Quader – Volumen und Oberfläche

Quader – Volumen und Oberfläche Übung

• Gib die Formel für die Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Quaders an.

  Tipps

  • Die Einheit einer Fläche ist immer zur zweiten Potenz erhoben. Sie kann zum Beispiel Quadratmeter, also $\text{m}^2$ sein.

  • Eine Volumeneinheit hingegen ist immer zur dritten Potenz erhoben, wie zum Beispiel Kubikmeter, also $\text{m}^3$.

  Das Volumen eines Quaders entspricht dem Produkt aus seiner Grundfläche und seiner Höhe.

  Die Oberfläche eines Quaders erhältst du, indem du alle rechteckigen Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addierst. Beachte, dass zwei gegenüberliegende Flächen immer kongruent zueinander sind.

  Lösung

  Lass uns nun die Formeln für Volumen und Oberfläche eines Quaders gemeinsam herleiten.

  Oberfläche eines Quaders

  Die Oberfläche eines Quaders erhalten wir, indem wir alle rechteckigen Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addieren. Dabei müssen wir beachten, dass zwei sich gegenüberliegende Flächen immer kongruent sind. Die Fläche eines Rechtecks erhalten wir, indem wir dessen Länge und Breite miteinander multiplizieren. Hierzu nehmen wir an, dass der Quader die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ hat und erhalten die folgenden rechteckigen Teilflächen je zweimal:

  • $ab$
  • $ac$
  • $bc$

  Das können wir nun mathematisch wie folgt ausdrücken:

  • $O=2ab+2ac+2bc$

  Da in jedem Summanden der Faktor $2$ vorkommt, können wir diesen wie folgt ausklammern:

  • $O=2\left(ab+ac+bc\right)$

  Die Einheit einer Fläche ist also immer zur zweiten Potenz erhoben. Sie kann zum Beispiel Quadratmeter, also $\text{m}^2$ sein.

  Volumen eines Quaders

  Das Volumen eines Quaders erhalten wir, indem wir seine Grundfläche und seine Höhe miteinander multiplizieren. Da die Grundfläche das Produkt zweier Seitenlängen und die Höhe die jeweils übrige Seitenlänge ist, erhalten wir für ein Quader mit $a$, $b$ und $c$ folgende Volumenformel:

  • $V=abc$

  Die Volumeneinheit ist daher immer zur dritten Potenz erhoben, wie zum Beispiel Kubikmeter, also $\text{m}^3$.

• Berechne Volumen und Oberfläche des jeweiligen Quaders.

  Tipps

  Beachte, dass die Höhe des quaderförmigen Gewächshauses eine andere ist, als die Höhe des mit Erde gefüllten Quaders.

  Beachte folgende Rechenregeln:

  • Klammern zuerst!
  • Punkt- vor Strichrechnung!

  Das Volumen eines Quaders erhält man, indem man seine Grundfläche mit seiner Höhe multipliziert. Für den hier abgebildeten Quader ergibt sich dann folgendes Volumen:

  $\begin{array}{lll} V &=& 1\ \text{m}\cdot 5\ \text{m}\cdot 3\ \text{m} \\ &=& 15\ \text{m}^3 \end{array}$

  Die Oberfläche eines Quaders erhält man, indem man alle Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addiert. So folgt für den hier abgebildeten Quader folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot\left(1\ \text{m}\cdot 5\ \text{m}+1\ \text{m}\cdot 3\ \text{m}+ 5\ \text{m}\cdot 3\ \text{m}\right) \\ &=& 2\cdot\left(5\ \text{m}^2+3\ \text{m}^2+15\ \text{m}^2\right) \\ &=& 2\cdot 23\ \text{m}^2 \\ &=& 46\ \text{m}^2 \end{array}$

  Lösung

  Oberfläche des Gewächshauses

  Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, müssen wir alle Teilflächen, aus denen sich der Quader zusammensetzt, addieren. Ein Quader setzt sich aus insgesamt sechs rechteckigen Flächen zusammen. Dabei sind sich gegenüberliegende Seiten kongruent, also gleich groß. Somit erhalten wir für die Oberfläche des Gewächshauses zunächst folgende Formel:

  $\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c &=& 1~090\ \text{m}^2 \end{array}$

  Hier können wir den Faktor $2$ noch ausklammern und die Werte entsprechend einsetzen:

  $\begin{array}{lll} O &=& 2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right) \\ &=& 2\cdot\left(20\ \text{m}\cdot 7\ \text{m}+20\ \text{m}\cdot 15\ \text{m}+ 7\ \text{m}\cdot 15\ \text{m}\right) \\ &=& 2\cdot\left(140\ \text{m}^2+300\ \text{m}^2+105\ \text{m}^2\right) \\ &=& 2\cdot 545\ \text{m}^2 \\ &=& 1~090\ \text{m}^2 \end{array}$

  Also besitzt das quaderförmige Gewächshaus eine Oberfläche von $1090\ \text{m}^2$.

  Volumen der benötigten Erde

  Das Volumen eines Quaders erhält man, indem man seine Grundfläche mit seiner Höhe multipliziert. In unserem Beispiel ist die Grundfläche gegeben durch das Rechteck mit den Seitenlängen $a=20\ \text{m}$ und $b=7\ \text{m}$. Die Höhe der benötigten Erde ist gegeben mit $d=2\ \text{m}$. Damit erhalten wir das folgende Volumen für die benötigte Erde:

  $\begin{array}{lll} V &=& a\cdot b\cdot d \\ &=& 20\ \text{m}\cdot 7\ \text{m}\cdot 2\ \text{m} \\ &=& 280\ \text{m}^3 \end{array}$

  Es wird also Erde mit einem Volumen von $280\ \text{m}^3$ benötigt.

• Ermittle die Oberflächen und das Volumen der gegebenen Quader.

  Tipps

  Die Oberfläche eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

  • $O=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)$

  Das Volumen eines Quaders erhältst du, indem du dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizierst.

  Lösung

  Die Oberfläche eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ können wir mit folgender Formel berechnen:

  • $O=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)$

  Das Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ können wir wie folgt berechnen:

  • $V=a\cdot b\cdot c$

  Damit erhalten wir folgende Berechnungen:

  Quader 1: $~a=10\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$, $c=7\ \text{cm}$

  Für die Oberfläche erhalten wir:

  $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(10\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}+10\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}+5\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(50\ \text{cm}^2+70\ \text{cm}^2+35\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 155\ \text{cm}^2 \\ &=& 310\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

  Das Volumen berechnen wir wie folgt:

  $\begin{array}{lll} \\ V &=& 10\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm} \\ &=& 350\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

  Quader 2: $~a=5\ \text{cm}$, $b=3\ \text{cm}$, $c=2\ \text{cm}$

  Für die Oberfläche dieses Quaders erhalten wir also folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(5\ \text{cm}\cdot 3\ \text{cm}+5\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm}+3\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(15\ \text{cm}^2+10\ \text{cm}^2+6\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 31\ \text{cm}^2 \\ &=& 62\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

  Die Berechnung für das Volumen sieht wie folgt aus:

  $\begin{array}{lll} \\ V &=& 5\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm}\cdot 2\ \text{cm} \\ &=& 30\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

  Quader 3: $~a=15\ \text{cm}$, $b=7\ \text{cm}$, $c=5\ \text{cm}$

  Die Oberfläche dieses Quaders berechnen wir wie folgt:

  $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(15\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}+15\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}+7\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(105\ \text{cm}^2+75\ \text{cm}^2+35\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 215\ \text{cm}^2 \\ &=& 430\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

  Die Volumenberechnung sieht wie folgt aus:

  $\begin{array}{lll} \\ V &=& 15\ \text{cm} \cdot 7\ \text{cm}\cdot 5\ \text{cm} \\ &=& 525\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

  Quader 4: $~a=8\ \text{cm}$, $b=10\ \text{cm}$, $c=4\ \text{cm}$

  Die Oberfläche dieses Quaders erhalten wir also durch folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lll} \\ O &=& 2\cdot\left(8\ \text{cm}\cdot 10\ \text{cm}+8\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}+10\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}\right) \\ &=& 2\cdot\left(80\ \text{cm}^2+32\ \text{cm}^2+40\ \text{cm}^2\right) \\ &=& 2\cdot 152\ \text{cm}^2 \\ &=& 304\ \text{cm}^2 \\ \\ \end{array}$

  Das Volumen berechnen wir wieder wie folgt:

  $\begin{array}{lll} \\ V &=& 8\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm} \\ &=& 320\ \text{cm}^3 \\ \\ \end{array}$

• Bestimme die Volumina der gegebenen Quader.

  Tipps

  Beachte, dass du nur Längen mit derselben Längeneinheit miteinander multiplizieren darfst. Daher musst du die gegebenen Längen vor der Berechnung des Volumens in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

  Dem hier abgebildeten Schema kannst du entnehmen, wie du die Längen Zentimeter ($\text{cm}$), Dezimeter ($\text{dm}$) und Meter ($\text{m}$) ineinander umrechnest.

  • Beispiel $1$: $10~\text{dm} = 1~\text{m} $
  • Beispiel $2$: $10~\text{cm} = 1~\text{dm}$

  Da alle Volumina in Kubikdezimetern, also $\text{dm}^3$ gegeben sind, ist es sinnvoll, die Seitenlängen in Dezimeter, also $\text{dm}$, umzurechnen.

  Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnest du mit folgender Formel:

  • $V=a\cdot b\cdot c$

  Lösung

  Das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnen wir mit folgender Formel:

  • $V=a\cdot b\cdot c$

  Dabei müssen wir beachten, dass wir nur Längen mit derselben Längeneinheit miteinander multiplizieren dürfen. Also müssen wir die gegebenen Werte für $a$, $b$ und $c$ in eine gemeinsame Einheit umrechnen. Da alle vorgegebenen Volumina die Volumeneinheit Kubikdezimeter, also $\text{dm}^3$ haben, ist es sinnvoll, die Seitenlängen jeweils in Dezimeter, also $\text{dm}$ umzurechnen. Für die Umrechnung nutzen wir die folgenden Zusammenhänge:

  • $10\ \text{cm}=1\ \text{dm}$
  • $10\ \text{dm}=1\ \text{m}$

  Hier ist die Umrechnungszahl jeweils $10$. Möchten wir von der kleineren Längeneinheit in eine größere umrechnen, so teilen wir durch die Umrechnungszahl. Andernfalls müssen wir mit der Umrechnungszahl multiplizieren. Damit erhalten wir folgende Zuordnungen:

  Produkte mit Volumen $105\ \text{dm}^3$

  Übertopf Olaf:

  • $a=5\ \text{dm}$
  • $b=70\ \text{cm}=7\ \text{dm}$
  • $c=3\ \text{dm}$
  • $V=5\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}=105\ \text{dm}^3$

  Blumenkasten Anton:

  • $a=7\ \text{dm}$
  • $b=1,5\ \text{m}=15\ \text{dm}$
  • $c=10\ \text{cm}=1\ \text{dm}$
  • $V=7\ \text{dm}\cdot 15\ \text{dm}\cdot 1\ \text{dm}=105\ \text{dm}^3$

  Produkte mit Volumen $112\ \text{dm}^3$

  Blumenkasten Lilli:

  • $a=2\ \text{dm}$
  • $b=0,4\ \text{m}=4\ \text{dm}$
  • $c=1,4\ \text{m}=14\ \text{dm}$
  • $V=2\ \text{dm}\cdot 4\ \text{dm}\cdot 14\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$

  Blumenkasten Mini:

  • $a=2\ \text{dm}$
  • $b=80\ \text{cm}=8\ \text{dm}$
  • $c=0,7\ \text{m}=7\ \text{dm}$
  • $V=2\ \text{dm}\cdot 8\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$

  Übertopf Bobo:

  • $a=0,4\ \text{m}=4\ \text{dm}$
  • $b=40\ \text{cm}=4\ \text{dm}$
  • $c=7\ \text{dm}$
  • $V=4\ \text{dm}\cdot 4\ \text{dm}\cdot 7\ \text{dm}=112\ \text{dm}^3$

  Produkte mit Volumen $54\ \text{dm}^3$

  Blumenkasten Lola:

  • $a=20\ \text{cm}=2\ \text{dm}$
  • $b=3\ \text{dm}$
  • $c=9\ \text{dm}$
  • $V=2\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}\cdot 9\ \text{dm}=54\ \text{dm}^3$

  Übertopf Luna:

  • $a=30\ \text{cm}=3\ \text{dm}$
  • $b=0,3\ \text{m}=3\ \text{dm}$
  • $c=6\ \text{dm}$
  • $V=3\ \text{dm}\cdot 3\ \text{dm}\cdot 6\ \text{dm}=54\ \text{dm}^3$

• Beschreibe die Eigenschaften eines Quaders.

  Tipps

  Denk an einen Spielwürfel. Der Würfel ist nämlich ein Spezialfall des Quaders, bei dem alle Flächen gleich groß und somit quadratisch sind.

  Ein Quader besitzt überall dort eine Ecke, wo drei Kanten aufeinandertreffen.

  Lösung

  Lass uns gemeinsam die Eigenschaften eines Quaders untersuchen:

  • Die Oberfläche des Quaders besteht aus insgesamt $6$ Rechtecken. Sich gegenüberliegende Flächen sind jeweils parallel zueinander und gleich groß, also kongruent.
  • Zudem können wir am Quader $12$ Kanten zählen. Diese sind jedoch nicht alle gleich lang. Der Quader kann drei verschiedene Kantenlängen besitzen, nämlich jeweils eine für die Länge, die Breite und die Höhe. Diese bezeichnet man in der Regel mit $a$, $b$ und $c$.
  • Überall dort, wo drei Kanten aufeinandertreffen, besitzt der Quader eine Ecke. Demnach können wir beim Quader insgesamt $8$ Ecken feststellen.

• Ermittle ausgehend vom Volumen und zwei Seitenlängen eines Quaders die fehlende Seitenlänge.

  Tipps

  Das Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ berechnest du mit folgender Formel:

  • $V=a\cdot b\cdot c$

  Du musst dir also überlegen, mit welcher Zahl du das Produkt aus $a$ und $b$ multiplizieren musst, um $V$ zu erhalten.

  Beispiel: Gesucht ist $a$. Die gegebene Formel stellst du wie folgt um:

  $\begin{array}{lllll} V&=&a\cdot b\cdot c &\vert& : (b \cdot c) \\ \dfrac{V}{b \cdot c} &=& \dfrac{a \cdot b\cdot c}{b \cdot c} && \\ \dfrac{V}{b \cdot c} &=& a &&\\ a &=& \dfrac{V}{b \cdot c} &&\\ \end{array}$

  Achte darauf, in welcher Einheit die fehlende Seitenlänge gesucht ist. Sinnvoll ist es, alle Angaben in diese Einheit umzurechnen und dann die fehlende Höhe zu bestimmen.

  Die Längeneinheiten kannst du mithilfe des hier abgebildeten Schemas ineinander umrechnen.

  Lösung

  Das Volumen eines Quaders mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ berechnen wir mit folgender Formel:

  • $V=a\cdot b\cdot c$

  Wir müssen uns also überlegen, mit welcher Zahl wir das Produkt aus $a$ und $b$ multiplizieren müssen, um $V$ zu erhalten. Wir können die Formel aber auch nach der Seite $c$ umstellen und erhalten dann folgenden Ausdruck:

  • $c=\dfrac{V}{a\cdot b}$

  Nun müssen wir nur noch schauen, in welcher Einheit die fehlenden Höhen gefordert sind und die gegebenen Größen jeweils umrechnen.

  Behälter 1

  Gegeben: $~a=5\ \text{dm}$; $~b=20\ \text{cm}$; $~V=60\ \text{dm}^3$

  Gesucht: $~~c$ in $\text{dm}$

  Da die Höhe hier in Dezimeter gesucht ist, eignet es sich, die Seitenlängen in Dezimeter und das Volumen in Kubikdezimeter umzurechnen. So erhalten wir:

  • $a=5\ \text{dm}$
  • $b=20\ \text{cm}=2\ \text{dm}$
  • $V=60\ \text{dm}^3$

  Jetzt setzen wir diese Werte in die obige Formel ein und erhalten:

  • $c=\dfrac{60\ \text{dm}^3}{5\ \text{dm}\cdot 2\ \text{dm}}=\dfrac{60\ \text{dm}^3}{10\ \text{dm}^2}=6\ \text{dm}$

  Behälter 2

  Gegeben: $~a=20\ \text{mm}$, $~b=3,5\ \text{dm}$, $~V=280\ \text{cm}^3$

  Gesucht: $~~c$ in $\text{cm}$

  Diesmal ist die Höhe in Zentimeter gesucht, sodass wir die Seitenlängen in Zentimeter und das Volumen in Kubikzentimeter umrechnen. Wir erhalten dann:

  • $a=20\ \text{mm}=2\ \text{cm}$
  • $b=3,5\ \text{dm}=35\ \text{cm}$
  • $V=280\ \text{cm}^3$

  Jetzt setzen wir diese Werte in die obige Formel ein und erhalten:

  • $c=\dfrac{280\ \text{cm}^3}{2\ \text{cm}\cdot 35\ \text{cm}}=\dfrac{280\ \text{cm}^3}{70\ \text{cm}^2}=4\ \text{cm}$