Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen

Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen Übung

• Beschreibe, wie sich das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen untersuchen lässt.

  Tipps

  Beispiel: $f(x)=x^4 + \dfrac{9}{4}x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2} $
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist $x^4$. Es gilt:

  • Der Exponent ist gerade: $x=4$
  • Der Koeffizient ist positiv: $x^4=+1x^4$

  Den Graphen von $f(x)$ sehen wir hier:

  Lösung

  Das Verhalten im Unendlichen:
  Das Verhalten eines Funktionsgraphen für $x=+\infty$ und $x=-\infty$ wird auch Globalverhalten genannt.
  Um zu bestimmen, wie ein Graph für sehr große oder sehr kleine $x$-Werte verläuft, können wir testweise sehr große $x$-Werte, z.B. $x=10\,000$, und sehr kleine $x$-Werte, z.B. $x=-10\,000$, einsetzen und die entsprechenden Funktionswerte bestimmen.

  Ganzrationale Funktionen:
  Bei ganzrationalen Funktionen reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei ist es entscheidend, ob der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade ist. Auch das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz ist relevant für das Verhalten im Unendlichen.

  Beispiel: $f(x)=x^4 + \dfrac{9}{4}x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2} $
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist $x^4$. Es gilt:

  • Der Exponent ist gerade: $x=4$
  • Der Koeffizient ist positiv: $x^4=+1x^4$

  Wir können schlussfolgern:
  Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.
  Für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.

• Bestimme das Verhalten der gegebenen Funktion im Unendlichen durch Testeinsetzung.

  Tipps

  Setze für die Testeinsetzung für jedes $x$ in der Funktionsgleichung $10\,000$ bzw. $-10\,000$ ein.

  Beachte: $(-1)^4=+1$

  In diesem Beispiel werden die Funktionswerte der Funktion $f(x)$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$ sehr groß. Was bedeutet das für das Globalverhalten von $f(x)$?

  Lösung

  Untersuchung des Verhalten im Unendlichen:
  Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, können wir testweise sehr große $x$-Werte, z.B. $x=10\,000$, und sehr kleine $x$-Werte, z.B. $x=-10\,000$, einsetzen.

  Untersuchung der gegebenen Funktion:
  Für $\displaystyle f(x)=x^4 + \frac{9}{4}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ setzen wir ein:

  $\mathbf{x=10\,000}$
  $\displaystyle f(10\,000)=10\,000^4+ \frac{9}{4} \cdot10\,000^2-\frac{3}{4}\cdot 10\,000 +\frac{1}{2}=1,000 \cdot 10^{16}$
  Wir können damit auf das Verhalten im positiven Unendlichen schlussfolgern:
  Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$

  $\mathbf{x=-10\,000}$
  $\displaystyle f(-10\,000)=(-10\,000)^4+ \frac{9}{4} \cdot (-10\,000)^2-\frac{3}{4}\cdot (-10\,000) +\frac{1}{2}=1,000 \cdot 10^{16}$
  Wir können damit auf das Verhalten im negativen Unendlichen schlussfolgern:
  Für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$

  Allgemeine Betrachtung:
  Allgemein reicht es bei ganzrationalen Funktionen aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei ist es für das Verhalten im Unendlichen entscheidend, ob der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade und ob das Vorzeichen des Koeffizienten positiv oder negativ ist.
  In unserem Beispiel ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, daher gilt:
  

  • Für $x \to +\infty$: $\quad f(x)\to +\infty$
  • Für $x \to -\infty$: $\quad f(x)\to +\infty$

• Entscheide, welche Elemente des Funktionsterms ausschlaggebend für das Verhalten der Funktion im Unendlichen sind.

  Tipps

  Beispiel: Verhalten im Unendlichen der Funktion $g(x)$

  Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten.

  Lösung

  Das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Dabei müssen wir den Exponenten und den Koeffizienten, also den Vorfaktor dieses Summanden, untersuchen. Genauer untersuchen wir:

  • Ist der Exponent gerade oder ungerade?
  • Ist der Koeffizient positiv oder negativ?

  Bei den gegebenen Funktionen müssen wir also den Summanden mit der höchsten Potenz markieren. Dazu gehört die Potenz selber und ihr Koeffizient.
  Achtung: Die höchste Potenz muss nicht zwingend vorne stehen!

  • $f(x)= -1,5 x^5 +3 x^4 -6 \quad$ entscheidender Summand: $-1{,}5x^5$
  • $f(x)= \frac{2}{3} x^8 -9 x^7 -\frac{1}{8} x^5 +2 x^2 -8 \quad$ entscheidender Summand: $\frac{2}{3} x^8$
  • $f(x)= \frac{1}{2} x+5 x^2 -4 x^3 +2 \quad$ entscheidender Summand: $-4x^3$
  • $f(x)= -4 +3 x \quad$ entscheidender Summand: $+3x$

  
  

  Für das Verhalten im Unendlichen gilt dann:

  • $f(x)= -1,5 x^5 +3 x^4 -6$

  Der Exponent ist ungerade und der Koeffizient negativ, daher gilt:
  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  • $f(x)= \frac{2}{3} x^8 -9 x^7 -\frac{1}{8} x^5 +2 x^2 -8 $

  Der Exponent ist gerade und der Koeffizient positiv, daher gilt:
  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  • $f(x)= \frac{1}{2} x+5 x^2 -4 x^3 +2$

  Der Exponent ist ungerade und der Koeffizient negativ, daher gilt:
  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  • $f(x)= -4 +3 x $

  Der Exponent ist ungerade und der Koeffizient positiv, daher gilt:
  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

• Untersuche das Verhalten der Funktionen im Unendlichen.

  Tipps

  Besitzt der Teil mit der höchsten Potenz einen geraden Exponenten $n$ und einen positiven Koeffizienten, dann geht die Funktion $f$ sowohl für $x \to -\infty$ als auch für $x \to \infty$ gegen $+ \infty$.

  Beispiel: $\displaystyle f(x)=-5x^4+\frac{1}{3}x$
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist $-5x^4$.
  Der Exponent ist $4$, also gerade.
  Der Koeffizient ist $-5$, also negativ.

  $\Rightarrow \quad$ für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$
  $\quad$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$

  Lösung

  Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei ist es entscheidend, ob der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade ist. Auch das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz ist relevant für das Verhalten im Unendlichen. Allgemein gilt:

  • Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  • Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  • Ist der Exponent gerade und der Koeffizient negativ so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  • Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient negativ so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  $\,$

  Wir betrachten die gegebenen Funktionen:

  Funktion 1: $f(x)=4x^8-3x^2+5$
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist $4x^8$.
  Der Exponent ist $8$, also gerade, der Koeffizient ist $4$, also positiv.
  $\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.

  Funktion 2: $\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^5+3x^4-\frac{3}{4}x$
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist $\displaystyle -\frac{1}{2}x^5$.
  Der Exponent ist $5$, also ungerade, der Koeffizient ist $\displaystyle -\frac{1}{2}$, also negativ.
  $\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.

  Funktion 3: $\displaystyle f(x)=-x^2+\frac{1}{2}x-4$
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist $-x^2$.
  Der Exponent ist $2$, also gerade, der Koeffizient ist $-1$, also negativ. Daher gilt:
  $\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$.

  Funktion 4: $\displaystyle f(x)=\frac{3}{8}x^9-\frac{1}{4}x^8-3x^2-2$
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist $\displaystyle \frac{3}{8}x^9$.
  Der Exponent ist $9$, also ungerade, der Koeffizient ist $\displaystyle \frac{3}{8}$, also positiv. Daher gilt:
  $\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$.

• Entscheide, ob es sich bei der Funktion um ganzrationale Funktionen handelt.

  Tipps

  Unter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form

  $f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2}+...+a_0x^0$

  Diese Funktion ist keine ganzrationale Funktion: $f(x)=\dfrac{1}{x}$

  Lösung

  Unter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form

  $f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2}+...+a_0x^0$

  mit $n \in \mathbb{N}_0$. Der Funktionsterm ist eine Summe aus Potenzen von $x$. Dabei können einzelne Koeffizienten auch gleich $0$ sein.

  Wir betrachten die gegebenen Funktionen und ordnen zu:

  Ganzrationale Funktionen: Funktionen, die aus einer Summe von Potenzen bestehen, sind ganzrationale Funktionen, wie z.B.:

  • $f(x)=2x^4 + 3x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}$
  • $f(x)=-9x^5+3x^3-1,2x^9$
  • $f(x)=3x+1$
  • $f(x)=(2x-4)\bigg(\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{4}\bigg)(4x^2+1)$

  Durch Ausmultiplizieren der Klammern erhalten wir eine Summe aus Potenzen von $x$, nämlich:

  $f(x)=2x^4-6x^3+\dfrac{18}{4}x^2 -\dfrac{6}{4}x+1$

  Keine ganzrationalen Funktionen:

  • $f(x)=3x^2+\sqrt{x} \quad$... da $\sqrt{x}$ nicht als $x^n$ mit $n \in \mathbb{N}_0$ geschrieben werden kann.
  • $f(x)=\dfrac{3x^2+4x-2}{x^2-x} \quad$... da $x$ im Nenner vorkommt und nicht gekürzt werden kann.

• Überprüfe die Aussagen zum Globalverhalten der gegebenen Funktion.

  Tipps

  Um die einzelnen Summanden betrachten zu können, müsstest du die Klammern ausmultiplizieren. Es reicht jedoch, sich den Summanden mit der höchsten Potenz herzuleiten.

  Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei gilt:

  • Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  • Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  • Ist der Exponent gerade und der Koeffizient negativ, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  • Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient negativ, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  Der Exponent der höchsten Potenz ist ungerade.

  $f(x)=-3x \cdot (x+3) \cdot (x-5)^2 \cdot(3-x) \\ = 3x^5-30x^4+48x^3+270x^2-675x$

  Lösung

  Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei gilt:

  • Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  • Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  • Ist der Exponent gerade und der Koeffizient negativ, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  • Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient negativ, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
  $\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  $\,$

  Die gegebene Funktion liegt jedoch in faktorisierter Form vor, bei der die einzelnen Summanden nicht direkt erkennbar sind:

  $f(x)=-3x \cdot (x+3) \cdot (x-5)^2 \cdot(3-x) $

  Wir könnten nun alle Klammern ausmultiplizieren, um die Summanden betrachten zu können. Da uns jedoch nur der Summand mit der höchsten Potenz interessiert, ist dies nicht nötig. Wir können uns diesen auch so herleiten:
  Die höchste Potenz ergibt sich beim Multiplizieren der Faktoren $-3x \cdot x \cdot x^2 \cdot (-x) = 3x^5$
  Der Summand mit der höchsten Potenz ist also $3x^5$.

  Wir betrachten damit die gegebenen Aussagen:

  Die höchste Potenz ist $x^2$.
  Diese Aussage ist falsch. Die höchste Potenz ist $x^5$.

  Der Koeffizient der höchsten Potenz ist positiv.
  Diese Aussage ist richtig. Der Koeffizient ist $3$, also positiv.

  Der Faktor $-3x$ hat keinen Einfluss auf das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
  Diese Aussage ist falsch. Der Faktor $-3x$ wird beim Berechnen des Summanden mit der höchsten Potenz verwendet und ist somit entscheidend für das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

  Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.
  Diese Aussage ist richtig, da der Exponent der höchsten Potenz ungerade und ihr Koeffizient positiv ist.

  Das Verhalten der Funktion für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ ist gleich.
  Diese Aussage ist falsch, denn da der Koeffizient positiv und der Exponent ungerade ist, können wir schlussfolgern: $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$

  Hinweis 1: Möchtest du die Klammern des Funktionsterms doch komplett ausmultiplizieren, so lautet das Ergebnis:
  $f(x)=-3x \cdot (x+3) \cdot (x-5)^2 \cdot(3-x) = 3x^5-30x^4+48x^3+270x^2-675x$

  Hinweis 2: Wenn du nur das Verhalten der Funktion im Unendlichen untersuchen möchtest, so kannst du dies auch durch eine Testeinsetzung ermitteln.