Volumen eines Prismas berechnen – Beispiele

Volumen eines Prismas berechnen – Beispiele Übung

• Berechne das Volumen des Prismas.

  Tipps

  Stelle das Prisma senkrecht auf seine Grundfläche. Welche Seite entspricht der Höhe $h$?

  Die Grund- und Deckfläche sind deckungsgleich. Sie stehen senkrecht auf der Höhe und sie sind parallel zueinander.

  Die Grundfläche ist ein Trapez. Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes?

  Für das Volumen des Prismas gilt $V=A_G \cdot h$.

  Lösung

  Um das Volumen des Prismas zu bestimmen, müssen wir zunächst seine Grundflächen bestimmen. Diese sind im Bild rot markiert. Sie haben die Form eines Trapezes. Nun müssen wir die Flächeninhaltsformel eines Trapezes nutzen. Sie lautet:

  $A_G = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot b$.

  Setzen wir in diese Formel die jeweiligen Größen ein, erhalten wir:

  \begin{align} A_G &= \frac{1}{2} \cdot (6~cm + 3~cm) \cdot 4~cm \\ & = \frac{1}{2} \cdot 9~cm \cdot 4~cm \\ & = \frac{1}{2} \cdot 36~cm^2 \\ & = 18~cm^2 \end{align}

  Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $18~cm^2$.

  Stellen wir das Trapez auf seine Grundfläche, erkennt man, dass die Seite $d$ der Höhe des Prismas entspricht. Es gilt also $h = d = 5~cm$. Da wir nun $A_G$ und $h$ kennen, können wir das Volumen des Prismas berechnen. Die dazugehörige Formel lautet $V = A_G \cdot h$.

  \begin{align} V &= 18~cm^2 \cdot 5~cm \\ & = 90~cm^3 \end{align}

• Bestimme alle Angaben, damit Bauer Michael die Strohmenge für sein Dach berechnen kann.

  Tipps

  Hier siehst du das Prisma, um das es geht. Trage die gegebenen Größen in die Skizze ein.

  Hier kannst du die eingetragenen Werte erkennen. Welche Form besitzt die Grundfläche des Prismas? Welche Seite entspricht der Höhe?

  Die Grundfläche des Prismas ist ein Dreieck. Man berechnet den Flächeninhalt, in dem man das Produkt aus der Länge einer Seite und ihrer entsprechenden Höhe halbiert.

  Für das Volumen des Prismas gilt $V=A_G \cdot h$.

  Lösung

  Um zu wissen, wie viel Stroh Bauer Michael auf dem Dachboden seiner Scheune lagern kann, müssen wir das Volumen der Scheune bestimmen.

  Zunächst schauen wir, welche geometrische Form der Dachboden hat. Hier siehst du eine Skizze des Dachbodens und man erkennt, dass es sich um ein Prisma handelt, dessen Grundflächen die Form von Dreiecken haben. Außerdem siehst du auch noch die einzelnen Seitenlängen, die auch in der Aufgabenstellung stehen.

  Weiter müssen wir den Flächeninhalt von einem Dreieck bestimmen. Dazu nutzen wir die Formel $A_G = \frac{ g\cdot h_g}{2}$ und setzen unsere Werte ein. Wir erhalten:

  \begin{align} A_G &= \frac{ 4~cm \cdot 3cm}{2}\\ &= \frac{ 12~cm^2}{2}\\ & = 6~cm^2 \end{align}

  Die Länge der Scheune, entspricht der Höhe des Prismas $h = 7~m$. Setzen wir dies nun in die Volumenformel ein, erhalten wir:

  \begin{align} V &=A_G \cdot h\\ & =6~m^2 \cdot 7~m\\ & = 42~m^3 \end{align}

  Bauer Michael kann also bis zu $42~m^3$ Stroh auf dem Dachboden seiner Scheune lagern.

• Bestimme die Grundfläche(n) und die Höhe des Prismas.

  Tipps

  Die Grundflächen sind immer deckungsgleich, zueinander parallel und stehen senkrecht zur Höhe

  Lösung

  Für die Grundfläche(n) eines Prismas gilt, dass sie immer deckungsgleich, zueinander parallel sind und senkrecht zur Höhe stehen. Alle diese Eigenschaften treffen auf dieses Prisma zu.

  Die Grundflächen sind in diesem Fall Dreiecke.

  Wenn du dieses Prisma auf diese Grundfläche stellst, erkennst du, dass die Länge der gekennzeichneten Seite tatsächlich der Höhe $h$ entspricht.

• Berechne das Volumen der Vase und nach wie vielen Minuten sie gefüllt ist.

  Tipps

  Den Flächeninhalt eines Parallelogramm berechnet man mit der Formel $A = g \cdot h$. $g$ bezeichnet die Grundseite und $h$ die Höhe.

  Wenn $96~cm^3$ pro Minute durch einen Wasserhahn fließt, heißt das, dass nach einer Minute $96~cm^3$ Wasser durch den Wasserhahn geflossen ist. Wie viel Wasser sind nach zwei Minuten geflossen?

  Das Volumen eines Prismas berechnest du mit der Formel $V=A_G \cdot h$.

  Lösung

  Um zu wissen, wie viel Wasser in die Vase gegossen werden kann, müssen wir das Volumen der Vase bestimmen. Um das machen zu können, müssen wir zunächst die Grundfläche bestimmen. Anschließend müssen wir ihre geometrische Form bestimmen, ihren Flächeninhalt berechnen und können erst dann das Volumen bestimmen.

  Die Grundfläche hat die Form eines Parallelogramms. Um seinen Flächeninhalt zu berechnen, verwenden wir die Formel $A_G = g \cdot h$. In unserer Skizze der Grundfläche entspricht $g = 6~cm$ und $h = 4cm$. Wir rechnen also: $A_G = 6~cm \cdot 4~cm = 24~cm^2$.

  Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass die Vase $12~cm$ hoch ist. Nun können wir die Volumenformel verwenden. Sie lautet: $V = A_G \cdot h$. Setzen wir in ihr die uns bekannten Werte ein, erhalten wir:

  $V = 24~cm^2 \cdot 12~cm = 288~cm^3$.

  Das Volumen de Vase beträgt $288cm^3$. Pro Minute können $96~cm^3$ Wasser in die Vase gegossen werden. Um die Länge der Füllzeit zu berechnen, rechnen wir:

  $\frac{V}{96~cm^3} = \frac{288~cm^3}{96~cm^3} = 3$.

  Nach drei Minuten ist die Vase also vollständig gefüllt.

• Gib die Schritte für die Herleitung der Volumenformel beim Prisma wieder.

  Tipps

  Die Grundflächen sind immer deckungsgleich, zueinander parallel und stehen senkrecht zur Höhe

  Jede geometrische Form hat eine andere Formel um den Flächeninhalt zu bestimmen.

  Lösung

  Möchtest du das Volumen eines Prismas bestimmen, musst du zunächst seine Grundflächen bestimmen. Diese erkennst du daran, dass sie deckungsgleich, parallel zueinander sind und senkrecht zur Höhe stehen. Außerdem kann die Grundfläche jede beliebige geometrische Form haben.

  Hast du die Grundflächen erkannt, musst du ihre geometrische Form bestimmen. Diese Form könnte zum Beispiel ein Dreieck, Parallelogramm, Trapez oder ein sonstiges n-Eck (Polygon) sein.

  Anschließend verwendest du die Formel, mit der du den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen kannst. Hat die Grundform die Form eines Dreiecks, verwendet man die Formel $A_G = \frac{g \cdot h_g}{2}$. Da man mit dieser Formel den Flächeninhalt eines Dreiecks ausrechnest. $g$ steht für die Länge der Grundseite und $h_g$ steht für die Länge der Höhe, die senkrecht auf der Grundseite steht.

  Zuletzt setzt du den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe in die Volumenformel $V = AG \cdot h$ ein und erhältst das Volumen des jeweiligen Prismas.

• Ermittle die Breite $b$ des Zeltes.

  Tipps

  Fertige eine Skizze des Prismas bzw. Zeltes an. Welche Form besitzt die Grundfläche?

  Stellt man die Formel $A_G = \frac{a \cdot b}{2}$ nach $a$ um, erhält man $a = \frac{2 \cdot AG}{b}$.

  Das Volumen des Prismas beträgt $V=4,5~m^3$. Verwende die Formel für das Volumen $V=A_G \cdot h$.

  Lösung

  Zunächst schauen wir uns an, welche geometrische Form das Zelt besitzt. Es ist ein Prisma mit einer dreieckige Grundfläche. Wir wissen, dass das Zelt ein Volumen von $4,5~m^3$ hat, $3~m$ lang und $1,5~m$ hoch ist.

  Um zu wissen wie breit das Zelt sein soll, müssen wir zunächst die Grundfläche bestimmen. Wir wissen, dass $V = AG \cdot h$ gilt und können diese Gleichung nach $AG$ umstellen. Daraus folgt:

  \begin{align} V &= A_G \cdot h &|& :h \\ A_G &= \frac{V}{h} \end{align}

  In diese Formel können wir nun $V$ und $h$ eingeben. Wir erhalten:

  \begin{align} A_G &= \frac{4,5~m^3}{3~m} \\ A_G &= 1,5~m^2 \end{align}

  Nun wissen wir, dass die Grundfläche $1,5~m^2$ groß ist. Wir wissen, dass man mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot b}{2}$ die Grundseite des Dreiecks berechnen kann. In unserem Falle entspricht die Länge der Grundseite die Breite des Zeltes. Wir können also die Formel nach der Breite $b$ umstellen. Es folgt:

  \begin{align} A_G &= \frac{a \cdot b}{2} &|& \cdot 2 \\ 2 \cdot A_G &= a \cdot b &|& : a \\ \frac{2 \cdot A_G}{a} &= b \end{align}

  In diese Formel können wir nun die Werte einsetzen, die wir kennen. Wir erhalten:

  \begin{align} b = \frac{2 \cdot A_G}{a} \\ b = \frac{2 \cdot 1,5~m^2}{1,5~m} \\ b = 2~m \end{align}

  Das Zelt muss also $2~m$ breit sein, damit das Zelt ein Volumen von $4,5~m^3$ besitzt.