Was ist ein Winkel?
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Grundlagen zum Thema Was ist ein Winkel?
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du wissen, was ein Winkel ist.
Zunächst lernst du, welche Bedeutung ein Winkel haben kann. Anschließend erfährst du etwas über die Gradeinteilung von Winkeln. Abschließend lernst du, wie einige Winkel mit verschiedenen Gradangaben aussehen.
Lerne, wie du Richtungen mit Hilfe von Winkeln angeben kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Winkel, Halbgerade, Schenkel, Scheitel, Scheitelpunkt, Winkelscheitel, griechische Buchstaben, Alpha, Beta, Gamma, Delta und Grad.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Geraden, Halbgeraden und Strecken sind.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Messen und Zeichnen von Winkeln sowie die verschiedenen Winkelarten zu lernen.
Transkript Was ist ein Winkel?
Sonnenaufgang am Ameisenhügel. Die Ameisenkönigin Ameisabeth die Zweite hält ihr morgendliches Briefing ab. Ihre Kundschafter haben einige ausgesprochen interessante Dinge gefunden, die sich sehr gut in der königlichen Schatzkammer machen würden. Um die Lage dieser Dinge zu beschreiben, müssen die Berater wissen, was ein Winkel ist und wie man ihn angibt. Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, der Punkt Winkelscheitel oder einfach nur Scheitel. Auch zwei Geraden oder zwei Strecken können Winkel einschließen. Winkel werden üblicherweise mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Alpha, Beta, Gamma und Delta zum Beispiel. Ein Winkel kann dabei ganz verschieden gedeutet werden: Er beschreibt die Öffnung der beiden Schenkel zueinander. Er kennzeichnet den Unterschied der Richtungen beider Schenkel. Oder: Er gibt die Länge eines Kreisbogens wieder, wobei der Mittelpunkt des zugehörigen Kreises der Winkelscheitel ist. Diese Ameise blickt in eine bestimmte Richtung. Dreht sie sich ein Stück, dann blickt sie in eine andere Richtung. Während sie sich gedreht hat, hat ihr Blick diese Fläche überstrichen. Diese Fläche entspricht dabei dem Winkel zwischen den beiden Blickrichtungen. Der Winkel gibt aber auch die Veränderung der Blickrichtung selbst an. Der Kopf der Ameise hat bei der Drehung einen Kreisbogen beschrieben. Die Länge dieses Kreisbogens wird ebenfalls durch den Winkel beschrieben. Viele Größen haben Einheiten. Die Einheit der Länge ist bspw. Meter. Die Einheit der Masse Kilogramm. Beim Winkel heißt die Einheit Grad und wird mit einem kleinen, hochgestellten Kreis angegeben. Dreht sich die Ameise einmal im Kreis, hat ihr Blick einmal die ganze Fläche überstrichen. Die Blickrichtung ist wieder in der Ausgangsposition angekommen. Der Kopf der Ameise hat einen vollständigen Kreis beschrieben. Der zugehörige Winkel heißt Vollwinkel und hat eine Größe von 360 Grad. Ein Grad ist also der 360ste Teil dieses Vollwinkels. Ein Grad ist also gerademal so groß. Die Einteilung in 360 Grad geht auf die alten Babylonier zurück, die ein 12er- und 60er-Zahlensystem verwendet haben. Es wird, wie die Einteilung des Tages in 12 Stunden und die Einteilung der Stunde in 60 Minuten, aus Gewohnheit immer noch verwendet. Wie läuft es denn im königlichen Briefing? Der erste Kundschafter sagt, er habe einen wertvollen Schatz gefunden. Der Winkel zwischen der Richtung, wo die Sonne gerade aufgeht, und der Richtung, in der der wertvolle Schatz liegt, ist so groß. Er entspricht einem Viertelkreis. Ein Viertel von 360 Grad ist 90 Grad. Daher hat dieser Winkel eine Größe von 90 Grad. Ein 90 Grad großer Winkel heißt auch rechter Winkel und wird mit einem Punkt im Winkelbogen bezeichnet. Der nächste Kundschafter hat einen einzigartigen Schatz gefunden. Der Winkel zwischen Sonnenrichtung und der Richtung, in der der einzigartige Schatz liegt, ist so groß. Er entspricht einem Halbkreis. Die Hälfte von 360 Grad ist 180 Grad. Daher hat dieser Winkel eine Größe von 180 Grad. Der Dritte Kundschafter hat einen mächtig großen Schatz gefunden. Der Winkel zwischen Sonnenrichtung und der Richtung, in der der mächtig große Schatz liegt, ist so groß. Er entspricht einem Dreiviertelkreis. Drei Viertel von 360 Grad sind 270 Grad. Dieser Winkel hat also eine Größe von 270 Grad. Nach reiflicher Überlegung beschließt Königin Ameisabeth die Zweite, dass sie den mächtig großen Schatz haben möchte. Und während die Ameisen ausschwärmen, um den Schatz zu holen, fassen wir das Ganze noch einmal zusammen: Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel, der Punkt Winkelscheitel. Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet, also bspw. mit Alpha, Beta, Gamma und Delta. Die Einheit heißt Grad. Ein Grad entspricht dem 360sten Teil des Vollwinkels. Ein Viertel des Vollwinkels sind 90 Grad. Dieser Winkel heißt auch rechter Winkel und wird mit einem Punkt im Winkelbogen bezeichnet. Die Hälfte sind 180 Grad und Dreiviertel sind 270 Grad. Ah, dieser Schatz ist wirklich, äh mächtig groß!
Was ist ein Winkel? Übung
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Bestimme die Größen der eingezeichneten Winkel.
TippsJe zwei Winkel sind $90^\circ$ und $180^\circ$ groß.
Je ein Winkel ist $270^\circ$ und $360^\circ$ groß.
Der Vollkreis besitzt einen Winkel von $360^\circ$. Betrachtest du einen Viertelkreis, so viertelt sich auch der zugehörige Winkel.
Je länger der Kreisbogen ist, der von einem Winkel beschrieben wird, desto größer ist auch der Winkel.
LösungWenn wir uns merken, dass der Vollkreis einem Winkel von $360^\circ$ entspricht, dann können wir die restlichen Winkel leicht berechnen: Teilen wir den Kreis in gleiche Teile, dann müssen wir das mit dem Winkel ebenfalls tun.
Beispielsweise hat ein Viertelkreis auch ein Viertel des Winkels $360^\circ$, also $90^\circ$.
Dementsprechend ergeben sich für den Halbkreis $180^\circ$ und für den Dreiviertelkreis $270^\circ$.
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Beschreibe, was wir unter einem Winkel verstehen.
TippsGeraden haben keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt.
Ist der Kreisbogen, der einen Winkel verkörpert, genau ein Halbkreis, dann ist der Winkel $180^\circ$ groß.
LösungDen Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:
- Ein Winkel entsteht immer dann, wenn zwei Halbgeraden am selben Punkt beginnen. Diese nennen wir dann Schenkel und ihr gemeinsamer Anfangspunkt heißt Winkelscheitel. Auch zwei Strecken oder zwei Geraden können Winkel einschließen.
- Die Bedeutung eines Winkels kann auf verschiedene Arten beschrieben werden. Beispielsweise beschreibt ein Winkel die Öffnung der beiden Schenkel zueinander oder kennzeichnet den Unterschied der Richtungen beider Schenkel. Außerdem gibt er die Länge eines Kreisbogens zwischen den zwei Schenkeln an, wenn der Mittelpunkt des zugehörigen Kreises der Winkelscheitel ist.
- Winkel werden in der Einheit Grad angegeben, die mit dem Symbol $^\circ$ dargestellt wird. Zudem werden Winkel meist mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Vollwinkel $-$, also eine komplette Umdrehung $-$, entspricht (per Konvention) genau $360^\circ$.
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Vergleiche die Größen der gezeigten Winkel.
TippsEin Winkel ist größer als ein anderer, wenn du einen größeren Kreisbogen von einem Schenkel zum anderen zeichnen musst.
LösungEin Winkel ist größer als ein anderer, wenn der zugehörige Kreisbogen einen größeren Anteil am Vollkreis darstellt. Dementsprechend ist beispielsweise ein $180^\circ$-Winkel (Halbkreis) größer als ein $90^\circ$-Winkel (Viertelkreis), da eine Hälfte ein größerer Anteil am Vollkreis ist als ein Viertel.
Deshalb müssen wir die genauen Gradzahlen auch nicht kennen, um die Winkel der Größe nach zu sortieren. (Zumindest nicht, solange wir mit bloßem Auge erkennen können, welcher Winkel größer ist.) Es ergibt sich die hier abgebildete Reihenfolge.
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Ordne den Beschreibungen die richtigen Winkel zu.
TippsDer Begriff Vollwinkel bezeichnet einen Winkel mit $360^\circ$.
Möchtest du den Winkel angeben, der einem bestimmten Anteil des Vollwinkels entspricht, musst du den Anteil der Gradzahl des Vollwinkels bestimmen.
LösungBetrachten wir zunächst die drei Bilder: Zwei von ihnen sind auch hier abgebildet. Die Ausrichtung der Schenkel sieht bei beiden sehr ähnlich aus. Im einen Fall müssen wir aber nur einen Viertelkreisbogen entlanglaufen, im anderen einen Dreiviertelkreisbogen. Folglich:
- entspricht der erste Winkel (Viertelkreisbogen mit Punkt) $90^\circ$ (dieser Winkel wird rechter Winkel genannt und durch einen Punkt gekennzeichnet)
- entspricht der zweite Winkel (Dreiviertelkreisbogen) dagegen $270^\circ$
Sehen wir uns nun noch die Beschreibungen an:
- Wenn du dich einmal im Kreis drehst, dann kannst du dir vorstellen, dass du dabei jemandem zusiehst, der im Kreis um dich herumläuft. Diese Person ist also genau dann einen kompletten Kreis abgelaufen, wenn du dich einmal um dich selbst gedreht hast. Deshalb entspricht eine komplette Umdrehung $360^\circ$.
- Der Begriff Vollwinkel bezeichnet einen Winkel mit $360^\circ$. Ein Winkel, der ein Zwölftel des Vollkreises abdeckt, hat auch ein Zwölftel der Gradzahl des Vollkreises, also des Vollwinkels. Einem Zwölftel eines Vollwinkels entsprechen demnach $360^\circ:12=30^\circ$.
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Bestimme, welche Aussagen über Winkel wahr sind.
TippsEin rechter Winkel entspricht genau einem viertel Kreisbogen.
Drehst du dich einmal um dich selbst, dann hast du dich um $360^\circ$ gedreht.
LösungDie folgenden Aussagen sind richtig:
- Die Öffnung zwischen zwei Halbgeraden, die im selben Punkt beginnen, wird durch einen Winkel beschrieben.
- Ein Winkel beschreibt den Unterschied zwischen den Richtungen zweier Halbgeraden bzw. Geraden bzw. Strecken.
- Der Winkel $90^\circ$ wird auch als rechter Winkel bezeichnet.
- Ein Vollkreis wird durch einen Winkel von $500^\circ$ beschrieben.
- Drehst du dich um einen Winkel von $180^\circ$, dann schaust du wieder in dieselbe Richtung wie zuvor.
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Berechne die fehlenden Winkel in Dreiecken.
TippsEin rechter Winkel ist genau $90^\circ$ groß.
LösungIn einem Dreieck mit den drei Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ gilt immer $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Wenn wir alle Winkel addieren, müssen wir also $180^\circ$ erhalten.
1. Dreieck
Hier ist $\alpha=15^\circ$ und $\beta=45^\circ$. Daraus folgt:
$15^\circ+45^\circ+\gamma=180^\circ$
Wir fassen die beiden bekannten Winkel zusammen und erhalten:
$60^\circ+\gamma=180^\circ$
Um insgesamt $180^\circ$ zu erhalten, fehlen uns also noch $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Damit beträgt der Winkel $\gamma$ genau $120^\circ$.
2. Dreieck
Hier ist auf den ersten Blick nur $\gamma=30^\circ$ gegeben, was uns zur Berechnung des Winkels $\alpha$ nicht ausreicht. Allerdings ist in den letzten Winkel ein Punkt eingezeichnet, was uns verrät, dass dieser Winkel ein rechter Winkel, also $90^\circ$ groß ist. Damit können wir $\alpha$ nach demselben Schema berechnen, nach dem wir beim ersten Dreieck $\gamma$ berechnet haben, und erhalten:
$30^\circ+90^\circ+\alpha=180^\circ \quad \Longrightarrow \quad \alpha=60^\circ$
3. Dreieck
Bei diesem Dreieck ist kein einziger Winkel vorgegeben. Deshalb könnte man zuerst denken, dass wir hier gar nichts ausrechnen können. Wenn wir genauer hinsehen, merken wir allerdings, dass dieses Dreieck dreimal den gleichen Winkel $\alpha$ besitzt. Damit können wir dann doch etwas anfangen:
$\begin{array}{rl} \alpha+\alpha+\alpha&=180^\circ \\ 3\alpha&=180^\circ \end{array}$
Wir überlegen uns daher, welche Zahl mit drei multipliziert $180^\circ$ ergibt. Anders können wir aber auch $180^\circ$ durch $3$ teilen, um diese Zahl, also den Winkel $\alpha$, zu erhalten:
$\alpha=180^\circ:3=60^\circ$
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Was ist ein rechter Winkel
Vielen Danke
Echt sehr hilfreich!
Danke
Hoffendlich schaffe ich das auch in der Arbeit😅😎