Oberflächen von Körpern mit Körpernetzen bestimmen

Oberflächen von Körpern mit Körpernetzen bestimmen Übung

• Beschreibe, wie man die Oberfläche eines Quaders bestimmt.

  Tipps

  Das Körpernetz erhältst du, wenn du dir einen Körper aus Papier gebaut vorstellst und ihn auseinanderfaltest.

  Die Anzahl der Flächen des Körpernetzes entspricht der Anzahl der Seitenflächen des Körpers.

  Das Körpernetz des Tetraeders besteht aus $4$ gleichseitigen Dreiecken.

  Lösung

  Um die Oberfläche eines Körpers zu berechnen, musst du die Flächeninhalte aller seiner Seitenflächen addieren. Dazu kannst du ein Körpernetz des Körpers verwenden. Ein Quader z. B. hat $6$ Seitenflächen. Jede Seitenfläche des Quaders ist ein Rechteck. Jedes Körpernetz eines Quaders besteht daher aus $6$ Rechtecken. Du erhältst ein solches Körpernetz, indem du dir den Körper längs einer oder mehrerer Kanten aufgeschnitten und auseinandergefaltet denkst. Auf dem Bild siehst du ein Beispiel eines Körpernetzes.

  Ein Körpernetz besteht aus allen Seitenflächen des Körpers. Diese Seitenflächen sind längs der Kanten miteinander verbunden. Verschiedene Körpernetze zu demselben Körper erhältst du, wenn du sie an verschiedenen Kanten aufschneidest.

  Die Oberfläche des Quaders ist die Summe der Flächeninhalte seiner Seitenflächen, also die Summe der Seitenflächen der $6$ Rechtecke seines Körpernetzes. Bei einem Quader mit der Länge $4~\text m$, der Breite $9~\text m$ und der Höhe $3~\text m$ haben je zwei Seitenflächen die Flächeninhalte:

  • $4~\text m \cdot 9~\text m = 36~\text m^2$
  • $9~\text m \cdot 3~\text m = 27~\text m^2$
  • $4~\text m \cdot 3~\text m = 12~\text m^2$

  Die Oberfläche des Quader beträgt also:

  $O = 2 \cdot (4~\text m \cdot 9~\text m + 9~\text m \cdot 3~\text m + 4~\text m \cdot 3~\text m) = 2 \cdot (36~\text m^2+ 27~\text m^2 + 12~\text m^2) = 150~\text m^2$

• Bestimme den Oberflächeninhalt der Pyramide.

  Tipps

  Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit der Formel

  $A_\Delta = \frac{\text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}}{2}$

  berechnen.

  Die Oberfläche eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte seiner Seitenflächen.

  Bei dem Körpernetz im Bild sind die vier Dreiecke kongruent.

  Lösung

  Die Oberfläche eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte eines Körpernetzes. Du erhältst ein Körpernetz, indem du den Körper auseinanderfaltest. An dem Körpernetz kannst du dann direkt ablesen, welche Flächeninhalte du berechnen musst.

  Das Körpernetz im Bild besteht aus einem Quadrat und vier kongruenten Dreiecken. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist:

  $A_\Delta = \frac{g \cdot h}{2}$

  Hierbei ist $g$ eine Seite des Dreiecks und $h$ die zugehörige Höhe. Bei den Dreiecken im Bild ist $g= 3~\text m$ und $h=4,5~\text m$. Daher ist der Flächeninhalt jedes der Dreiecke:

  $A_\Delta = \frac{3~\text m \cdot 4,5~\text m}{2} = \frac{13,5~\text m^2}{2} = 6,75~\text m^2$

  Der Flächeninhalt eines Quadrats ist das Quadrat seiner Seitenlänge $a$:

  $A_\Box = a^2$

  Hier ist $a=3~\text m$, also:

  $A_\Box = (3~\text m)^2 = 9~\text m^2$.

  Die Oberfläche der quadratischen Pyramide, die du aus dem Körpernetz erhältst, ist demnach:

  $O = A_\Box + 4 \cdot A_\Delta = 9~\text m^2 + 4 \cdot 6,75~\text m^2 = 9~\text m^2 + 27~\text m^2 = 36~\text m^2$

• Bestimme die Oberfläche.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhalts des zugehörigen Rechtecks.

  Die Anzahl der Kanten des Körpernetzes ist die Anzahl der Kanten des Körpers + die Anzahl der Schnitte, die du setzen musst, um den Körper zu dem Körpernetz auseinanderfalten zu können.

  Die Oberfläche des oben betrachteten Körpers ist die Summe aus den Flächeninhalten dreier Rechtecke und zweier kongruenter Dreiecke.

  Lösung

  Der Körper im Bild oben ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Der Körper hat $9$ Kanten: je drei an der oberen und unteren horizontalen Fläche und drei vertikale Kanten. Die Oberfläche des Körpers besteht aus $5$ Teilflächen, nämlich den beiden horizontalen Dreiecken und drei vertikalen Rechtecken. Das abgebildete Körpernetz erhältst du, indem du den Körper längs jeweils zwei horizontaler Kanten oben und unten sowie einer vertikalen Kante aufschneidest. Dazu brauchst du also $5$ Schnitte. Durch jeden Schnitt werden aus einer Kante des Körpers zwei Kanten seines Körpernetzes. Das Körpernetz hat also $9+5=14$ Kanten.

  Die Oberfläche des Prismas ist die Summe der Flächeninhalte der Teilflächen des Körpernetzes.

  Die Flächeninhalte der Rechtecke betragen:

  • $3 \cdot 7 = 21$
  • $4 \cdot 7 = 28$
  • $5 \cdot 7 = 35$

  Die Summe dieser Flächeninhalte ist demnach:

  $(3+4+5) \cdot 7 = 84$

  Zu der Oberfläche des Prismas fehlen nun noch Flächeninhalte der beiden Dreiecke. Die beiden Dreiecke haben dieselben Seitenlängen und sind daher kongruent, haben also insbesondere denselben Flächeninhalt. Nach dem Satz des Pythagoras sind die Dreiecke auch rechtwinklig, denn:

  $3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2$

  Weil die Dreiecke rechtwinklig sind, kannst du die beiden dem rechten Winkel anliegenden Seiten als Grundseite und Höhe verwenden. Der Flächeninhalt jedes der beiden Dreiecke ist also:

  $A_\Delta = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 4)=6$

  Die Oberfläche des Prismas ist nun die Summe der Flächeninhalte des Körpernetzes:

  $O = 84 + 2 \cdot 6= 96$

• Erschließe die Körper und ihre Oberflächen.

  Tipps

  Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist das $\frac{\sqrt{3}}{2}$-fache der Seitenlänge.

  Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der beiden kürzeren Seitenlängen.

  Lösung

  Du kannst den Körpernetzen den jeweils passenden Körper zuordnen, indem du die Seitenflächen der Körper mit den Teilflächen der Körpernetze vergleichst. Die Anzahl der Teilflächen ist nicht bei allen Körpernetzen anders, daher ist die Zuordnung nicht allein aufgrund der Anzahlen möglich: Denn eines der Körpernetze besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken, ein anderes aus einem Quadrat und vier Dreiecken. Hier musst du also zusätzlich zu der Anzahl auch die Form der Teilflächen berücksichtigen.

  Um die Oberflächen zu bestimmen, sind jeweils die Flächeninhalte von Dreiecken, Rechtecken und Quadraten zu berechnen. So erhältst du folgende Zuordnung:

  Beispiel 1:

  • Das Körpernetz besteht aus $4$ gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge $2$.
  • Der zugehörige Körper ist ein Tetraeder.
  • Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $2$ ist nach dem Satz des Pythagoras: $\sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$.
  • Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks beträgt also $\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$.
  • Die Oberfläche ist demnach $O=4\sqrt{3}$.

  $\,$

  Beispiel 2:

  • Das Körpernetz besteht aus $2$ kongruenten, rechtwinkligen Dreiecken und drei Rechtecken.
  • Der zugehörige Körper ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche.
  • Der Flächeninhalt eines der Dreiecke beträgt $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$.
  • Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke beträgt: $(3+4+5) \cdot 2 = 24$.
  • Die Oberfläche ist daher $O=24+2 \cdot 6 = 36$.

  $\,$

  Beispiel 3:

  • Das Körpernetz ist aus einem Quadrat und vier kongruenten, gleichschenkligen Dreiecken zusammengesetzt.
  • Der zugehörige Körper ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
  • Nach dem Satz des Pythagoras ist die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks mit Schenkeln der Länge $3$ und der Grundseite der Länge $2$ gegeben durch $\sqrt{3^2-1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
  • Der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt demnach $\frac{2\sqrt{2} \cdot 2}{2} = 2\sqrt{2}$.
  • Der Flächeninhalt des Quadrats mit Seitenlänge $2$ ist $2^2 = 4$.
  • Die Oberfläche ist also $O=4+4 \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot (1+2\sqrt{2})$.

  $\,$

  Beispiel 4:

  • Das Körpernetz besteht aus $8$ kongruenten, gleichseitigen Dreiecken.
  • Der zugehörige Körper ist ein Oktaeder.
  • Der Flächeninhalt jedes Dreiecks ist wie beim Tetraeder $\sqrt{3}$.
  • Die Oberfläche ist also $O=8\sqrt{3}$.

• Gib die Flächeninhalte an.

  Tipps

  Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du die zur gewählten Grundseite senkrechte Seite als Höhe verwenden.

  Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhalts des zugehörigen Rechtecks.

  In der Formel

  $A_\Delta = \frac{g \cdot h}{2}$

  steht die Höhe $h$ senkrecht auf der Seite $g$.

  Lösung

  Du kannst den Flächeninhalt fast jeder ebenen Figur berechnen, indem du sie in Dreiecke zerlegst. Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist:

  $A_\Delta = \frac{g \cdot h}{2}$

  Hierbei ist $g$ eine Seite des Dreiecks und $h$ die zu dieser Seite gehörige Höhe, d. h. eine Strecke, die senkrecht auf der Seite $g$ steht und von der Seite bis zum gegenüberliegenden Eckpunkt führt.

  Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du eine der beiden dem rechten Winkel anliegenden Seiten als Grundseite $g$ und die andere als Höhe $h$ verwenden. Bezeichnest du diese beiden Seiten mit $a$ und $b$, so ist der Flächeninhalt $A= \frac{a \cdot b}{2}$ genau die Hälfte des Flächeninhalts $a \cdot b$ desjenigen Rechtecks, das du aus den Seiten $a$ und $b$ erhältst. Denn das rechtwinklige Dreieck ist die Hälfte dieses Rechtecks.

  Der Flächeninhalt eines Quadrats ist genau das Quadrat seiner Seitenlänge $a$, also $A_\Box = a^2$.

  Im Bild siehst du einige der Flächen mit den passenden Formeln.

• Erschließe die Aussagen.

  Tipps

  Überlege, wie sich die Anzahl der Kanten ändert, wenn du einen Körper zu einem Körpernetz auseinanderfaltest.

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Zu jedem Körper mit ebenen Begrenzungsflächen ... gibt es verschiedene Körpernetze.“ Diese verschiedenen Körpernetze ergeben sich durch die Wahlfreiheit der Kanten, längs derer du den Körper aufschneidest, um das Körpernetz zu erhalten.

  • „Nicht zu jeder ebenen Figur aus Flächen ... gibt es einen passenden Körper, der diese Figur als Körpernetz hat.“ Dazu genügt es, sich drei Quadrate in einer Reihe vorzustellen. Faltet man diese zusammen, erhält man eine Art dreiseitiges Prisma, das aber weder über eine Grund- noch über eine Deckfläche verfügt.

  • „Die Oberfläche eines Körpers ... ist die Summe der Flächeninhalte der Flächen seines Körpernetzes.“ Dies ist die Definition der Oberfläche.

  • „Die Anzahl der Seitenflächen eines Körpers ... ist kleiner als die Anzahl der Kanten seines Körpernetzes.“ Denn jede Fläche des Körpernetzes ist durch mindestens drei Kanten begrenzt und jede Kante gehört zu höchstens zwei Flächen.

  • „Die Anzahl der Kanten eines Körpernetzes ... ist größer als die Anzahl der Kanten des zugehörigen Körpers.“ Die Differenz der Anzahl der Kanten des Körpernetzes und der Anzahl der Kanten des Körpers ist die Anzahl der Schnitte, die du machen musst, um das Körpernetz zu erhalten. Schneidest du längs einer Kante auf, so werden aus einer Kante des Körpers zwei Kanten im Körpernetz.