Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen Übung

• Vervollständige den Text zur Achsen- und Punktsymmetrie von Funktionen.

  Tipps

  Setze $-x$ in die Funktion ein, um sie auf Symmetrie zu untersuchen.

  Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Funktionswerte an den Stellen $x$ und $-x$ Gegenzahlen zueinander sind.

  Die Funktion $f(x) = x^2-x$ ist nicht symmetrisch, denn $f(-1) = 2$ und $f(1) =0$.

  Lösung

  Achsen- und Punktsymmetrie eines Funktionsgraphen lassen sich durch ein einfaches Kriterium rechnerisch überprüfen. Mit der Achsensymmetrie ist dabei Spiegelsymmetrie zur $y$-Achse gemeint und mit der Punktsymmetrie die Drehsymmetrie um $180^\circ$ um den Ursprung. Andere Symmetrien werden hier nicht in Betracht gezogen.

  Wir erkennen die Achsen- oder Punktsymmetrie einer Funktion – oder genauer: ihres Funktionsgraphen, indem wir in den Funktionsterm anstelle der Variablen $x$ den Wert $-x$ einsetzen und den Funktionsterm ausrechnen. Die Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie folgendes Kriterium erfüllt: Für alle Werte $x$ aus dem Definitionsbereich $\mathbb D$ der Funktion $f$ gilt: $f(x) = f(-x)$. Diese Gleichung bedeutet: Sind zwei $x$-Werte Gegenzahlen zueinander – so ist der Funktionswert von $f$ an beiden Stellen gleich. Mit anderen Worten: Wir erhalten den Funktionswert an der Stelle $-x$, indem wir den Funktionswert an der Stelle $x$ auf die andere Seite der $y$-Achse spiegeln. Eine Funktion ist genau dann nicht achsensymmetrisch, wenn diese Spiegelungsbedingung an mindestens einem Punkt des Definitionsbereiches verletzt ist, d. h. wenn die Gleichung $f(-x)=f(x)$ für mindestens ein $x \in \mathbb D$ nicht erfüllt ist.

  Die Symmetriebedingung lässt sich an ganzrationalen Funktionen leicht überprüfen. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn alle Potenzen der Variablen gerade sind. Die Funktion

  $f(x) = \dfrac{1}{4}x^4-3x^2+\dfrac{4}{3}$

  erfüllt diese Bedingung, sie ist also achsensymmetrisch.

  Als rationale Funktion bezeichnen wir solche Funktionen, deren Funktionsterm eine Summe von Potenzen der Variable $x$ ist. Die Exponenten dieser Polynomfunktionen sind ganze Zahlen. Solche rationalen Funktionen sind genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind. Denn für ungerade Exponenten $n$ gilt immer:

  $(-x)^n = (-1)^n \cdot x^n = {-x^n}$

  Um die Symmetriebedingung überprüfen zu können, dürfen die Exponenten einer rationalen Funktion auch negativ sein. Bruchzahlen im Exponenten sind im Allgemeinen aber ausgeschlossen. Denn in solche Funktionen können wir in der Regel nicht alle $x$ und $-x$ einsetzen. Die Funktion $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ zum Beispiel ist für negative $x$ nicht definiert, daher können wir auch nicht das Negative eines beliebigen Wertes $x \in \mathbb D$ einsetzen.

  Die Funktion $f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ ist also weder achsen- noch punktsymmetrisch, weil die Bedingung

  $f(x) = \pm f(-x)$ gar nicht für jedes $x \in \mathbb D$ überprüfbar ist.

• Bestimme die Symmetrieeigenschaften der Funktionen.

  Tipps

  Eine ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Potenzen ungerade sind.

  Eine ganzrationale Funktion mit geraden und ungeraden Potenzen ist nicht achsensymmetrisch und nicht punktsymmetrisch.

  Lösung

  Eine Funktion heißt punktsymmetrisch, wenn für alle $x \in \mathbb D$ gilt: $f(-x) = -f(x)$. Gilt stattdessen $f(-x) = f(x)$ für alle Werte $x$ des Definitionsbereiches $\mathbb D$, so ist die Funktion achsensymmetrisch. Ist keines der beiden Kriterien erfüllt, so ist die Funktion nicht symmetrisch. Dies tritt insbesondere dann auf, wenn die Bedingung $f(-x) = f(x)$ bzw. $f(-x) = -f(x)$ nicht für jedes $x \in \mathbb D$ erfüllt ist oder die Funktion nicht für jedes $x \in \mathbb D$ definiert ist.

  Dies sind die korrekten Aussagen:

  • Die Funktion $f(x) = \ln(x)$ ist nicht für jedes $-x$ mit $x \in \mathbb D$ definiert.

  Denn der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ ist nur für positive Werte $x>0$ definiert. Daher gibt es kein Paar von Werten $x$ und $-x$, die beide im Definitionsbereich der Funktion $f(x) = \ln(x)$ liegen, also für die gilt: $x,-x \in \mathbb D$.

  
  

  • Die Funktion $f(x) = \dfrac{4}{3}x^5-8x^3+7x$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

  Denn die Bedingung $f(-x) = -f(x)$ ist erfüllt. Das erkennen wir auch daran, dass alle Potenzen von $x$ der ganzrationalen Funktion ungerade sind.

  
  

  • Die Funktion $f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{1000}$ erfüllt die Bedingung $f(x) = f(-x)$ für alle $x \in \mathbb D$.

  Setzen wir hier anstelle von $x$ den Wert $-x$ in den Funktionsterm ein, so vertauschen sich nur die Rollen der beiden Summanden im Zähler. Die Summe selbst und damit auch der Funktionswert ändert sich nicht.

  
  

  • Die Funktion $f(x) = \dfrac{2}{3}x^4-\dfrac{5}{6}x^3-\dfrac{1}{3}x^2$ erfüllt die Bedingung $f(x) = \pm f(-x)$ nicht für alle $x,-x \in \mathbb D$.

  Das erkennen wir daran, dass sowohl gerade als auch ungerade Potenzen der Variable $x$ vorkommen. Wir können aber auch einen Wert einsetzen und die Bedingung überprüfen:

  $f(1) = \dfrac{2}{3}1^4-\dfrac{5}{6}1^3-\dfrac{1}{3}1^2 = -\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2}$, aber

  $f(-1) = \dfrac{2}{3}(-1)^4-\dfrac{5}{6}(-1)^3-\dfrac{1}{3}(-1)^2= \dfrac{7}{6} \neq \pm \dfrac{3}{6}$.

  
  

  Hinweis: Keine der gegebenen Funktionen ist punkt- und achsensymmetrisch.

• Ermittle, welche Art von Symmetrie die Funktionen aufweisen.

  Tipps

  Beachte die Definitionsbereiche der Funktionen!

  Setze $-x$ anstelle von $x$ in den Funktionsterm ein und vergleiche das Ergebnis mit dem Funktionsterm $f(x)$.

  Beispiel:

  Die Funktion $f(x) = x \cdot \sin(x)$ ist punktsymmetrisch:

  $f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin(x)) = x \cdot \sin(x) = f(x)$

  Lösung

  Eine Funktion heißt punktsymmetrisch, wenn für alle $x \in \mathbb D$ gilt: $f(-x) = -f(x)$. Gilt stattdessen $f(-x) = f(x)$ für alle Werte $x$ des Definitionsbereiches $\mathbb D$, so ist die Funktion achsensymmetrisch. Ist keines der beiden Kriterien erfüllt, so ist die Funktion nicht symmetrisch. Dies tritt insbesondere dann auf, wenn die Bedingung $f(-x) = f(x)$ bzw. $f(-x) = -f(x)$ nicht für jedes $x \in \mathbb D$ erfüllt ist oder die Funktion nicht für jedes $x \in \mathbb D$ definiert ist.

  Hier ist die korrekte Zuordnung:
  Punktsymmetrische Funktionen:

  • $f(x) = \dfrac{x^4-3x^2}{x}$: Du kannst ein $x$ kürzen und erhältst $f(x) = 4x^3+3x$. Wegen der ungeraden Potenzen ist $f$ punktsymmetrisch.
  • $f(x) = 5x^5+3x^3-x^1$: Die Funktion ist ganzrational mit ungeraden Potenzen, also punktsymmetrisch.
  • $f(x) = \sqrt[3]{x}$: Die dritte Wurzel ist auch für negative $x$ definiert. Sie nimmt negative Werte an, wenn $x$ negativ ist und positive Werte, wenn $x$ positiv ist. Außerdem ist $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. Also ist $f$ punktsymmetrisch.
  • $f(x) = \sin(x)\cos(x)$: Setzt du $-x$ in die Funktion ein, erhältst du durch die Achsensymmetrie der Cosinusfunktion und der Punktsymmetrie der Sinusfunktion $f(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = -\sin(x)\cos(x)$. Die Funktion $f$ ist also punktsymmetrisch.

  
  Achsensymmetrische Funktionen:

  • $f(x) = -x^4-x^2-1$: Die ganzrationale Funktion enthält nur gerade Potenzen von $x$. Sie ist also achsensymmetrisch.
  • $f(x) = (x^2-1)^2$: Durch Ausmultiplizieren erhältst du $f(x) = x^4-2x^2+1$, also wieder eine ganzrationale Funktion mit geraden Exponenten.
  • $f(x) = \sin(x^2)$: Setzt du $-x$ anstelle von $x$ in den Funktionsterm ein, so ändert sich dieser nicht: $\sin((-x)^2) = \sin(x^2)$.
  • $f(x) = \cos(-x)$: Ersetzt du $x$ durch $-x$, so erhältst du: $f(-x) = \cos(-(-x)) = \cos(x)$. Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch, daher ist $\cos(x) = \cos(-x) = f(x)$. Die Funktion $f$ ist also achsensymmetrisch.

  
  Nicht symmetrische Funktionen:

  • $f(x) = (x-1)^2$: Mit der zweiten binomischen Formel erhältst du $f(x) = x^2-2x+1$. Diese ganzrationale Funktion enthält sowohl gerade als auch ungerade Exponenten. Sie ist also nicht symmetrisch.
  • $f(x) = \ln(x+4)$: Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Variablenwerte definiert. Hier ist also $\mathbb D_f = (-4,\infty)$. Du erkennst am Definitionsbereich, dass die Funktion nicht symmetrisch ist, da du zwar $f(5) = \ln(9)$ berechnen kannst, aber $f(-5) = \ln(-1)$ nicht definiert ist. Also kann auch nicht $f(-5) =\pm f(5)$ gelten.
  • $f(x) = x^3-x^2+x^1-1$: Die Funktion ist ganzrational mit geraden und ungeraden Exponenten, also nicht symmetrisch.

• Leite die Symmetrieeigenschaften des Graphen aus dem Funktionsterm ab.

  Tipps

  Ist $f(x)$ eine beliebige Funktion mit Definitionsbereich $\mathbb D_f$, so ist wegen $(-x)^2 = x^2$ die Funktion $g(x) := f(x^2)$ stets achsensymmetrisch.

  Eine Funktion mit Definitionsbereich $\mathbb D_f= (0,\infty)$ kann nicht symmetrisch sein.

  Lösung

  Wir gehen die Funktionen im Einzelnen durch:

  
  

  $f(x) = \sqrt{x^2+2}$:

  • Die Funktion ist achsensymmetrisch.
  • Die Wurzelfunktion kannst du zwar nur auf nicht-negative Werte anwenden, das stört aber hier nicht, denn unter der Wurzel steht $x^2+2$ und das ist immer positiv.
  • Du erkennst die Symmetrie der Funktion an dem Ausdruck $x^2$ unter der Wurzel; genau daran, dass nur die Potenz $x^2$ im Funktionsterm vorkommt. Setzt du $-x$ in die Funktion ein, so steht unter der Wurzel

  $(-x)^2+2=x^2+2$, was dasselbe ist wie $f(x)$.

  
  

  $f(x) = e^{\ln(x)}$:

  • Die Funktion ist nicht symmetrisch.
  • Man könnte meinen, dass $f(x)=e^{\ln(x)}=x$ gilt und die Funktion $x$ punktsymmetrisch ist. Aber das stimmt nicht: Die Funktion $\ln(x)$ ist nur auf $\mathbb{D_{\ln}} = (0,\infty)$ definiert. Daher ist auch $\mathbb D_f = (0,\infty)$. Der Definitionsbereich der punktsymmetrischen Funktion $x$ dagegen ist $\mathbb D_x=\mathbb R$.
  • Dass $f(x) = e^{\ln(x)}$ nicht symmetrisch ist, erkennst du also an dem Term $\ln(x)$.

  
  

  $f(x) = \sin(x^2) - \sin(x)^2$:

  • Die Funktion ist achsensymmetrisch.
  • Zwar ist die Sinusfunktion punktsymmetrisch, aber das stört hier nicht, denn in diese Funktion werden nur Werte der Form $x^2$ eingesetzt.
  • Dass die Funktion achsensymmetrisch ist, erkennst du also daran, dass die Variable nur quadratisch, also nur als Term der Form $x^2$ vorkommt.

  
  

  $f(x) = (x^5-2x^3+x)^2$:

  • Die Funktion ist achsensymmetrisch.
  • Zwar steht in der Klammer eine punktsymmetrische Funktion, aber die gesamte Klammer wird noch quadriert.
  • Rechnest du die quadrierte Klammer aus, so erhältst du $f(x) = x^{10} -4x^8+6x^6-4x^4+x^2$. Dies ist eine rationale Funktion mit geraden Exponenten, also achsensymmetrisch.
  • Dass die Funktion achsensymmetrisch ist, erkennst du also an dem Exponenten $2$ an der Klammer.

  
  

  $f(x) = g(-x) - g(x)$:

  • Die Funktion ist punktsymmetrisch.
  • Dass $g$ eine beliebige Funktion ist, also gar keine Symmetrie haben muss, stört hier nicht. Du kannst einfach $-x$ anstelle von $x$ in $f$ einsetzen und den Funktionsterm ausrechnen:

  $f(-x) = g(-(-x)) - g(-x) = g(x) - g(-x)$. Um diesen Term mit $f(x)$ zu vergleichen, klammerst du $(-1)$ aus: $f(-x) = g(x) - g(-x) =(-1) \cdot (-g(x) +g(-x)) = -(g(-x) -g(x)) = -f(x)$.

  • Dass $f$ punktsymmetrisch ist, liegt also an den beiden Minuszeichen.
  • Würdest du z.B. das Minuszeichen in der Mitte zwischen den beiden Termen durch ein Pluszeichen ersetzen, so würde die Funktion achsensymmetrisch werden.
  • Auch mit einem Malzeichen statt einem Pluszeichen in der Mitte wäre sie achsensymmetrisch.
  • Ersetzt du das Minuszeichen in der Klammer durch ein Pluszeichen, so ist die Funktion $0$.
  • Ersetzt du beide Minuszeichen durch Pluszeichen, so ist die Funktion im Allgemeinen nicht mehr symmetrisch.

• Berechne die Funktionswerte für $x = 1$ und $x = -1$.

  Tipps

  Setze überall dort, wo $x$ steht, den Wert $1$ ein, um den Funktionswert $f(1)$ zu berechnen.

  Für Potenzen von $-1$ gilt: $(-1)^n = 1$, falls $n$ eine gerade Zahl ist und $(-1)^n = -1$, falls $n$ eine ungerade Zahl ist.

  Beispiel: $f(x) = x^3-2x^2$:

  $f(-1) = (-1)^3 -2 \cdot (-1)^2 = (-1) - 2 \cdot (+1) = -1-2 = -3$

  Lösung

  Wir gehen die Rechnung einzeln durch:

  Die Funktion ist

  $f(x) = \dfrac{2}{3}x^4 -\dfrac{5}{6} x^3-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{6}$.

  Um den Funktionswert an der Stelle $x=1$ zu berechnen, also $f(1)$, setzen wir überall den Wert $1$ anstelle von $x$ ein und benutzen, dass $1^n=1$ für jeden Exponenten $n$ ist:

  $ \begin{array}{lll} f(1) &= \dfrac{2}{3} \cdot (1)^4-\dfrac{5}{6} \cdot (1)^3-\dfrac{1}{3} \cdot (1)^2+\dfrac{1}{6} \qquad &\Big| \text{berechne Potenzen} \\ & & \\ &= \dfrac{2}{3} -\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \qquad &\Big| \text{erweitere zum Nenner $6$} \\ & & \\ &= \dfrac{4}{6} -\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6} \qquad &\Big| \text{fasse zusammen} \\ & & \\ &= -\dfrac{2}{6} &\Big| \text{kürze} \\ & & \\ &= -\dfrac{1}{3} &\\ \end{array} $

  Ganz analog setzen wir nun den Wert $x=-1$ ein. In der Rechnung beachten wir, dass $(-1)^n =1$, wenn $n$ gerade ist und $(-1)^n=-1$, wenn $n$ ungerade ist:

  $ \begin{array}{lll} f(-1) &= \dfrac{2}{3} \cdot (-1)^4-\dfrac{5}{6} \cdot (-1)^3-\dfrac{1}{3} \cdot (-1)^2+\dfrac{1}{6} \qquad &\Big| \text{berechne Potenzen} \\ & & \\ &= \dfrac{2}{3} +\dfrac{5}{6} -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \qquad &\Big| \text{erweitere zum Nenner $6$} \\ & & \\ &= \dfrac{4}{6} +\dfrac{5}{6} -\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} \qquad &\Big| \text{fasse zusammen} \\ & & \\ &= \dfrac{8}{6} \qquad &\Big| \text{kürze} \\ & & \\ &= \dfrac{4}{3} & \end{array} $

• Analysiere die Sätze.

  Tipps

  Die Spiegelung einer Funktion $f(x)$ an der $y$-Achse ergibt die Funktion $g(x) = f(-x)$.

  Ist $\mathbb D_f$ nicht symmetrisch zum Ursprung, so gibt es ein $x \in \mathbb D_f$ mit $-x \notin \mathbb D_f$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Es gibt eine Funktion, die sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch ist.

  Eine solche Funktion müsste die Bedingungen $f(-x) = f(x)$ erfüllen, um achsensymmetrisch zu sein und die Bedingung $f(-x) = -f(x)$, um punktsymmetrisch zu sein. Setzen wir die beiden rechten Seiten gleich, so erhalten wir: $f(x) = -f(x)$. Für jedes $x \in \mathbb D$ muss also der Funktionswert mit seiner Gegenzahl identisch sein. Es gibt nur eine Zahl, für die das gilt, nämlich $0$. Also muss der Funktionswert überall $0$ sein. Die Funktion $f(x) = 0$ ist tatsächlich punktsymmetrisch und achsensymmetrisch.

  • Ist eine Funktion $f$ symmetrisch, so ist auch ihr Definitionsbereich symmetrisch, d.h. für jedes $x \in \mathbb D_f$ ist auch $-x \in \mathbb D_f$.

  Andernfalls ist die Symmetriebedingung $f(-x) = \pm f(x)$ nicht für jedes $x \in \mathbb D$ definiert, also auch nicht erfüllt.

  • Spiegelt man den Funktionsgraphen einer punktsymmetrischen Funktion an der $y$-Achse, so erhält man wieder eine punktsymmetrische Funktion.

  Die Spiegelung an der $y$-Achse entspricht der Ersetzung der Funktion $f(x)$ durch die Funktion $g(x):=f(-x)$. Ist die Funktion $f$ punktsymmetrisch, so ist $f(-x) = -f(x)$ bzw. $f(x) = -f(-x)$. Für die Funktion $g$ berechnen wir: $g(-x) = f(-(-x)) = f(x) = -f(-x) = -g(x)$. Also ist $g$ punktsymmetrisch.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Ist $f(x)$ punktsymmetrisch und $g(x)$ achsensymmetrisch, so ist $f(x) \cdot g(x)$ nicht symmetrisch.

  Das Produkt einer achsen- und einer punktsymmetrischen Funktion ist stets punktsymmetrisch, denn Minus mal Plus ergibt Minus: Ist $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, so ist $h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = -f(x) \cdot g(x) = -h(x)$. Also ist $h$ punktsymmetrisch.

  • Hat eine Funktion eine Definitionslücke bei einem Wert $x \neq 0$, so ist sie nicht symmetrisch.

  Die Definitionslücke kann z.B. der Wert $0$ sein. Dies ist der Fall bei der Funktion $f(x) = \frac{x}{|x|}$. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert. Für $x \neq 0$ gilt aber: $f(-x) = -f(x)$, also ist $f$ punktsymmetrisch. Die Definitionslücke kann auch ein Wert $x \neq 0$ sein, also $x \notin \mathbb D_f$. Ist dann auch $-x \notin \mathbb D_f$, so kann $f$ symmetrisch sein.

  • Die Funktion $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ist nicht symmetrisch, denn $\sin(x)$ und $\cos(x)$ haben verschiedene Symmetrien.

  Die Funktion $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb D_f = (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ist punktsymmetrisch.