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Messen und Zeichnen von Winkeln
Winkel messen bedeutet, die Gradzahl zwischen zwei Halbgeraden zu bestimmen. Mit einem Geodreieck misst man und liest gegen den Uhrzeigersinn ab. Man kann auch Winkel zeichnen, indem man das Geodreieck an die Linie anlegt und die Gradzahl markiert. Interessiert? Das und Übungen findest du im Text!
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Grundlagen zum Thema Messen und Zeichnen von Winkeln
Winkel messen und zeichnen
Ein Winkel wird von einem Punkt $S$ und zwei Halbgeraden, die beide bei Punkt $S$ ihren Anfang nehmen, begrenzt. $S$ ist dann der Scheitelpunkt des Winkels und die beiden Halbgeraden werden Schenkel genannt. Wie man mit einem Geodreieck Winkel zeichnen und messen kann, erfährst du in diesem Text.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal bemerkt, wie dein Schattenwinkel sich verändert, wenn du dich im Laufe des Tages im Freien bewegst. Morgens und abends ist dein Schatten lang und mittags, wenn die Sonne am höchsten steht, ist er kürzer. Das zeigt dir, wie sich die Winkel der Sonne zu dir und deinem Schatten ändern.
Winkel messen – Anleitung
Um einen Winkel zu messen, brauchst du ein Geodreieck. An der längsten Seite des Geodreiecks befindet sich ein Lineal, mit dem du auch Längen messen kannst. Für die Winkel ist aber die Winkelskala noch wichtiger. Das ist der Kreisbogen, der durch kleine Striche und Zahlen unterteilt ist. Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Um einen Winkel zu messen, musst du den Nullpunkt des Geodreiecks an den Winkelscheitel anlegen. Die lange Seite liegt dabei genau an einem der Winkelschenkel an. Der andere Schenkel schneidet so die Winkelskala an einem Punkt. Dieser Punkt gibt die Größe des Winkels in Grad ($^\circ$) an.
In diesem Beispiel messen wir einen Winkel von $50^{\circ}$.
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler ist es, Winkel von der falschen Seite des Strahls zu messen.
Vielleicht ist dir aufgefallen, dass das Geodreieck zwei Winkelskalen hat? Das liegt daran, dass du den Winkel auch messen kannst, indem du die lange Seite an den anderen Schenkel anlegst. Dann musst du allerdings die andere Winkelskala verwenden.
Du kannst dir merken, dass du immer die Winkelskala verwenden musst, bei der null Grad $(0^{\circ})$ an einem der Schenkel anliegt.
Winkel messen – Überstumpfe Winkel
Die Winkelskala des Geodreiecks geht nur bis $180^{\circ}$. Überstumpfe Winkel sind allerdings größer als $180^{\circ}$. Deswegen kannst du diese Art von Winkeln nicht direkt mit dem Geodreieck messen – du kannst aber einen Trick verwenden. Du verlängerst einfach einen der Schenkel so, dass du einen gestreckten Winkel erhältst. Zwischen der Verlängerung und dem zweiten Schenkel bleibt dann ein spitzer Winkel, den du messen kannst. Der überstumpfe Winkel ergibt sich dann aus der
In diesem Beispiel beträgt der Wert des spitzen Winkels $30^{\circ}$. Zusammen mit den $180^{\circ}$ des gestreckten Winkels ergibt sich für den überstumpfen Winkel ein Wert von $210^{\circ}$.
Winkel messen – Zusammenfassung
Um einen Winkel zu messen gehst du nach folgenden Schritten vor:
- Als Erstes legst du die lange Seite des Geodreiecks an einen der Schenkel an.
- Dann verschiebst du das Geodreieck so, dass der Nullpunkt der Längenskala am Winkelscheitel liegt.
- Nun kannst du den Winkel an der Winkelskala ablesen. Dabei verwendest du immer die Skala, deren Nullwinkel an einem Schenkel anliegt.
Falls du einen überstumpfen Winkel messen musst, unterteilst du ihn vorher in einen gestreckten und einen spitzen Winkel.
Winkel zeichnen – Anleitung
Natürlich kann man nicht nur Winkel messen, sondern auch Winkel mit dem Geodreieck zeichnen. Um eine Linie in einem bestimmten Winkel an eine andere Linie zu zeichnen, legst du die lange Seite des Geodreiecks an die Linie an. Der Nullpunkt der Längenskala muss genau an dem Ende der Linie liegen, wo später der Winkelscheitel sein soll. Dann suchst du die Markierung für die Winkelgröße, die du kennzeichnest die Stelle, zum Beispiel mit einem kleinen Punkt. Nun kannst du den Endpunkt der Linie mit diesem Punkt verbinden.
In diesem Beispiel wird ein Winkel $\alpha$ von $65^{\circ}$ gezeichnet.
Winkel zeichnen – Zusammenfassung
Um einen Winkel zu zeichnen gehst du nach folgenden Schritten vor:
- Als Erstes legst du die lange Seite des Geodreiecks an die Linie an, an der du einen Winkel zeichnen möchtest.
- Dann verschiebst du es so, dass der Nullpunkt der Längenskala an dem Ende der Linie liegt, an dem der Scheitel sein soll.
- Du markierst die Stelle mit der richtigen Gradzahl mithilfe der Winkelskala.
- Nun verbindest du Markierung und Endpunkt der Linie mit einer Geraden.
Ausblick – das lernst du nach Messen und Zeichnen von Winkeln
Winkel mit bestimmten Werten können verschiedenen Winkelarten zugeordnet werden. Eine der wichtigsten Winkelarten ist der rechte Winkel.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel messen
Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Die Einheit, in der Winkel angegeben werden ist Grad ($^\circ$).
Winkel kann man mit sehr gut mit dem Geodreieck und der dort abgebildeten Winkelskala messen.
Einen $90^\circ$-Winkel erkennst du daran, dass der zweite Schenkel beim Messen genau auf der senkrechten Mittellinie des Geodreiecks liegt. $90^\circ$-Winkel sind häufig auch mit einem Punkt im Winkelbogen markiert. sie werden auch als rechte Winkel bezeichnet.
Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
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Im Gebüsch jenseits des Baches wurde etwas höchst Interessantes gefunden! Die Ameisenkönigin Ameisabeth die Zweite ist deshalb in heller Aufregung. Sie verlangt unverzüglich dorthin geführt zu werden. Aber der Weg über die Baumwipfel ist weit und beschwerlich. Völlig unstandesgemäß! Für eine Königin unzumutbar! Königin Ameisabeth beschließt daher: Eine Brücke muss her! Ameistektin Antonia muss für die Planung Winkel messen und zeichnen. Dazu verwendet sie ein Geodreieck. An dem findest du hier eine Linealkante mit Zentimeterangaben. Du kannst mit dem Geodreieck also auch Strecken ausmessen. Für die Winkelmessung ist aber dieser Bogen interessanter. Die Skala darauf gibt die Winkelgröße in Grad an. Schauen wir uns diesen Winkel einmal an. Um ihn zu messen, legst du das Geodreieck so an, dass sich der Winkelscheitel genau bei der Null auf dem Lineal befindet. Der eine Schenkel des Winkels liegt dabei an der Linealkante. Am anderen Schenkel kannst du nun ablesen, wie groß der Winkel ist. Hier sind es 50 Grad. Aber warum befinden sich zwei Zahlenbögen auf dem Geodreieck? Du kannst das Geodreieck auch anders anlegen. Nämlich so. Der Winkel beträgt jetzt aber nicht 130 Grad, sondern immer noch 50 Grad. Die findest Du auf dem anderen Kreisbogen. Es handelt sich ja immer noch um denselben spitzen Winkel. Bei der Winkelmessung verwendest du immer denjenigen Bogen, bei dem der Wert 'Null Grad' an einem der Schenkel anliegt. Dann können wir uns mal anschauen, wie Antonias Bauplanung vorankommt. Vom ersten Tragseil der Brücke hat sie den Verlauf des einen Endes schon eingetragen. Wie muss das andere Ende verlaufen? Zwischen den Seilenden soll ein Winkel von 65 Grad liegen. Antonia legt das Geodreieck am Winkelscheitel an, misst 65 Grad ab und markiert die entsprechende Stelle auf dem Plan mit einem Punkt. Jetzt kann sie vom Winkelscheitel ausgehend durch diesen Punkt den zweiten Schenkel des Winkels einzeichnen. Der eingetragene Winkel hat nun eine Größe von 65 Grad. Vom zweiten Tragseil hat sie ebenfalls ein Ende eingezeichnet. Zwischen den Seil-Enden soll diesmal ein Winkel von 102 Grad liegen. Antonia legt das Geodreieck am Winkelscheitel an. Dann misst sie 102 Grad ab, markiert die Stelle und zeichnet den zweiten Schenkel ein. Das letzte Tragseil soll genau von den Endpunkten der Brücke ausgehen. Wie groß ist hier der Winkel? Antonia legt das Geodreieck an und misst den Winkel ab. Es sind 123 Grad. Hast du einen überstumpfen Winkel gegeben, reicht die Skala des Geodreiecks nicht aus. Ein überstumpfer Winkel ist nämlich größer als 180 Grad. Um den Winkel zu messen, verlängerst du einen der Schenkel so. Hier hast du nun einen gestreckten Winkel von 180 Grad. Dann musst du nur noch diesen Teil messen. Wir erhalten 30 Grad. Zusammen mit den 180 Grad erhältst du 210 Grad. Die Brücke ist fertig! Was Königin Ameisabeth die Zweite wohl auf der anderen Seite vorfinden wird? Bevor wir das erfahren, fassen wir noch schnell zusammen: Zur Winkelmessung verwendest du ein Geodreieck. Hier kannst du die Winkelgröße in Grad ablesen. Willst du einen Winkel messen, dann positionierst du das Geodreieck so, dass ein Schenkel an der Linealkante anliegt. Achte darauf, dass sich der Winkelscheitel bei der Null der Linealkante befindet. Den Winkel liest du an der Skala ab. Beim Zeichnen von Winkeln gehst du ganz ähnlich vor: Zeichne den ersten Schenkel und lege das Geodreieck so an. Den Winkel liest du an der Skala ab. Du markierst ihn mit einem Punkt. Dann kannst du, ausgehend vom Winkelscheitel, durch diesen Punkt den zweiten Schenkel des Winkels einzeichnen. Überstumpfe Winkel sind immer aus einem gestreckten und einem spitzen oder stumpfen Winkel zusammengesetzt. Das hilft dir beim Messen und Zeichnen. Was gibt es denn nun aber auf der anderen Seite des Flusses? Es ist etwas, das offenbar doch nicht so interessant ist.
Messen und Zeichnen von Winkeln Übung
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Gib an, wie du einen Winkel messen kannst.
TippsHier messen wir einen Winkel von $40^\circ$.
Der wichtigste Vorteil bei einem Geodreieck sind die beiden Halbkreise mit den Skalen, die uns beim Ermitteln der Winkelgröße helfen.
Der Punkt $S$ markiert hier den Scheitel des Winkels $\alpha$.
LösungDiese Schritte solltest du beim Messen von Winkeln immer beachten:
- Zuerst suchst du dir dein Geodreieck. Dieses hat eine Linealkante, mit der du Längen messen kannst. Viel wichtiger ist aber der meist farblich markierte Bogen: Die Skala auf diesem Bogen gibt die Winkelgröße in Grad an.
- Zum Messen legst du das Geodreieck so mit der Linealkante an einen der Schenkel an, dass sich der Winkelscheitel genau bei der Null auf dem Lineal befindet. Der zweite Schenkel muss dabei unter dem Geodreieck liegen. Je nachdem, an welchen Schenkel du das Geodreieck anlegst, musst du die innere oder äußere Skala des Bogens betrachten. Merke dir, dass du immer die Skala nimmst, die dort mit der $0$ beginnt, wo dein Schenkel anliegt.
- Am anderen Scheitel kannst du nun erkennen, wie groß der Winkel ist. Hier sehen wir, dass die Größe des Winkels $50^\circ$ beträgt. Dies kannst du dann einfach ablesen.
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Erkläre, wie du Winkel zeichnen kannst.
TippsEin Winkel wird immer von $2$ Schenkeln eingeschlossen.
Der Bogen auf deinem Geodreieck ist in $180$ Abschnitte mit jeweils $1^\circ$ eingeteilt.
LösungDie Ameisenarchitektin Antonia soll eine Brücke mit mehreren Tragseilen konstruieren, die jeweils an der Spitze der Pflanze befestigt werden. Die Spitze wird also unser Scheitel aller Winkel. Damit die Brücke stabil ist, müssen die Winkel zwischen den Tragseilen genau richtig gezeichnet sein. Zwischen dem hier gelb eingezeichneten Tragseilende und dem dazugehörigen auf der anderen Seite soll ein Winkel der Größe $65^\circ$ liegen.
Dazu legt Antonia ein Geodreieck mit der Linealkante an den Schenkel an. Dabei muss sie beachten, dass der Scheitel genau bei der $0$ liegt, sonst bekommt man ein falsches Ergebnis.
Dann misst sie mithilfe der Skala auf dem Kreisbogen genau $65^\circ$ ab und markiert die Stelle mit einem Punkt. Hierbei ist es wichtig, zu beachten, dass es zwei unterschiedliche Skalen gibt. Man nimmt immer die, bei der der Scheitel bei $0^\circ$ anliegt.
Danach zeichnet sie eine Linie durch den Scheitel und diese Markierung, um das andere Tragseilende zu erhalten. Dies ist dann der zweite Schenkel des Winkels.
-
Bestimme die Größen der folgenden Winkel.
TippsFür einen überstumpfen Winkel reicht dein Geodreieck nicht aus, da du nur Winkel bis zu einer Größe von $180^\circ$ messen kannst. Hier zeichnest du zunächst einen gestreckten Winkel ($180^\circ$) ein, misst dann den restlichen Winkel und addierst beide Werte.
LösungWir messen zunächst die beiden einfacheren spitzen Winkel, da wir diese direkt am Geodreieck ablesen können. Das Geodreieck liegt am unteren Schenkel an, also brauchen wir die Skala, die dort bei $0$ anfängt. Das ist die obere auf dem Kreisbogen, somit gelten folgende Größen:
- 1. Bild: $60^\circ$
- 3. Bild: $85^\circ$
Somit gelten folgende Größen:
- 2. Bild: $180^\circ+30^\circ=210^\circ$
- 4. Bild: $180^\circ+45^\circ=225^\circ$
-
Entscheide, welche Winkel entsprechend der Angabe korrekt gezeichnet wurden.
TippsDieser Winkel ist korrekt gezeichnet. Er setzt sich aus einem gestreckten Winkel ($180^\circ$) und einem stumpfen Winkel der Größe $135^\circ$ zusammen und hat somit eine Größe von $315^\circ$.
LösungKorrekt gezeichnet wurden die folgenden Winkel:
- $\alpha=260^\circ$
- Zunächst zeichnet man einen waagerechten Schenkel und markiert den Scheitelpunkt.
- Der Schenkel wird über den Scheitelpunkt hinaus verlängert durch eine leicht gezeichnete, gestrichelte Linie.
- Der überstumpfe Winkel $\alpha=260^\circ$ setzt sich aus dem gestreckten Winkel ($=180^\circ$) und einem spitzen Winkel zusammen. Für diesen bildet man einfach die Differenz: $260^\circ-180^\circ=80^\circ$.
- Das Geodreieck wird unterhalb des Schenkels mit der Nullmarkierung im Scheitelpunkt angelegt und der spitze Winkel abgetragen. Dort wird eine Markierung angebracht.
- Die Verbindung des Scheitelpunktes mit dieser Markierung ist der zweite Schenkel.
- $\alpha=280^\circ$
Falsch gezeichnet wurden die folgenden Winkel:
- $\alpha=190^\circ$
- $\alpha=360^\circ$
- $\alpha=110^\circ$
- Zunächst zeichnet man einen waagerechten Schenkel und markiert den Scheitelpunkt.
- Das Geodreieck wird an den Schenkel mit der Nullmarkierung im Scheitelpunkt angelegt und der stumpfe Winkel mit $\alpha=110^\circ$ abgetragen. Dort wird eine Markierung angebracht.
- Die Verbindung des Scheitelpunktes mit dieser Markierung ist der zweite Schenkel.
-
Vergleiche die Winkel.
TippsEin Vollwinkel hat eine Größe von $360^\circ$ und ist damit der größte. Er sieht aus wie ein (vollständiger) Kreis.
LösungWährend wir die Winkel der Größe nach ordnen, gehen wir gleich noch einmal auf die Bezeichnungen ein, die dir helfen, Winkel zu unterscheiden:
- Der kleinste Winkel hat eine Größe von $45^\circ$. Damit handelt es sich um einen spitzen Winkel. So nennen wir alle Winkel, für die $0^\circ<\alpha<90^\circ$ gilt.
- Danach folgt der rechte Winkel. Dieser wird häufig mit einem Punkt im Winkelbogen markiert. Seine Größe beträgt immer $90^\circ$.
- Der nächstgrößere Winkel hat eine Größe von $160^\circ$. Damit handelt es sich hierbei um einen stumpfen Winkel. So nennen wir alle Winkel, für die $90^\circ<\alpha<180^\circ$ gilt.
- Danach folgt der gestreckte Winkel, dessen Schenkel immer eine Gerade bilden. Seine Größe beträgt immer $180^\circ$.
- Der nächstgrößere Winkel hat eine Größe von $210^\circ$. Damit handelt es sich hierbei um einen überstumpfen Winkel. So nennen wir alle Winkel, für die $180^\circ<\alpha<360^\circ$ gilt.
- Ein ganzer Kreis wird auch als Vollwinkel bezeichnet. Seine Größe beträgt immer $360^\circ$.
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Ermittle die fehlenden Winkel.
TippsZeichne den Winkel $\alpha$ in dem Scheitelpunkt $A$. Dabei muss der Winkel gegen den Uhrzeigersinn abgelesen werden.
Wenn die beiden Winkel gezeichnet sind, kannst du den fehlenden Winkel messen.
Wenn du die drei Winkel addierst, erhältst du $180^\circ$.
LösungMan zeichnet zunächst die Strecke zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ mit der Länge $4 \text{ cm}$.
- Das Geodreieck wird in $A$ angelegt und gegen den Uhrzeigersinn wird der Winkel $\alpha$ abgetragen. So erhält man den zweiten Schenkel, der von $A$ ausgeht. Auf diesem liegt $C$ mit einem Abstand von $2\text{ cm}$ zu $A$.
- Das Geodreieck wird in $B$ angelegt und im Uhrzeigersinn wird der Winkel $\beta$ abgetragen. So erhält man den zweiten Schenkel, der von $B$ ausgeht und auf dem $C$ liegt.
- Dort, wo die beiden Schenkel sich schneiden, befindet sich der Punkt $C$.
- Nun kann das Geodreieck in $C$ zum Beispiel an der Strecke von $\overline{AC}$ angelegt werden. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn abgelesen. Wenn man sehr genau gezeichnet hat, erhält man den Winkel $\gamma=90^\circ$. Aber Ergebnisse $85^\circ < \gamma < 95^\circ$ sind ebenfalls in Ordnung, wenn auch nicht ganz präzise.
Nun kann auf beiden Seiten $90^\circ$ subtrahiert werden: Man erhält $\gamma=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.
Für das gleichseitige Dreieck kannst du ebenso vorgehen oder überlegst dir, dass alle drei Winkel gleich groß sein müssen und somit $60^\circ$ betragen.
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