Supplementär- und Komplementärwinkel

Supplementär- und Komplementärwinkel Übung

• Zeige auf, was für Supplementär- bzw. Komplementärwinkel gilt.

  Tipps

  Man spricht von benachbarten Winkeln, wenn diese direkt einander anliegen, sich aber nicht überlappen. Sie ergeben zusammen einen Winkel, der ihren addierten Einzelgrößen entspricht.

  Bei Komplementärwinkeln ergeben zwei benachbarte Winkel eine Größe von $90^\circ$.

  Bei Supplementärwinkeln ergeben zwei benachbarte Winkel eine Größe von $180^\circ$.

  Lösung

  Für Komplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $90^\circ$ ergeben. Komplementärwinkel bilden also immer einen rechten Winkel. Damit können wir die folgenden Elemente dem Begriff „Komplementärwinkel“ zuordnen:

  • $20^\circ$ und $70^\circ$
  • $=90^\circ$
  • rechter Winkel

  Für Supplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $180^\circ$ ergeben. Supplementärwinkel bilden also immer einen gestreckten Winkel, der zusammengesetzt wurde. Damit können wir dem Begriff „Supplementärwinkel“ folgende Elemente zuordnen:

  • $117^\circ$ und $63^\circ$
  • $=180^\circ$
  • gestreckter Winkel

  Übrig bleiben:

  • Vollwinkel
  • spitzer Winkel
  • $80^\circ+20^\circ$
  • $=100^\circ$

• Gib die Winkel an, zu denen sich die Pizzastücke zusammensetzen lassen.

  Tipps

  Die Größe eines Vollwinkels entspricht einem ganzen Kreis.

  Die Gesamtgröße von Komplementärwinkeln entspricht einem rechten Winkel.

  Die Gesamtgröße von Supplementärwinkeln entspricht einem gestreckten Winkel.

  Lösung

  Für Komplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $90^\circ$ ergeben. Komplementärwinkel bilden also immer einen rechten Winkel.

  • Damit ist $20^\circ+70^\circ=90^\circ$ ein Komplementärwinkel.

  Für Supplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $180^\circ$ ergeben. Supplementärwinkel bilden also immer einen gestreckten Winkel, der zusammengesetzt wurde.

  • Damit ist $117^\circ+63^\circ=180^\circ$ ein Supplementärwinkel.

  Die Größe eines Vollwinkels entspricht einem ganzen Kreis, also $360^\circ$.

  • Damit ist $180^\circ+180^\circ=360^\circ$ ein Vollwinkel.

• Bestimme die Komplementärwinkel.

  Tipps

  Zwei Winkel nennen wir Komplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen rechten Winkel ergeben.

  $25^\circ$ und $65^\circ$ sind Komplementärwinkel, da $90^\circ-25^\circ=65^\circ$ bzw. $25^\circ+65^\circ=90^\circ$.

  Lösung

  Zwei Winkel sind Komplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen rechten Winkel, also $90^\circ$, ergeben. Wir müssen also immer zwei Winkel addieren, um $90^\circ$ zu erhalten. Alternativ kannst du auch den Winkel von $90^\circ$ abziehen, um den passenden Winkel zu finden.

  Somit verbinden wir:

  • $45^\circ+45^\circ=90^\circ$
  • $55^\circ+35^\circ=90^\circ$
  • $15^\circ+75^\circ=90^\circ$
  • $30^\circ+60^\circ=90^\circ$
  • $40^\circ+50^\circ=90^\circ$

• Ermittle die Winkelbezeichnungen.

  Tipps

  Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.

  Lösung

  Zwei Winkel nennen wir Supplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen gestreckten Winkel, also $180^\circ$ bilden. Damit sind folgende Winkel Supplementärwinkel:

  • $90^\circ+ 90^\circ=180^\circ$
  • $30^\circ+ 150^\circ=180^\circ$
  • $170^\circ+ 10^\circ=180^\circ$

  Zwei Winkel nennen wir Komplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen rechten Winkel, also $90^\circ$ bilden. Damit sind folgende Winkel Komplementärwinkel:

  • $1^\circ+ 89^\circ=90^\circ$

  Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$. Damit sind die folgenden Winkel stumpf:

  • $11^\circ+ 89^\circ=100^\circ$
  • $65^\circ+ 60^\circ=125^\circ$
  • $85^\circ+ 65^\circ=150^\circ$
  • $90^\circ+ 89^\circ=179^\circ$

  Übrig bleiben:

  • $11^\circ+ 39^\circ=50^\circ$ spitzer Winkel
  • $165^\circ+ 60^\circ=225^\circ$ überstumpfer Winkel

• Vervollständige die Aussage zu Komplementär- und Supplementärwinkel.

  Tipps

  $\alpha$ und $\beta$ sind benachbarte Winkel.

  Sowohl $\alpha$ und $\beta$ als auch $\gamma$ und $\delta$ sind jeweils Supplementärwinkel.

  Lösung

  Man spricht von benachbarten Winkeln, wenn diese direkt aneinander anliegen, sich aber nicht überlappen. Sie ergeben zusammen einen Winkel, der ihren addierten Einzelgrößen entspricht.

  • Legst du also zwei Winkel der Größe $50^\circ$ zusammen, erhältst du einen Winkel der Größe $100^\circ$.

  Werden zwei benachbarte Winkel addiert und ergeben zusammen $90^\circ$, dann handelt es sich um Komplementärwinkel. Komplementärwinkel entsprechen gemeinsam also immer einem rechten Winkel, der zusammengesetzt wurde.

  • Zum Beispiel sind zwei benachbarte Winkel der Größen $20^\circ$ und $70^\circ$ Komplementärwinkel, da $20^\circ+70^\circ=90^\circ$.

  Werden zwei benachbarte Winkel addiert und ergeben zusammen $180^\circ$, dann handelt es sich um Supplementärwinkel. Supplementärwinkel entsprechen gemeinsam also immer einem gestreckten Winkel, der zusammengesetzt wurde.

  • Zum Beispiel sind zwei benachbarte Winkel der Größen $120^\circ$ und $60^\circ$ Supplementärwinkel, da $120^\circ+60^\circ=180^\circ$.

• Prüfe, ob in den geometrischen Figuren Komplementär- oder Supplementärwinkel existieren.

  Tipps

  Ein gestreckter Winkel mit $180^\circ$ entspricht einer Geraden. Daher sind jeweils zwei Winkel, die einer gemeinsamen Geraden anliegen, Supplementärwinkel.

  Lösung

  Erstes Bild

  In einem Parallelogramm sind die sich gegenüberliegenden Winkel (hier $\alpha$ und $\gamma$ bzw. $\beta$ und $\delta$) gleich groß und die sich gegenüberliegenden Seiten parallel, daher entsprechen die Winkel, die derselben Seite anliegen, einem gestreckten Winkel, sind also Supplementärwinkel.

  Wir erkennen hier einige Supplementärwinkel, zum Beispiel:

  • $\alpha$ und $\beta$ oder $\alpha$ und $\delta$
  • $\gamma$ und $\beta$ oder $\gamma$ und $\delta$
  • $\beta$ und $\gamma$ oder $\beta$ und $\alpha$

  Zweites Bild

  Ein gestreckter Winkel mit $180^\circ$ entspricht einer Geraden. Daher sind jeweils zwei Winkel, die einer gemeinsamen Geraden anliegen und somit einen gestreckten Winkel ergeben, Supplementärwinkel.

  Wir erkennen hier einige Supplementärwinkel, zum Beispiel:

  • $\alpha_1$ und $\alpha_2$
  • $\beta_3$ und $\beta_2$
  • $\gamma_2$ und $\gamma_1$