Als Stufenwinkelpaar werden zwei gleich große Winkel bezeichnet, die auf derselben Seite einer Geraden liegen, die zwei parallele Geraden schneidet. Werden zwei parallele Geraden $g$ und $h$ von einer weiteren Geraden geschnitten, gibt es zu jedem der acht Schnittwinkel jeweils einen Stufenwinkel. So entstehen vier mögliche Stufenwinkelpaare.
Das Gradmaß eines Stufenwinkels entspricht dem des zugehörigen Stufenwinkels.
Wechselwinkel finden wir, wenn eine Gerade $i$ zwei parallele Geraden $g$ und $h$ schneidet. Als Wechselwinkel oder Z-Winkel bezeichnen wir dabei die gleich großen Winkel auf unterschiedlichen Seiten von $i$, die $i$ jeweils mit $g$ und $h$ einschließt.
Ein Wechselwinkel ist ein gleich großer Winkel, der beim Schnitt eines Schenkels mit einer zum anderen Schenkel parallelen Geraden entsteht. Wechselwinkel liegen auf unterschiedlichen Seiten des gemeinsamen Schenkels. Beim Nachzeichnen der parallelen und des gemeinsamen Schenkels entsteht ein Z.
Als Wechselwinkelpaar werden zwei gleich große Winkel bezeichnet, die auf verschiedenen Seiten einer Geraden liegen, die zwei parallele Geraden schneidet.
Dass Wechselwinkel gleich groß sind, können wir uns mithilfe von Stufenwinkeln erklären: Zu jedem Winkel eines Stufenwinkelpaars bildet je einer der Wechselwinkel einen Nebenwinkel. Da Nebenwinkel zusammen $180^\circ$ ergeben und die Stufenwinkel gleich groß sind, müssen auch die Wechselwinkel gleich groß sein.
Ein Wechselwinkel entsteht, wenn eine Gerade durch einen Schenkel eines Winkels eine Gerade schneidet, die parallel zum anderen Schenkel des Winkels ist.
Wenn eine Gerade $i$ zwei parallele Geraden $g$ und $h$ schneidet, entstehen sowohl Stufen- als auch Wechselwinkel, die jeweils gleich groß sind.
Für Stufenwinkel (auch F-Winkel) gilt:
- Sie liegen auf derselben Seite der Geraden $i$.
- Zeichnet man die Gerade $i$ und die jeweils zweiten Schenkel der Stufenwinkel nach, entsteht ein F (dieses ist ggf. gespiegelt).
Für Wechselwinkel (auch Z-Winkel) gilt:
- Sie liegen auf unterschiedlichen Seiten der Geraden $i$.
- Zeichnet man die Schenkel der Wechselwinkel auf den Geraden $i$, $g$ und $h$ nach, entsteht ein Z (dieses ist ggf. gespiegelt).
Das Gradmaß eines Wechselwinkels entspricht dem des zugehörigen Wechselwinkels.
Scheitelwinkel an einer Geradenkreuzung sind stets gleich groß.
Eine Winkelbeziehung lässt Aussagen über Winkel zu, die durch ihre Lage zueinander oder zu anderen geometrischen Objekten in Beziehung gesetzt werden können. Insbesondere können Aussagen über die Größen der Winkel getroffen werden, zum Beispiel:
- Scheitelwinkel sind gleich groß.
- Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$.
- Stufenwinkel sind gleich groß.
- Wechselwinkel sind gleich groß.
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Während ihrer nächtlichen Futtersuche sind die drei Waschbären mit ihrem Einkaufswagen umgekippt schon wieder. Zurück zum Zeichenstumpf! Sie entscheiden sich dazu, besser am Tag zu üben wie sie um die scharfen Kurven in engen Winkel fahren können bevor sie wieder auf den nächtlichen Beutegang können. Um diesen totsicheren Plan in die Tat umzusetzen, müssen sie sich mit Winkelpaaren auskennen. Schauen wir uns mal ihren Stadtplan etwas genauer an. Alle horizontalen Straßen sind parallel zueinander. Sie schneiden sich also nie. Aber es gibt einige Straßen, die diese Parallelen scheiden. Die Waschbären sind hier an Winkel 1 umgekippt. Winkel 1 misst 60 Grad. Kannst du noch andere Winkel sehen, die genauso groß sind? Tatsächlich sind es einige; einer davon ist Winkel 3. Dies ist so, weil Winkel 1 und Winkel 3 Scheitelwinkel sind und diese immer gleich groß sind. Haben wir genug Informationen, um die Größe von Winkel 2 herauszufinden? Da Winkel 1 und 2 auf einer Geraden liegen, muss ihre Summe 180 Grad ergeben. Das heißt, dass die Größe von Winkel 2 120 Grad beträgt. Dieses Paar von Winkeln sind Nebenwinkel. Und da Winkel 2 und Winkel 4 Scheitelwinkel sind, muss Winkel 4 also auch 120 Grad betragen. Nun kennen wir die Größe aller Winkel an dieser Kreuzung, aber können wir dadurch auch die Größen der Winkel an anderen Kreuzungen bestimmen? Schauen wir uns mal Winkel 5 an. Verschieben wir Winkel 1 entlang der Schnittgeraden und schauen einmal was passiert. Es sieht so aus als wären Winkel 1 und Winkel 5 gleich. Und das sind sie auch! Winkel 5 beträgt ebenfalls 60 Grad. Winkel 1 und Winkel 5 sind ein Beispiel für Stufenwinkel. Stufenwinkel sind Winkelpaare, die sich in der gleichen Lage ihrer jeweiligen Kreuzung befinden. Und jedes Mal, wenn zwei Parallelen von einer anderen Geraden geschnitten werden, sind die Stufenwinkel gleich groß. Das heißt, dass du nur die Größe einer dieser Winkel benötigst, um dann automatisch die Größe des anderen Winkels zu wissen. Kannst du noch andere übereinstimmende Winkel sehen? Genau, Winkel 2 und 6 stimmen ebenfalls überein und ebenso Winkel 3 und Winkel 7 und Winkel 4 und 8. Das heißt, dass Winkel 2 und Winkel 6 gleich sind und Winkel 3 und Winkel 7 und Winkel 4 und Winkel 8. Wir wissen bereits, dass Winkel 4 und Winkel 6 120 Grad betragen, aber ist dies immer der Fall? Es ist! Wir können dies auch anschaulich zeigen. Wir können unser Wissen über Scheitelwinkel und Stufenwinkel benutzen, um dies zu beweisen. Winkel 4 muss also genauso groß wie Winkel 2 sein, weil sie Scheitelwinkel sind. Und Winkel 6 muss auch genauso groß wie Winkel 2 sein, da sie Stufenwinkel sind. Daher müssen Winkel 6 und Winkel 4 auch gleich groß sein. Wir nennen diese Art von Winkelpaaren Wechselwinkel. Kannst du noch weitere Wechselwinkel sehen? 3 und 5 sind außerdem Wechselwinkel. Es gibt aber auch noch eine andere Art von Wechselwinkeln. Diese liegen aber beide an der äußeren Seite der Kreuzung. Wie zum Beispiel Winkel 1 und 7 und auch Winkel 2 und 8. Beachte, dass Winkel 1 und Winkel 7 gleich sind und das gleiche gilt für Winkel 2 und 8. Wenn zwei Parallelen von einer dritten Geraden geschnitten werden, sind Wechselwinkel immer gleich groß. Tatsächlich gibt es viele gleich große Winkel in diesem Fall. Schau dir mal an, was mit diesen Kreuzungen passiert. Wir können unser Wissen sogar dazu verwenden, um alle Größen dieser Winkel herauszufinden. Die Waschbären müssen jetzt also nur noch das Fahren um eine der Ecken üben, um jede Kreuzung zu meistern. Und für jede Kreuzung müssen sie also auch nur einen Winkel messen, dann können sie ihr Wissen über Nebenwinkel, Stufenwinkel, Scheitelwinkel und Wechselwinkel nutzen, um die Größen der anderen Winkel herauszufinden. Nun ist es an der Zeit ein bisschen das Fahren zu üben bevor es dann zum Shopping geht. Während die Waschbären etwas herumfahren, lass uns einmal zusammenfassen. Wenn Parallelen von einer anderen Geraden geschnitten werden, bilden sich gleich große Winkelpaare. Die Winkel, die gegenüber voneinander liegen heißen Scheitelwinkel und sind immer gleich groß. Die Summe der Winkel, die nebeneinander liegen, ergibt stets 180 Grad. Diese Winkel nennt man Nebenwinkel. Winkel, die an derselben Position des jeweiligen Schnittpunktes liegen sind ebenfalls gleich groß und heißen Stufenwinkel. Als letztes haben wir noch die Wechselwinkel kennengelernt. Hier befinden sich die Winkel, die gleich groß sind, an den gegenüberliegenden Seiten der zwei verschiedenen Schnittpunkte. Hiervon gibt es insgesamt vier Paare. Die Waschbären versuchen nun mal ihr Glück, um die Ecken zu kommen und ihre nächtlichen Snacks beschaffen zu können. Oh man, das war definitiv der falsche Winkel!
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel Übung
-
Beschreibe die verschiedenen Arten von Winkeln an Schnittpunkten von Geraden.
TippsZwei Parallelstraßen haben keine gemeinsame Kreuzung.
Ein Winkel kann Teil mehrerer verschiedener Winkelpaare sein.
LösungDen Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:
- Wir betrachten die Schnittpunkte dreier Geraden, von denen zwei parallel sind. Das bedeutet, diese zwei Geraden schneiden sich nie.
- An solch einer Doppelkreuzung können wir verschiedene Paare von Winkeln identifizieren, deren Größen auf verschiedene Arten zusammenhängen. Hier siehst du beispielsweise ein Paar von Scheitelwinkeln. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie gleich groß sind. An jeder Einzelkreuzung gibt es zwei Paare dieser Winkel.
- Als ein Paar von Nebenwinkeln bezeichnet man zwei Winkel, die direkt nebeneinanderliegen. Diese ergeben zusammen immer $180^\circ$. Es gibt vier solcher Paare an jeder Einzelkreuzung.
- Paare von Stufenwinkeln treten nur an den genannten speziellen Doppelkreuzungen auf. Genauso wie bei Scheitelwinkeln sind auch hier die zwei Winkel immer gleich groß.
- Zuletzt betrachten wir noch Paare von Wechselwinkeln. Sie treten ebenfalls nur an solchen Doppelkreuzungen auf und auch hier sind die zwei Winkel immer gleich groß. Das kannst du dir außerdem dadurch erklären, dass einer der Winkel der Scheitelwinkel zum Stufenwinkel des anderen ist.
-
Benenne die Winkelpaare, die die Winkel miteinander bilden.
TippsEs gibt innere und äußere Wechselwinkel.
Auch wenn ein Winkel ausreicht, um alle anderen zu berechnen, heißt das nicht, dass sich alle anderen Winkel auch in die gegebenen Kategorien einordnen lassen.
Lösung- Die Winkel $2$ und $4$ sind Nebenwinkel des Winkels $1$, da sie direkt neben ihm liegen.
- Der Winkel $3$ ist der Scheitelwinkel zu $1$, da er ihm an derselben Kreuzung gegenüber liegt.
- Der Winkel $5$ ist der Stufenwinkel zu $1$, weil er an der unteren Kreuzung an der gleichen Position liegt wie $1$ an der oberen.
- Der Winkel $7$ ist der äußere Wechselwinkel zu $1$, da er an der unteren Kreuzung an der gleichen Position liegt wie der Scheitelwinkel zu $1$ an der oberen Kreuzung.
-
Berechne die gesuchten Winkel.
TippsEin vollständiger Kreis entspricht einem Winkel von $360^\circ$.
Auch wenn sich ein Winkel nicht direkt in eine der vier dir bekannten Kategorien einordnen lässt, kannst du ihn über Umwege berechnen.
LösungObwohl hier nur ein einziger Winkel der Doppelkreuzung gegeben ist, können wir alle anderen berechnen, da zwei der Geraden wieder parallel sind.
Winkel $8$ ist hier vorgegeben, seine Größe beträgt $38^\circ$. Wir sehen, dass Winkel $1$ ein Stufenwinkel und Winkel $6$ ein Scheitelwinkel zu Winkel $8$ sind, und diese sind beide gleich groß, also ebenfalls $38^\circ$. Winkel $3$ ist außerdem ein Wechselwinkel zu Winkel $5$. Demnach ist auch er $38^\circ$ groß.
Die Winkel $5$ und $7$ sind nun Nebenwinkel zu Winkel $8$ bzw. Winkel $6$ und analog dazu sind die Winkel $2$ und $4$ Nebenwinkel zu Winkel $1$ bzw. Winkel $3$. Paare von Nebenwinkeln ergeben zusammen immer $180^\circ$. Folglich sind die Winkel $2$, $4$, $5$ und $7$ jeweils $180^\circ-38^\circ=142^\circ$ groß.
-
Bestimme, welche Winkel gleich sind.
TippsEin Paar von Nebenwinkeln ergibt $180^\circ$, also gemeinsam.
Wechselwinkel und Stufenwinkel treten an Doppelkreuzungen mit zwei parallelen Geraden auf.
Lösung1. Bild
Hier siehst du ein Paar von Nebenwinkeln. Diese sind im Allgemeinen nicht gleich groß, sondern ergeben zusammen $180^\circ$. (Sie sind also nur genau dann gleich groß, wenn sie beide rechte Winkel sind. Dies ist hier aber nicht der Fall).
2. Bild
Dargestellt ist ein Paar von Stufenwinkeln an einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden. Diese sind also gleich groß.
3. Bild
Diese zwei Winkel sind äußere Wechselwinkel und somit ebenfalls gleich groß.
4. Bild
Vielleicht sehen diese Winkel auf den ersten Blick wie innere Wechselwinkel aus, allerdings sind die Geraden der Doppelkreuzung nicht parallel. In einem solchen Fall sind die eingezeichneten Winkel nicht gleich groß und werden auch nicht mehr als Wechselwinkel bezeichnet.
5. Bild
Hier sind ebenfalls keine der eingezeichneten Geraden parallel, jedoch betrachten wir diesmal nur eine Kreuzung. Die eingezeichneten Scheitelwinkel sind also trotzdem gleich groß.
-
Bestimme, welche Winkel zusammengehören.
TippsEin Halbkreis entspricht einem Winkel von $180^\circ$.
Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel sind gleich groß.
LösungHier siehst du die richtige Zuordnung:
- Nebenwinkel sind diejenigen Winkel, die direkt neben dem angegebenen Winkel liegen, sich also sozusagen eine Gerade mit ihm teilen.
- Der Scheitelwinkel ist derjenige Winkel, der dem angegebenen Winkel an derselben Kreuzung gegenüberliegt.
- Der Wechselwinkel liegt an derselben Position wie der Scheitelwinkel des gegebenen Winkels, nur an der jeweils anderen Kreuzung.
- Der Stufenwinkel des gegebenen Winkels liegt ebenfalls an der jeweils anderen Kreuzung, aber an der gleichen Position wie der gegebene Winkel.
-
Berechne den Winkel $\alpha$.
TippsIn einem Dreieck beträgt die Winkelsumme immer $180^\circ$.
Ein Parallelogramm ist dadurch definiert, dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel sind.
LösungHier müssen wir unser Wissen über die verschiedenen Winkelarten mit ein wenig weiterer Geometrie kombinieren, um zu der Lösung zu gelangen:
Zunächst benötigen wir eine Eigenschaft von Dreiecken: Ihre Winkelsumme beträgt immer $180^\circ$.
Das linke obere Dreieck ist außerdem gleichschenklig. Das heißt, dass seine beiden orangefarbenen Basiswinkel gleich groß sind. Bezeichnen wir sie mit $\beta$, ergibt sich $2\beta + 30^\circ = 180^\circ$ und damit $\beta=75^\circ$. Weil der oberste der gelben Winkel der Scheitelwinkel zum linken orangefarbenen Winkel ist, ist er ebenfalls $75^\circ$ groß.
Da sowohl die beiden von links nach rechts verlaufenden Geraden als auch die beiden von links unten nach rechts oben verlaufenden (Halb-)Geraden jeweils zueinander parallel sind, können wir nun eine ganze Menge Rückschlüsse auf die restlichen Winkel ziehen:
So sind die beiden verbleibenden gelben Winkel Stufen- bzw. Wechselwinkel zum ersten und damit gleichfalls $75^\circ$ groß, die hellblauen Winkel als Nebenwinkel zu diesen dann $180^\circ-75^\circ=105^\circ$. Damit sind die dunkelblauen Winkel als Stufen- bzw. Wechselwinkel der hellblauen Winkel ebenfalls $105^\circ$ groß und die grünen Winkel, als deren Nebenwinkel, wiederum $75^\circ$.
Hier hätten wir uns auch die folgende Regel zunutze machen können, die wir aber – ganz nebenbei – hergeleitet haben:
Gegenüberliegende Winkel in einem Parallelogramm sind gleich groß.
Jetzt kennen wir den oberen grünen Winkel und damit zwei Winkel des rechten Dreiecks. (Wir hätten diesen Winkel auch direkt als Stufenwinkel des linken orangefarbenen Winkels betrachten können.) Hier nutzen wir wieder den Satz über die Winkelsumme und erhalten so für den violetten Winkel, den wir $\gamma$ nennen:
$\gamma = 180^\circ-38^\circ-75^\circ = 67^\circ$
Nun können wir $\alpha$ als dessen Nebenwinkel berechnen und erhalten:
$\alpha = 180^\circ - 67 ^\circ = 113^\circ$
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Gut erklärt
Ein bisschen schwierig zu verstehen
Sehr tolles Video und total lustig. Aber es ist nicht das da was ich suche. Ich suche nämlich: Wieso ergeben Dreiecken 180 Grad.
das war super
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