Volumen von Zylindern

Volumen von Zylindern Übung

• Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders an.

  Tipps

  Ein Zylinder ist ein spezielles Prisma. Die Grundfläche ist ein Kreis.

  Die Volumenformel für ein Prisma lautet

  $V=G\cdot h$,

  wobei $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche ist.

  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises mit dem Radius $r$ lautet $A=\pi\cdot r^2$.

  Lösung

  Da ein Zylinder ein spezielles Prisma ist, kann man die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas verwenden. Diese lautet

  $V=G\cdot h$.

  Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche. Diese ist bei einem Zylinder ein Kreis. Man kann somit die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises mit dem Radius $r$ verwenden:

  $G=\pi\cdot r^2$.

  Wenn man diesen Flächeninhalt in die Volumenformel eines Prismas einsetzt, erhält man

  $V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

• Berechne das Volumen der beiden Zylinder.

  Tipps

  Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders

  $V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Beachte, dass der Radius die Hälfte des Durchmessers ist.

  Du musst dann die bekannten Werte für $h$ sowie den Radius $r=4~m$ in die Formel einsetzen.

  Ein $dm^3$ entspricht einem Liter.

  Es gilt $1~m^3=1000~dm^3$.

  Lösung

  Sowohl der obere als auch der untere Tank sind Zylinder. Um das Fassungsvermögen dieser Tanks zu berechnen, muss man die Volumenformel für Zylinder verwenden. Diese lautet

  $V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Der obere Tank hat einen Durchmesser von $d=8~m$ und somit einen Radius von $r=4~m$ sowie eine Höhe von $h=10~m$. Diese beiden Größen können in die Volumenformel eingesetzt werden und man erhält

  $V=\pi\cdot (4~m)^2\cdot 10~m=160\pi~m^3\approx 503~m^3$.

  Nun kann man verwenden, dass $1~m^3=1000~dm^3\hat =1000~L$ gilt. Damit erhält man

  $V\approx 503000~L$.

  Ebenso kann das Fassungsvermögen des unteren Tanks berechnet werden. Der untere Tank hat ebenfalls einen Durchmesser von $d=8~m$. Also ist $r=4~m$. Dieser Tank ist $h=30~m$ hoch. Einsetzen dieser Größen in die Volumenformel führt zu

  $V=\pi\cdot (4~m)^2\cdot 30~m=480\pi~m^3\approx 1508~m^3$.

  Dies kann noch in Liter umgerechnet werden: $V\approx 1508000~L$.

• Bestimme das Volumen der Zylinder.

  Tipps

  Beachte, dass $r$ quadriert wird.

  Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.

  Hier siehst du eine Beispielrechnung für $r=3~m$ und $h=3~m$:

  $V=\pi\cdot (3~m)^2\cdot 3~m=27\pi~m^3\approx 84,8~m^3$

  Lösung

  Wenn man das Volumen eines Zylinders berechnen möchte, benötigt man die Volumenformel $V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Schauen wir uns die Volumina an:

  • $r=3~m$ und $h=12~m$ führt zu $V=\pi\cdot (3~m)^2\cdot 12~m=108\pi~m^3\approx 339,3~m^3$.
  • $r=6~m$ und $h=6~m$ führt zu $V=\pi\cdot (6~m)^2\cdot 6~m=216\pi~m^3\approx 678,6~m^3$.
  • $r=12~m$ und $h=3~m$ führt zu $V=\pi\cdot (12~m)^2\cdot 3~m=432\pi~m^3\approx 1357,2~m^3$.
  • $r=9~m$ und $h=6~m$ führt zu $V=\pi\cdot (9~m)^2\cdot 6~m=486\pi~m^3\approx 1526,8~m^3$.

• Ermittle das Fassungsvermögen der Getränkedose in Litern.

  Tipps

  Die Volumenformel lautet

  $V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Ein Kubikdezimeter entspricht einem Liter.

  Es gilt $1000~cm^3=1~dm^3$ oder

  $1~cm^3=0,001~dm^3$.

  Lösung

  Um den Inhalt der neuen Glasbachtal'schen Getränkedose zu berechnen, muss zunächst der Durchmesser der Dose halbiert werden. So erhält man den Radius $r=3~cm$.

  Nun können dieser Radius sowie die Höhe $h=15~cm$ in die Volumenformel eingesetzt werden und man kommt somit zu

  $\begin{align} V & =\pi\cdot (3~cm)^2\cdot 15~cm=135\pi~cm^3\\ & \approx 424~cm^3 \end{align}$ .

  Da $1000~cm^3=1~dm^3$ ist, muss dieser Wert durch $1000$ dividiert werden, um das Fassungsvermögen in Litern zu erhalten:

  $V=0,424~L=424~mL$ .

• Beschreibe, wie man $m^3$ in Liter umrechnen kann.

  Tipps

  Hast du eine Packung (Hafer-, Soja-, Reis-)Milch zuhause?

  Darin befindet sich sehr wahrscheinlich ein Liter Milch.

  Stelle dir einen Würfel mit der Seitenlänge $1~m$ vor. Da passen doch sicher mehr als $10$ Milchpackungen hinein ($10~L$), oder?

  Es sind drei Aussagen richtig.

  Lösung

  Mit dem Volumen misst du den Inhalt eines Raumes. Es gibt an, wie viel Flüssigkeit oder auch Füllgut (wie Mehl oder Zucker) in einen Raum passt.

  Wenn man sich einen Zylinder nach oben offen vorstellt, kann man sich fragen, wie viel $m^3$, $L$ oder $dm^3$ hinein passen. Wichtig ist es, sich zu merken, dass $1~dm^3$ einem Liter entspricht.

  Man muss also noch $m^3$ in $dm^3$ umrechnen. Wie geht das? Es gilt $1~m=10~dm$. Damit gilt auch $1~m^3=(10~dm)^3=10^3~dm^3=1000~dm^3$.

  Damit ist klar, dass $1~m^3$ gerade $1000~L$ entspricht.

• Leite den Radius und die Höhe des Zylinders in Zentimeter her.

  Tipps

  Beachte, dass $1,5~L~\hat=~1500~cm^3$.

  Löse die Gleichung (ohne Maßeinheiten)

  $1500=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Verwende $h=2r$.

  Somit erhältst du

  $1500=\pi\cdot r^2\cdot 2r=2\pi\cdot r^3$.

  Lösung

  Da das Volumen $1,5~L~\hat=~1500~cm^3$ bekannt ist, ist die folgende Gleichung zu lösen. Dabei wird auf die Maßeinheiten verzichtet:

  $1500=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Befinden sich in dieser Gleichung zwei Unbekannte? Nein. Denn es gilt ja $h=2r$. Dies kann in die Gleichung eingesetzt werden:

  $1500=\pi\cdot r^2\cdot 2r=2\pi\cdot r^3$.

  Nun kann die Gleichung gelöst werden:

  $\begin{array}{rclll} 1500&=&2\pi\cdot r^3&|&:(2\pi)\\ \frac{750}{\pi}&=&r^3&|&\sqrt[3]{~~~}\\ \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}}&=&r\\ 6,2&\approx&r \end{array}$.

  Mit diesem Radius kann dann auch die Höhe berechnet werden: $h=2r=2\cdot 6,2=12,4$.

  Die Flasche muss also einen Radius von rund $6,2~cm$ und eine Höhe von rund $12,4~cm$ haben, um ebenfalls $1,5~L$ fassen zu können.