Volumen zusammengesetzter Körper
Erfahre, wie man das Volumen von zusammengesetzten und ausgehöhlten Körpern berechnet. Schrittweise Beispiele zeigen, wie man die Volumina von Teilkörpern addiert oder subtrahiert, um das Gesamtvolumen zu bestimmen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Volumen zusammengesetzter Körper
Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter Körper – Mathe
In diesem Text wird das Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter Körper einfach erklärt. Anhand von Beispielen schauen wir uns an, wie man diese Volumen schrittweise berechnen kann.
Wie berechnet man das Volumen eines zusammengesetzten Körpers?
Ein aus zwei oder mehreren Teilkörpern bestehender Körper wird als zusammengesetzter Körper bezeichnet.
- Die Summe der Volumen aller Teilkörper ergibt das Volumen des zusammengesetzten Körpers.
Schauen wir uns den folgenden zusammengesetzten Körper an:
Wir können ihn in zwei Teilkörper einteilen: ein Quader und ein dreiseitiges Prisma. Zunächst berechnen wir die Volumen der Teilkörper getrennt. Addieren wir sie anschließend, so erhalten wir das Volumen des zusammengesetzten Körpers. Die Formel für das Volumen $V$ dieses zusammengesetzten Körpers lautet:
$V = V_Q + V_P$
Wobei $V_Q$ das Volumen des Quaders und $V_P$ das Volumen des Prismas bezeichnet.
Quader:
Beginnen wir mit dem Quader. Er hat die Maße $20\,\pu{cm}$, $4\,\pu{cm}$ und $3\,\pu{cm}$. Die Formel für die Berechnung des Volumens $V_Q$ eines Quaders lautet:
$V_Q = \ell \cdot b \cdot h$
Hierbei stehen die Buchstaben $\ell$, $b$ und $h$ für die Länge, Breite und Höhe des Quaders. Setzen wir die Maße ein, so erhalten wir für das Volumen des Quaders:
$V_Q = \ell \cdot b \cdot h = 20\,\pu{cm} \cdot 4\,\pu{cm} \cdot 3\,\pu{cm} = 240\,\pu{cm^{3}}$
Der Quader hat ein Volumen von $240\,\pu{cm^{3}}$. Ein ausführliches Video über das Volumen von Quadern findest du hier: Volumen von Quadern.
Dreiseitiges Prisma:
Berechnen wir nun das Volumen des dreiseitigen Prismas. Dieses besitzt die Maße $3\,\pu{cm}$, $4\,\pu{cm}$ und $3\,\pu{cm}$. Die Formel für die Berechnung des Volumens $V_P$ eines Prismas mit dreiseitiger Grundfläche lautet:
$V_P = \biggl(\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \biggr) \cdot h$
Wählen wir für $g$ die Seite, die $3\,\pu{cm}$ lang ist, so beträgt die dazugehörige Höhe $h_g = 4\,\pu{cm}$. Die Höhe $h$ des Prismas beträgt $3\,\pu{cm}$. Setzen wir diese Werte in die Formel ein, so erhalten wir für das Volumen des Prismas:
$V_P = \biggl(\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \biggr) \cdot h = \biggl(\dfrac{1}{2} \cdot 3\,\pu{cm} \cdot 4\,\pu{cm} \biggr) \cdot 3\,\pu{cm} = 6\,\pu{cm^{2}} \cdot 3\,\pu{cm} = 18\,\pu{cm^{3}}$
Das Prisma hat ein Volumen von $18\,\pu{cm^{3}}$. Ein ausführliches Video über das Volumen von Prismen findest du ebenfalls hier auf der Seite.
Gesamtvolumen:
Setzen wir die beiden eben berechneten Volumina in die Formel für das Volumen des zusammengesetzten Körpers ein, so erhalten wir:
$V = 240\,\pu{cm^{3}} + 18\,\pu{cm^{3}} =258\,\pu{cm^{3}}$
Der zusammengesetzte Körper hat ein Volumen von $258\,\pu{cm^{3}}$.
Wie berechnet man das Volumen eines ausgehöhlten Körpers?
Bei einem ausgehöhlten Körper handelt es sich um einen Körper, aus dem ein oder mehrere Körper herausgeschnitten wurden.
- Um das Volumen eines ausgehöhlten Körpers zu berechnen, subtrahiert man das Volumen des herausgeschnittenen Körpers vom Volumen des Grundkörpers.
Schauen wir uns den folgenden ausgehöhlten Körper an:
Der Grundkörper besteht aus einem Quader. Der herausgeschnittene Teilkörper hat die Form eines dreiseitigen Prismas. Zunächst können wir getrennt voneinander die beiden Volumen berechnen. Anschließend subtrahieren wir das Volumen $V_P$ des Prismas von dem Volumen $V_Q$ des Quaders und erhalten das Volumen $V$ des ausgehöhlten Körpers.
$V = V_Q - V_P$
Grundkörper:
Beginnen wir mit dem Quader. Er hat die Maße $30\,\pu{cm}$, $15\,\pu{cm}$ und $10\,\pu{cm}$. Die Formel für die Berechnung des Volumens eines Quaders kennen wir bereits. Wir können wieder rechnen:
$V_Q = \ell \cdot b \cdot h = 30\,\pu{cm} \cdot 15\,\pu{cm} \cdot 10\,\pu{cm} = 4\,500\,\pu{cm^{3}}$
Der Quader hat ein Volumen von $4\,500\,\pu{cm^{3}}$.
Herausgeschnittener Teilkörper:
Berechnen wir nun das Volumen des dreiseitigen Prismas. Dieses besitzt die Maße $g = 5\,\pu{cm}$, $h_g = 4\,\pu{cm}$ und $h = 30\,\pu{cm}$. Da es sich bei diesem Prisma ebenfalls um eines mit einem Dreieck als Grundfläche handelt, berechnen wir das Volumen wieder mit der Formel:
$V_P = \biggl(\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \biggr) \cdot h = \biggl(\dfrac{1}{2} \cdot 5\,\pu{cm} \cdot 4\,\pu{cm} \biggr) \cdot 30\,\pu{cm} = 10\,\pu{cm^{2}} \cdot 30\,\pu{cm} = 300\,\pu{cm^{3}}$
Das Prisma hat ein Volumen von $300\,\pu{cm^{3}}$.
Ausgehöhlter Körper:
Setzen wir die beiden eben berechneten Volumina in die Formel für das Volumen des ausgehöhlten Körpers ein, so erhalten wir:
$V = 4\,500\,\pu{cm^{3}} - 300\,\pu{cm^{3}} =4\,200\,\pu{cm^{3}}$
Der ausgehöhlte Körper hat ein Volumen von $4\,200\,\pu{cm^{3}}$.
Zusammenfassung – Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter Körper
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zur Berechnung des Volumens zusammengesetzter und ausgehöhlter Körper zusammen.
Volumen zusammengesetzter Körper berechnen:
- Zusammengesetzten Körper in Teilkörper zerlegen
- Volumen der Teilkörper einzeln berechnen
- Die Volumen der Teilkörper addieren, um das Volumen des zusammengesetzten Körpers zu berechnen
Volumen ausgehöhlter Körper berechnen:
- Grundkörper und herausgeschnittenen Körper als Teilkörper bestimmen
- Volumen der Teilkörper einzeln berechnen
- Das Volumen des herausgeschnittenen Körpers vom Volumen des Grundkörpers subtrahieren, um das Volumen des ausgehöhlten Körpers zu berechnen
Möchtest du weitere Übungsaufgaben zur Berechnung des Volumens zusammengesetzter und ausgehöhlter Körper lösen? Hier auf der Seite findest du zusätzlich zum Video und dem Text noch Aufgaben und Übungen zum Thema Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlter Körper.
Transkript Volumen zusammengesetzter Körper
Der Werwolf ist wieder unterwegs und verängstigt die Dorfbewohner mit seinem Geheule. Diese beschützen sich mit Silber-Werkzeugen, die ihr Schmied Wolfgang herstellt und verkauft. Um mit der Nachfrage Schritt halten zu können, muss Wolfgang das Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnen können. Lasst uns herausfinden, wie viel Silber Wolfgang benötigt, um eines seiner Werkzeuge herzustellen. Es ist aus einem Quader und einem dreieckigen Prisma zusammengesetzt. Wir können also hier das Volumen des Werkzeugs finden, indem wir das Volumen des Quaders und das des dreieckigen Prismas zunächst getrennt voneinander ausrechnen und dann diese beiden Volumina zusammenrechnen. Bei unseren Rechnungen werden wir die Einheiten allerdings weglassen. Für das Gesamtvolumen sind sie natürlich trotzdem von Bedeutung. Lasst uns mit dem Quader beginnen. Die Maße sind 20cm, 4cm und 3cm. Das Volumen eines Prismas berechnet man, indem man den Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe multipliziert. Dabei kann die Grundfläche immer eine Fläche sein, bei der die gegenüberliegende Seite kongruent, also deckungsgleich ist. Hier also ein Rechteck der Flächeninhalt ist Länge mal Breite. Das ist also 20 mal 4 und dann mal die Höhe 3. Das Volumen des Quaders beträgt also 240 Kubikzentimeter. Lass uns das in die Gleichung für unser Gesamtvolumen einsetzen. Machen wir mit dem dreieckigen Prisma weiter. Die Maße hier sind 3 Zentimeter, 4 Zentimeter und 3 Zentimeter. Hier ist das Volumen Ebenfalls der Flächeninhalt der Grundfläche mal die Höhe des Prismas, auch wenn die Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen wir mit einhalb mal eine der Seiten, mal die dazugehörige Höhe. Nehmen wir hier diese 3 Zentimeter lange Seite, dann ist die Höhe, die immer genau senkrecht auf der zugehörigen Seite liegt, genau diese Seite. Der Flächeninhalt der Grundfläche hier ist also einhalb mal 3 mal 4, also 6 Quadratzentimeter. Das Volumen des dreieckigen Prismas ist also dieser Flächeninhalt mal 3. Wir rechnen 6 mal 3. Das Volumen ist also 18 Kubikzentimeter. Lass uns dies wieder in die Gleichung für das Gesamtvolumen einsetzen. Zusammen ist das Volumen dieses Streitkolbens also 240 plus 18, 258 Kubikzentimeter. Ganz schön viel Silber! Wolfgang fertigt dies mit akribischer Sorgfalt zum Verkauf an einen weiteren beängstigten Dorfbewohner an. Um seine neueste Antiwerwolf-Vorrichtung zu erstellen, muss Wolfgang zunächst eine neue Form aus Eisen herstellen. Dies ist der Entwurf für diese Form. Um zu wissen, wie viel Eisen er dazu benötigt, muss Wolfgang das Volumen der Form berechnen. Dazu müssen wir zunächst das Volumen des Quaders und des dreieckigen Prismas einzeln herausfinden, um dann das Volumen des dreieckigen Prismas von dem des Quaders zu subtrahieren. Lass uns mit dem Quader beginnen. Die Maße dieses Prismas sind 30 Zentimeter 15 Zentimeter und 10 Zentimeter. Wir können wieder die Länge mal die Breite mal die Höhe rechnen. Da alle gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, können wir beliebig wählen, welche Seite wir als Grundfläche betrachten. Rechnen wir also 30 mal 15 mal 10. Das sind 4500 Kubikzentimeter. Setzen wir das schon einmal in die Gleichung für das Gesamtvolumen ein. Nun das dreieckige Prisma. Wie wir schon wissen, berechnen wir dieses Volumen mit dem Flächeninhalt des Dreiecks und der Höhe. Diese Seite hier hat eine Länge von 5cm. Die Höhe beträgt 4 Zentimeter. Die Formel, um den Flächeninhalt des Dreiecks auszurechnen ist: einhalb mal diese Seite mal deren Höhe also beträgt der Flächeninhalt dieses Dreiecks einhalb mal 5 mal 4. Das sind 10. Die Höhe des Prismas ist 30, also ist das Volumen der Flächeninhalt des Dreiecks mal 30. Das sind 10 mal 30, und wir erhalten als Volumen 300 Kubikzentimeter. Das Volumen der gesamten Eisenform können wir nun durch die Subtraktion des Volumens des dreieckigen Prismas von dem Volumen des rechteckigen Prismas berechnen. Dies ist 4500 minus 300, also insgesamt 4200 Kubikzentimeter. Mit dieser neuen Form kann Wolfgang seinen neuen Bestseller erstellen. Während Wolfgang daran arbeitet, lasst uns einmal zusammenfassen. Zunächst haben wir beobachtet, dass einige Objekte in kleinere zerlegt werden können, bei denen die Berechnung der Volumina einfacher ist. Das erste Werkzeug war aus einem Quader und einem dreieckigen Prisma zusammengesetzt. Wir haben diese Volumina einzeln ausgerechnet und dann addiert. Das Volumen der zweiten Form auszurechnen, war etwas anders. In diesem Fall haben wir die einzelnen Volumina wieder individuell berechnet und dann subtrahiert, um das Gesamtvolumen herauszufinden. Der Trick hierbei ist also zuerst die einzelnen Körper zu erkennen, aus denen der zusammengesetzte Körper besteht. Dann können deren einzelnen Volumina berechnet werden. Als letzten Schritt muss man diese dann entweder zusammenzurechnen oder voneinander abziehen. Wolfgang hat all seine Anti-Werwolf-Ausrüstung verkauft, aber in dieser Nacht kehrt der Werwolf zurück! Sein Geheule verbreitet Angst und Schrecken unter den Dorfbewohnern. Wolfgang wird wohl noch mehr seiner Werkzeuge verkaufen müssen! Was!? Interessantes Businessmodell, Wolfgang.
Volumen zusammengesetzter Körper Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu dem Volumen von zusammengesetzten Körpern.
TippsEine Grundfläche eines Körpers kann eine beliebige Fläche sein, deren gegenüberliegende Fläche deckungsgleich ist.
Hast du es mit einem ausgehöhlten Körper zu tun, beträgt das Gesamtvolumen am Ende weniger als das des äußeren Körpers.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du zwei beliebige Seitenlängen multiplizierst.“
- Den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmst du, indem du die Hälfte einer beliebigen Grundseite mit der zugehörigen Höhe (das ist die Länge, die senkrecht auf dieser Seite steht und in die gegenüberliegende Ecke des Dreiecks führt) multiplizierst. $A=\frac{1}{2} g \cdot h$
- Hast du es mit einem ausgehöhlten Körper zu tun, solltest du den inneren Körper vom äußeren abziehen.
„Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen, solltest du zuerst die Teilkörper identifizieren.“
„Das Volumen zusammengesetzter Körper kannst du bestimmen, indem du die Volumen der Teilkörper bestimmst und addierst.“
- So solltest du vorgehen, um das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen.
- Eine Grundfläche kann eine beliebige Fläche sein, deren gegenüberliegende Fläche deckungsgleich ist.
-
Berechne die Volumen der zusammengesetzten Körper.
TippsUm das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen, ist es hilfreich, zuerst die Teilkörper zu identifizieren.
Bei jedem Körper, bei dem die gegenüberliegende Fläche zur Grundseite kongruent ist, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Das betrachtete Objekt besteht aus einem Quader und einem dreieckigen Prisma. Zunächst berechnet er die Volumen der beiden Teilkörper.“
- Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu bestimmen, ist es hilfreich, zuerst die Teilkörper zu identifizieren.
$A=\mathbf{4 \cdot 20}= 80$
Für das Volumen ergibt sich dann:
$V_Q=\mathbf{80 \cdot 3}=240$
Auch für das Prisma multipliziert er die Grundfläche mit der Höhe des Körpers, um das Volumen zu erhalten. Für die Grundfläche, die einem rechtwinkligen Dreieck entspricht, erhält er folgenden Flächeninhalt:
$A=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3= \mathbf{6}$
Multipliziert er das mit der Höhe, erhält er:
$V_P=\mathbf{6 \cdot 3}=18$“
- Bei jedem Körper, bei dem die gegenüberliegende Fläche zur Grundfläche kongruent ist, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.
$V=\mathbf{V_Q+V_P}=258$“
- Nachdem du die Teilvolumen des zusammengesetzten Körpers bestimmt hast, kannst du die Volumen addieren, um das Gesamtvolumen zu erhalten.
-
Ermittle, aus welchen Teilkörpern die zusammengesetzten Körper bestehen.
TippsÜberlege dir, aus welchen Teilkörpern die Körper bestehen.
Die Volumen der Teilkörper müssen entweder addiert ($+$), oder subtrahiert ($-$) werden, um das Gesamtvolumen zu erhalten.
LösungÜberlege dir, aus welchen Teilkörpern die Körper bestehen. Dann erhältst du:
- Der ausgehöhlte Quader besteht aus einem Quader und einem längs durchgeschnittenen Zylinder.
- Der Turm mit Dach besteht aus einem Zylinder und einem Kegel.
- Die letzte Figur besteht aus einem flachen Quader und einem Würfel.
-
Ermittle das Volumen der zusammengesetzten Körper.
TippsFür die erste Figur musst du das Volumen eines Quaders berechnen. Das kannst du tun, indem du alle Seitenlängen miteinander multiplizierst. Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind.
$V=a \cdot b \cdot c$
Bei der zweiten Figur musst du das Volumen des Zylinders bestimmen. Dazu multiplizierst du die Fläche des Kreises mit der Höhe des Zylinders:
$V_Z= \pi r^2 \cdot h$
Hierbei ist $r$ der Radius des Kreises, also die Hälfte des Durchmessers.
Beachte allerdings, dass in der zweiten Figur nur die Hälfte eines Zylinders vorkommt.
LösungFür die erste Figur musst du das Volumen eines Quaders berechnen. Das kannst du tun, indem du alle Seitenlängen miteinander multiplizierst. Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind.
$V_Q=a \cdot b \cdot c$
Das Volumen des Würfels beträgt:
- $V_W=a \cdot a \cdot a =2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm} \cdot 2~\text{cm}= 8~\text{cm}^3$
- $V_Q=a \cdot b \cdot c = 2~\text{cm} \cdot 1~\text{cm} \cdot 6~\text{cm}= 12~\text{cm}^3$
- $V_G=V_Q+V_W=12~\text{cm}^3+ 8~\text{cm}^3 = 20~\text{cm}^3$
$V_Z= \pi r^2 \cdot h$
So erhältst du für den Zylinder:
- $V_Z= \pi (2~\text{cm})^2 \cdot 8~\text{cm} \approx 100,5~\text{cm}^3$
- $V_{\frac{Z}{2}}=\frac{V_Z}{2}=50,3~\text{cm}^3$
- $V_Q=8~\text{cm} \cdot 8~\text{cm} \cdot 4~\text{cm}= 256~\text{cm}^3$
- $V_G=V_Q-V_{\frac{Z}{2}}=256~\text{cm}^3- 50,3~\text{cm}^3 = 205,7~\text{cm}^3$
-
Beschreibe das Vorgehen beim Berechnen des Volumens von zusammengesetzten Körpern.
TippsBeim Berechnen der Volumen zusammengesetzter Körper musst du zuerst erkennen, aus welchen Teilkörpern der zusammengesetzte Körper besteht.
Beim Berechnen des Gesamtvolumens musst du entscheiden, ob du die Teilvolumen addieren oder subtrahieren musst.
Lösung- Beim Berechnen der Volumen zusammengesetzter Körper musst du zuerst erkennen, aus welchen Teilkörpern der zusammengesetzte Körper besteht.
- Anschließend berechnest du das Volumen dieser Teilkörper und fügst sie zu dem Gesamtvolumen zusammen. Dabei musst du entscheiden, ob du die Volumen addieren oder subtrahieren musst. Dies hängt davon ab, ob du einen ausgehöhlten Körper (rechts im Bild) oder einen aus Teilkörpern zusammengebauten Körper vorliegen hast.
-
Ermittle das Volumen des komplexen zusammengesetzten Körpers.
TippsDas Volumen eines Zylinders berechnest du durch Multiplikation der Grundfläche mit der Höhe des Zylinders. Also:
$V_Z= \pi r^2 \cdot h$
Das Gesamtvolumen besteht aus den Zylindern mit dem Volumen $V_1$ und $V_2$, während die Zylinder $V_3$ und $V_4$ abgezogen werden müssen. So erhältst du:
$V_{Ges}=V_1+V_2-V_3-V_4 $
LösungDas Volumen eines Zylinders berechnest du durch Multiplikation der Grundseite mit der Höhe des Zylinders. Also:
$V_Z= \pi r^2 \cdot h$
Für die einzelnen Zylinder erhalten wir:
$V_1= \pi \cdot (17~\text{m})^2 \cdot 8~\text{m}= 7263,4 ~\text{m}^3$
$V_2= \pi \cdot (8~\text{m})^2 \cdot 12~\text{m}= 2412,7 ~\text{m}^3$
$V_3= \pi \cdot (16~\text{m})^2 \cdot 8~\text{m}= 6433 ~\text{m}^3$
$V_4= \pi \cdot (16~\text{m})^2 \cdot 8~\text{m}= 1847,3 ~\text{m}^3$
Das Gesamtvolumen besteht aus den Zylindern mit dem Volumen $V_1$ und $V_2$, während die Zylinder $V_3$ und $V_4$ abgezogen werden müssen. So erhältst du:
$\begin{array}{ll} V_{Ges}&=V_1+V_2-V_3-V_4 \\ &= 7263,4 ~\text{m}^3+ 2412,7~\text{m}^3-6433 ~\text{m}^3-1847,3 ~\text{m}^3\\ &=1395,8~\text{m}^3 \end{array}$
Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen
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sehr gut erklärt. (:
Gut erklärt.
Aber Wolfgang ist sowas von fies!(Er sieht eh gruselig aus)
Das Video ist gut aber die Geschichte nicht. 🎬👍🏻 📖👎🏻 🐺😈👎🏻
sehr ausführlich und gut erklärt!
ich vershehe das thema jetzt besser . lg an die macher des videos
sehr sehr toll am anfang ist der schmidt und der wehrwolf drauf das ist ein bischen unlogisch aber es hat so fest geholfen danke
tolle sprecherin mag ich ☺️