Volumen von Prismen berechnen

Volumen von Prismen berechnen Übung

• Gib die Eigenschaften von Prismen an.

  Tipps

  Die Grundfläche eines Prismas ist diejenige Fläche, auf der das Prisma steht.

  Eine Volumeneinheit ist immer zur dritten Potenz erhoben, z. B. Kubikzentimeter ($\text{cm}^3$).

  Lösung

  Ein Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht.

  • Die Grundfläche eines Prismas kann also ein Dreieck, Viereck, Fünfeck ... $n$-Eck sein. Ist die Grundfläche ein Kreis, so handelt es sich nicht um ein Prisma, sondern um einen Zylinder.

  Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang. Demnach sind Grund- und Deckfläche von Prismen identisch.

  • Wenn alle Kanten der Mantelfläche parallel und gleich lang sind, so ergeben sich automatisch identische Grund- und Deckflächen. Das heißt, dass du ein Prisma, das auf seiner Deckfläche steht, nicht von einem Prisma, das auf seiner Grundfläche steht, unterscheiden kannst.

  Das Volumen eines Prismas entspricht dem Produkt aus dessen Grundfläche und Höhe.

  • Diese Definition für das Volumen trifft auch auf den geometrischen Körper „Zylinder“ zu.

• Bestimme die Volumina der jeweiligen Prismen.

  Tipps

  Für die Berechnung des Volumens musst du die Fläche, auf dem das Prisma steht, und die Höhe des Prismas miteinander multiplizieren.

  Die Fläche eines Rechtecks berechnest du, indem du dessen Länge und Breite miteinander multiplizierst.

  Achte auf die Einheiten und entscheide, welche Zahlen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen beschreiben.

  Lösung

  Aquarium 1

  Wir betrachten zunächst ein prismenförmiges Aquarium mit rechteckiger Grundfläche, das eine Länge von $~l=12\ \text{dm}$, eine Breite von $~b=6\ \text{dm}$ und eine Höhe von $~h=8\ \text{dm}$ besitzt. Mit diesen Maßen können wir das Volumen des Aquariums ermitteln, indem wir die Grundfläche des Prismas mit seiner Höhe multiplizieren.

  Das Aquarium hat eine rechteckige Grundfläche mit den Maßen $~l=12\ \text{dm}$ und $~b=6\ \text{dm}$. Die Fläche eines Rechtecks erhalten wir, indem wir seine Länge und Breite miteinander multiplizieren. Somit hat dieses Aquarium folgende Grundfläche:

  • $A_G=l\cdot b=12\ \text{dm}\cdot 6\ \text{dm}=72\ \text{dm}^2$.

  Nun können wir das Volumen bestimmen, indem wir diese Fläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren. So erhalten wir das folgende Volumen:

  • $V=A_G\cdot h=72\ \text{dm}^2\cdot 8\ \text{dm}=576\ \text{dm}^3$.

  Aquarium 2

  Wir betrachten hier ein prismenförmiges Aquarium mit dreieckiger Grundfläche, das eine Grundfläche von $A_G=30\ \text{dm}^2$ und eine Höhe von $h=10\ \text{dm}$ besitzt. Mit diesen Angaben können wir das Volumen des Aquariums ermitteln, indem wir die Grundfläche des Prismas mit seiner Höhe multiplizieren.

  So erhalten wir das folgende Volumen:

  • $V=A_G\cdot h=30\ \text{dm}^2\cdot 10\ \text{dm}=300\ \text{dm}^3$.

• Ermittle die Formel für die Berechnung des Volumens des jeweiligen Prismas.

  Tipps

  Ein regelmäßiges Sechseck setzt sich aus sechs gleichschenkligen Dreiecken zusammen. Die Fläche eines hier abgebildeten gleichschenkligen Dreiecks erhältst du mit der Formel:

  • $A=\dfrac{g\cdot h_g}{2}$.

  Das hier abgebildete Rechteck hat den Flächeninhalt $a\cdot b$. Schneidest du dieses Rechteck entlang der Diagonalen, so entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte der Fläche des Rechtecks.

  Die Fläche eines beliebigen Dreiecks erhältst du, indem du eine Seite des Dreiecks und die darauf stehende Höhe miteinander multiplizierst und das Produkt halbierst.

  Lösung

  Wir suchen hier Formeln, mit denen die Volumina der gegebenen Prismen berechnet werden können. Das Volumen eines Prismas erhalten wir, indem wir dessen Grundfläche mit der Höhe multiplizieren. Die hier betrachteten Prismen haben alle die Höhe $h$. Ihre Grundflächen sind jedoch verschieden. Also müssen wir jeweils eine Formel für die Berechnung der Grundflächen herleiten. Dabei gehen wir wie folgt vor:

  Beispiel 1: Prisma mit beliebigem Dreieck als Grundfläche

  Die Fläche eines beliebigen Dreiecks erhältst du, indem du eine Dreiecksseite und die auf dieser Seite stehende Höhe multiplizierst und das Produkt halbierst. Für ein Dreieck $ABC_\Delta$ erhältst du also folgende Beziehungen für dessen Flächeninhalt:

  • $A=\dfrac{a\cdot h_a}{2}$
  • $A=\dfrac{b\cdot h_b}{2}$
  • $A=\dfrac{c\cdot h_c}{2}$

  Da in unserem Beispiel $a$ und $h_a$ gegeben sind, verwenden wir die erste Beziehung. Damit erhalten wir für das Prismavolumen folgenden Ausdruck:

  • $V=\dfrac{a\cdot h_a}{2}\cdot h$.

  Beispiel 2: Prisma mit rechtwinkligem Dreieck als Grundfläche

  Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks erhältst du, indem du die Katheten multiplizierst und das Produkt halbierst. Für ein Dreieck $ABC_\Delta$ mit $a$ und $b$ als Katheten erhältst du also folgende Beziehung:

  • $A=\dfrac{a\cdot b}{2}$.

  Damit erhalten wir für das Volumen des Prismas folgenden Ausdruck:

  • $V=\dfrac{a\cdot b}{2}\cdot h$.

  Beispiel 3: Prisma mit Rechteck als Grundfläche

  Die Fläche eines Rechtecks erhältst du, indem du die Länge und Breite miteinander multiplizierst. Ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ hat also folgenden Flächeninhalt:

  • $A=a\cdot b$.

  Also berechnen wir das Prismavolumen wie folgt:

  • $V=\dfrac{a\cdot h_a}{2}\cdot h$.

  Beispiel 4: Prisma mit regelmäßigem Sechseck als Grundfläche

  Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks setzt sich aus sechs gleichschenkligen Dreiecken zusammen. In unserem Beispiel kennen wir die Basis und die darauf stehende Höhe eines solchen gleichschenkligen Dreiecks. Damit erhalten wir folgende Fläche für das regelmäßige Sechseck:

  • $A=6\cdot \dfrac{a\cdot h_a}{2}=3\cdot a\cdot h_a$.

  Das Prisma hat also das folgende Volumen:

  • $A=3\cdot a\cdot h_a\cdot h$.

• Bestimme die Volumina der Prismen.

  Tipps

  Das Volumen eines Prismas erhältst du, indem du dessen Grundfläche mit seiner Höhe multiplizierst.

  Dem hier abgebildeten Schema kannst du entnehmen, wie du die Längen Millimeter ($\text{mm}$), Zentimeter ($\text{cm}$) und Dezimeter ($\text{dm}$) ineinander umrechnest.

  Lösung

  Wir berechnen das Volumen eines Prismas, indem wir dessen Grundfläche mit seiner Höhe multiplizieren. Die hier betrachteten Prismen haben alle eine rechteckige Grundfläche. Die Fläche eines Rechtecks entspricht dem Produkt aus dessen Länge $l$ und Breite $b$. Wir müssen hier jedoch zunächst also Längen in dieselbe Einheit umrechnen. Im Folgenden rechnen wir alle Längen in Zentimeter ($\text{cm}$) um. Somit erhalten wir folgende Volumina:

  • $V=l\cdot b\cdot h=2\ \text{cm} \cdot 0,3\ \text{dm} \cdot 100\ \text{mm}=2\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm}=60\ \text{cm}^3$
  • $V=l\cdot b\cdot h=2\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} \cdot 0,5\ \text{dm}=2\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm}=50\ \text{cm}^3$
  • $V=l\cdot b\cdot h=2\ \text{dm} \cdot 0,2\ \text{dm} \cdot 0,1\ \text{dm}=20\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} \cdot 1\ \text{cm}=40\ \text{cm}^3$
  • $V=l\cdot b\cdot h=15\ \text{mm} \cdot 200\ \text{mm} \cdot 10\ \text{cm}=1,5\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} \cdot 1\ \text{cm}=30\ \text{cm}^3$

• Gib an, bei welchen geometrischen Körpern es sich um ein Prisma handelt.

  Tipps

  Ein Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang.

  Aus der obigen Definition für ein Prisma ergibt sich, dass Grund- und Deckfläche von Prismen identisch sind.

  Lösung

  Ein Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang. Daraus ergibt sich, dass Grund- und Deckfläche von Prismen identisch sind.

  Mit dieser Definition können wir nun entscheiden, welche der abgebildeten geometrischen Körper ein Prisma darstellen. Wir beginnen mit den geometrischen Körpern in der ersten Reihe und gehen von links aus:

  Erste Reihe

  • Bild $1$ stellt ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche dar.
  • Bild $2$ stellt ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche dar. Einen solchen geometrischen Körper nennt man auch Quader. Ein Quader ist also ein Spezialfall eines Prismas.
  • Bild $3$ stellt einen allgemeinen Zylinder dar. Dieser Zylinder besitzt einen Kreis als Grundfläche. Ein Kreis ist kein Vieleck und daher ist dieser Zylinder auch kein Prisma.
  • Bild $4$ stellt ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche dar.

  Zweite Reihe

  • Bild $1$ stellt ein Prisma mit quadratischer Grundfläche dar. Einen solchen geometrischen Körper nennt man auch Würfel. Ein Würfel ist also ein Spezialfall eines Prismas.
  • Bild $2$ stellt eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche dar. Bei einer Pyramide laufen alle Seitenkanten aufeinander zu und treffen sich an der Pyramidenspitze. Da bei einem Prisma allerdings alle Seitenkanten parallel zueinander und gleich lang sind, stellen wir fest, dass eine Pyramide kein Prisma ist.
  • Bild $3$ stellt einen Kegel dar. Hier haben wir weder eine vieleckige Grundfläche noch Seitenkanten, die parallel zueinander und gleich lang sind. Also ist auch ein Kegel kein Prisma.
  • Bild $4$ stellt ein Prisma mit sechseckiger Grundfläche dar.

• Ermittle die fehlende Seite des Prismas.

  Tipps

  Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem Länge und Breite gleich lang sind.

  Die Fläche eines Rechtecks erhältst du, indem du Länge $a$ und Breite $b$ multiplizierst. Wenn Länge und Breite gleich sind, also $b=a$ gilt, folgt:

  $A=a\cdot b=a\cdot a=a^2$.

  Die Umkehroperation des Potenzierens ist das Wurzelziehen.

  Es gilt also für $a^2=b$:

  $\sqrt{a^2}=a$.

  Somit folgt: $a=\sqrt{b}$.

  Lösung

  Die Grundfläche eines quadratischen Prismas entspricht einem Quadrat. Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem Länge und Breite gleich lang sind. Wir haben also ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten $a$. Dessen Fläche berechnen wir wie folgt:

  • $A=a^2$.

  Das ist die Grundfläche des betrachteten Prismas. Multiplizieren wir diese mit der Höhe $h$, erhalten wir das Volumen des Prismas:

  • $V=a^2\cdot h$.

  Da die Höhe $h$ und das Volumen $V$ laut Aufgabenstellung bekannt sind, müssen wir diese Formel nach der Seite $a$ umstellen:

  $\begin{array}{lllll} & V &=& a^2\cdot h & \vert :h \\ & \dfrac{V}{h} &=& a^2 & \vert \sqrt{ ~}\\ & \sqrt{\dfrac{V}{h}} &=& a & \end{array}$

  Setzen wir nun die uns bekannten Werte für die Höhe $h$ und das Volumen $V$ ein, erhalten wir:

  • $a=\sqrt{\dfrac{V}{h}}=\sqrt{\dfrac{24}{6}}=\sqrt{4}=2$.

  Wir haben hier zur Vereinfachung ohne konkrete Einheiten gerechnet. Du solltest dir trotzdem bewusst sein, dass gerade die Einheiten eine gute Kontrolle darstellen. Dazu solltest du dir klarmachen, dass Seitenlängen in Längeneinheiten (z. B. $\text{cm}$), Flächen in Flächeneinheiten (z. B. $\text{cm}^2$) und Volumen in Volumeneinheiten (z. B. $\text{cm}^3$) angegeben werden.

  Nutzen wir zum Beispiel $\text{cm}$, $\text{cm}^2$ und $\text{cm}^3$ erhalten wir so:

  • $a=\sqrt{\dfrac{V}{h}}=\sqrt{\dfrac{24~\text{cm}^3}{6~\text{cm}}}=\sqrt{4~\text{cm}^2}=2~\text{cm}$.

  Die Seitenlänge von $a$ wird dann korrekterweise in $\text{cm}$ angegeben.