Volumen von Körpern – Grundfläche und Höhe

Volumen von Körpern – Grundfläche und Höhe Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Berechnen der Volumen von Körpern.

  Tipps

  Bei der Berechnung von Volumen musst du immer drei Längen miteinander multiplizieren.

  Die Kreisflächen eines Zylinders sind zueinander kongruent.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Eine Volumeneinheit wird immer zur zweiten Potenz erhoben.“

  • Volumeneinheiten sind immer zur dritten Potenz erhoben. Das ist so, weil du bei der Berechnung immer drei Längen miteinander multiplizieren musst. Wenn du etwas dreimal mit sich selbst multiplizierst, dann kannst du es zur dritten Potenz erheben: $\text{m} \cdot \text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^3$.

  „Das Volumen eines Zylinders kannst du nicht bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“

  • Bei allen Körpern, bei denen zwei gegenüberliegende Flächen kongruent zueinander sind, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Das Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche berechnest du, indem du die Grundfläche des Körpers mit seiner Höhe multiplizierst.“

  „Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du die Hälfte einer Seitenlänge mit der zugehörigen Höhe des Dreiecks multiplizierst:

  $A=\frac{1}{2} a \cdot h_a$.“

  • Hier kannst du eine beliebige Seitenlänge wählen, solange du mit der zugehörigen Höhe rechnest. Die Höhe ist die Länge, die senkrecht auf der Seite steht und in der gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks endet.

  „Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit $A=\pi r^2$ berechnen.“

• Berechne die Volumen verschiedener Körper.

  Tipps

  Hier bestimmst du zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche. Anschließend multiplizierst du diesen mit der Höhe des jeweiligen Körpers.

  Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben.

  Lösung

  Bei allen Körpern, bei denen zwei gegenüberliegende Flächen kongruent zueinander sind, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst. Damit kannst du den Lückentext wie folgt vervollständigen:

  „Das Volumen dieses Prismas mit dreieckiger Grundfläche berechnet er, indem er die Grundfläche des Körpers mit seiner Höhe multipliziert. Die Grundfläche berechnet sich durch:

  $G=\frac{1}{2}\,a \cdot h_a=\frac{1}{2} \cdot 6~\text{dm} \cdot 4~\text{dm} =12~\text{dm} ^2$.

  Damit kann er das Volumen bestimmen:

  $V = G \cdot h= 12~\text{dm}^2 \cdot 4{,}5~\text{dm}= 54~\text{dm} ^3$“.

  • Hier bestimmst du zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche. Anschließend multiplizierst du diesen mit der Höhe des Körpers. Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben.

  „Das Volumen dieses Zylinders berechnet er, indem er die Grundfläche des Körpers mit seiner Höhe multipliziert. Die Grundfläche berechnet sich durch:

  $G=\pi r^2=\pi \cdot (25~\text{cm})^2 \approx 1\,963{,}5~\text{cm} ^2$“.

  • So bestimmst du die Fläche eines Kreises mit dem Radius $r$.

  „Damit kann er das Volumen bestimmen:

  $V = G \cdot h= 1\,963{,}5~\text{cm}^2 \cdot 51~\text{cm}=100\,138{,}3 ~\text{cm} ^3$.“

• Ermittle das Volumen des Körpers.

  Tipps

  Den Flächeninhalt der Grundfläche berechnest du mit der gegebenen Formel. Hier setzt du die Längen aus der Zeichnung ein.

  Lösung

  So kannst du die Berechnung durchführen:

  Den Flächeninhalt der Grundfläche berechnest du mit der gegebenen Formel.

  $A= \frac{5}{2} \cdot g \cdot h_g $

  Diese Formel ergibt sich aus der Überlegung, dass du ein gleichmäßiges Fünfeck in fünf gleiche Dreiecke teilen kannst. Dann berechnest du den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke durch $A= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g $ und multiplizierst das mit fünf.

  In die Formel setzt du die Längen aus der Zeichnung ein.

  $\begin{array}{rl} A&= \frac{5}{2} \cdot g \cdot h_g\\ &= \frac{5}{2} \cdot 5~\text{cm} \cdot 3{,}4~\text{cm} \\ &=42{,}5~\text{cm}^2\\ \end{array}$

  Anschließend multiplizierst du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers. Dann erhältst du:

  $V=G \cdot h=42{,}5~\text{cm}^2 \cdot 3~\text{cm} = 127{,}5~\text{cm}^3$.

• Erschließe das Volumen dieser Körper.

  Tipps

  Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind.

  Die Fläche eines Kreises berechnest du durch:

  $A= \pi r^2$.

  Lösung

  Um die Volumen der Körper zu berechnen, musst du zuerst die Grundfläche der Körper bestimmen. Anschließend multiplizierst du diese mit der Höhe des Körpers. So erhältst du:

  • Der Quader hat ein Volumen von:

  $\begin{array}{rl} V&= G \cdot h\\ &= a \cdot b \cdot c\\ &= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm}\\ &= 60~\text{cm}^3\\ \end{array}$

  • Das Volumen des Würfels beträgt:

  $\begin{array}{rl} V&= G \cdot h\\ &= a \cdot a \cdot a\\ &= 6~\text{cm} \cdot 6~\text{cm} \cdot 6~\text{cm}\\ &= 216~\text{cm}^3\\ \end{array}$

  • Der Zylinder hat ein Volumen von:

  $\begin{array}{rl} V&= G \cdot h\\ &= \pi \cdot r^2 \cdot h\\ &= \pi \cdot (4~\text{cm})^2 \cdot 7~\text{cm} \\ &= 351{,}9~\text{cm}^3\\ \end{array}$

  • Das Volumen des Prismas mit dreieckiger Grundfläche beträgt:

  $\begin{array}{rl} V&= G \cdot h\\ &= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \cdot h\\ &= \frac{1}{2} \cdot 5~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} \cdot 6~\text{cm} \\ &= 45~\text{cm}^3\\ \end{array}$

• Bestimme das Volumen eines Quaders.

  Tipps

  Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

  Dazu musst du zuerst die Grundfläche berechnen. Die erste fehlende Länge kannst du aus der Zeichnung ablesen.

  Lösung

  Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

  Dazu musst du zuerst die Grundfläche berechnen. Die erste fehlende Länge kannst du aus der Zeichnung ablesen.

  $A=2{,}5~\text{dm} \cdot 3~\text{dm}= 7{,}5~\text{dm}^2$

  Damit kannst du das Volumen bestimmen.

  $\begin{array}{rl} V &= G \cdot h\\ &= 7{,}5~\text{dm}^2 \cdot 4{,}5~\text{dm}\\ &= 30~\text{dm} ^3\\ \end{array}$

• Erschließe das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

  Tipps

  Um das Gesamtvolumen zu berechnen, musst du zuerst die Teilvolumen der einzelnen Körper berechnen, aus denen die Figur aufgebaut ist.

  Das Gesamtvolumen kannst du durch Addition der Teilvolumen berechnen.

  Lösung

  Um das Gesamtvolumen zu berechnen, musst du zuerst die Teilvolumen, also die Volumen der Körper, aus denen sich der Gesamtkörper zusammensetzt, berechnen. Das Volumen des Würfels berechnest du wie folgt:

  $ V_W = G \cdot h = \underbrace{a \cdot a}_{\text{quadratische Grundfläche}} \cdot \underbrace{a}_{\text{Höhe}} = 5~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 125~\text{cm}^3 $

  Das Volumen des Prismas mit dreieckiger Grundfläche ergibt sich durch:

  $ V_P = G \cdot h = \underbrace{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a}_{\text{dreieckige Grundfläche}} \cdot \underbrace{a}_{\text{Höhe}} = \frac{1}{2} \cdot 5~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 37{,}5~\text{cm}^3 $

  Das Gesamtvolumen kannst du durch Addition der Teilvolumen berechnen:

  $V_{Ges}=V_W+V_P=125~\text{cm}^3 + 37{,}5~\text{cm}^3= 162{,}5~\text{cm}^3$.