Extrempunkte bestimmen – Beispiele

Extrempunkte bestimmen – Beispiele Übung

• Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung der Extrempunkte einer Funktion.

  Tipps

  Wir ermitteln zunächst mögliche Extrempunkte als Nullstellen der ersten Ableitung.

  Die $y$-Koordinate eines Extrempunkts ergibt sich durch Einsetzen des $x$-Wertes in den Funktionsterm.

  Lösung

  Wir betrachten das Vorgehen zur Bestimmung der Extrempunkte einer Funktion an einem Beispiel:
  Die Extrempunkte einer Funktion $f(x) = (x + 2)^4$ können wir rechnerisch mithilfe der ersten und zweiten Ableitung bestimmen. Dazu gehen wir folgendermaßen vor:

  $1$. Erste Ableitung bestimmen:
  Wir verwenden die Kettenregel und erhalten: $f'(x) = 4(x + 2)^3$

  $2$. Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln:
  Wir setzen $f'(x)$ gleich $0$ und erhalten: $4(x + 2)^3 = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$.
  Der Graph von $f$ hat also bei $x = -2$ eine waagrechte Tangente und somit möglicherweise einen Extrempunkt.

  $3$. Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen:
  Wir bilden zunächst die zweite Ableitung: $f''(x) = 12(x + 2)^2$ und setzen $x = -2$ ein:
  $f''(-2) = 12(-2 + 2)^2 = 12 \cdot 0 = 0$. Da die zweite Ableitung ebenfalls $0$ ist, können wir keine Aussage treffen.

  $4$. Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:
  Wir betrachten das Vorzeichen der ersten Ableitung um die Nullstelle bei $x = -2$: $f'(x) \begin{cases} -~\text{für}~x < -2 \\ +~\text{für}~x > -2 \end{cases}$
  Es liegt ein Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv vor, das heißt $f(x)$ hat bei $x = -2$ einen Tiefpunkt.

  $5$. Nullstellen in den Funktionsterm einsetzen:
  Wir bestimmen die $y$-Koordinate, indem wir $x = -2$ in $f(x)$ einsetzen: $f(-2) = (-2 + 2)^4 = 0$

  $6$. Art und Koordinaten der Extrempunkte angeben:
  Der Graph von $f(x)$ hat einen Tiefpunkt $T(-2 \vert 0)$.

• Gib die Extrempunkte der Funktion $g(x)$ an.

  Tipps

  Beispiel: Ableitungen einer Funktion

  $f(x) = 2(x + 5)^3$
  $f'(x) = 6(x + 5)^2$
  $f''(x) = 12(x + 5)$

  Vorzeichenwechsel der Ableitung:

  • von minus nach plus $\Rightarrow$ Tiefpunkt
  • von plus nach minus $\Rightarrow$ Hochpunkt

  Lösung

  Die Extrempunkte einer Funktion haben stets eine waagrechte Tangente. Wir betrachten daher die Nullstellen der ersten Ableitung als mögliche Extremstellen.

  $g(x) = (x-1)^4$

  Erste Ableitung mit der Kettenregel:
  $g'(x) = 4(x-1)^3$

  Nullstellen der ersten Ableitung:
  $4(x-1)^3 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x-1 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = 1$

  $x_0 = 1$ ist also Nullstelle der ersten Ableitung $g'(x)$.

  Zweite Ableitung der Funktion:
  $g''(x) = 4 \cdot 3(x-1)^2 = 12(x-1)^2$

  Wir setzen die Nullstelle der ersten Ableitung $x_0= 1$ in die zweite Ableitung ein:
  $g''(1) = 12(1-1)^2 = 12 \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow$ keine Aussage möglich

  Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten Ableitung in der Umgebung der Nullstelle:
  $g'(x) \begin{cases} \lt 0 ~\text{für}~x < 1 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 1 \end{cases}$
  Es gibt einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus, daher hat der Graph von $g$ bei $x = 1$ einen Tiefpunkt.

  Einsetzen von $x = 1$ in $g(x)$:
  $g(1) = (1-1)^4 = 0^4 = 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt $(1 \vert 0)$

• Ermittle die Koordinaten der Extrempunkte der Funktion.

  Tipps

  Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung $f'(x)$.

  Du erhältst die $y$-Koordinate eines Punktes, indem du die $x$-Koordinate in den Funktionsterm $f(x)$ einsetzt.

  Beispiel: $x = 0$
  $f(0) = -0{,}5 \cdot 0^3 + 5{,}25 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 + 7 = 7$
  $\Rightarrow P(0 \vert 7)$ liegt auf dem Graphen von $f$.

  Lösung

  Um die Extrempunkte von $f(x) = -0{,}5x^3 + 5{,}25x^2 - 15x + 7$ zu ermitteln, bestimmen wir zunächst die erste Ableitung von $f(x)$ mit der Potenzregel:

  $f'(x) = -0{,}5 \cdot 3x^2 + 5{,}25 \cdot 2x - 15 = -1{,}5x^2 + 10{,}5x - 15$

  Wir berechnen die Nullstellen von $f'(x)$:
  $\begin{array}{ccl} -1{,}5x^2 + 10{,}5x - 15 & = & 0 \\ -1{,}5 (x^2 - 7x +10) & = & 0 \\ -1{,}5 (x - 2)(x - 5) & = & 0 \\ \end{array}$
  $\Rightarrow \quad x_1 = 2$ und $x_2 = 5$
  Hinweis: Die Nullstellen können auch über die Mitternachts- oder $pq$-Formel berechnet werden.

  Zweite Ableitung $f''(x)$:
  $f''(x) = -1{,}5 \cdot 2x + 10{,}5 = -3x + 10{,}5$

  Wir setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein:
  $f''(x_1) = -3 \cdot 2 + 10{,}5 = -6 + 10{,}5 = 4{,}5 \gt 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1 = 2$.
  $f''(x_2) = -3 \cdot 5 + 10{,}5 = -15 + 10{,}5 = -4,5 \lt 0 \Rightarrow$ Hochpunkt bei $x_2 = 5$.

  Wir setzen $x_1$ und $x_2$ in den Funktionsterm ein, um die $y$-Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen:
  $f(x_1) = -0{,}5 \cdot 2^3 + 5{,}25 \cdot 2^2 - 15 \cdot 2 + 7 = -4 + 21 - 30 + 7 = -6$
  $f(x_2) = -0{,}5 \cdot 5^3 + 5{,}25 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 + 7 = -62{,}5 + 131{,}25 - 75 + 7 = 0{,}75$

  Der Graph von $f(x)$ hat einen Hochpunkt $H(5 \vert 0{,}75)$ und einen Tiefpunkt $T(2 \vert -6)$.

• Entscheide, welche Arten von Extrempunkten eine Funktion hat.

  Tipps

  Kriterien für Hochpunkt:

  $f'(x) = 0$ und
  $f''(x) \lt 0$

  oder

  $f'(x) = 0$ und
  $f'(x)$ hat an der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus.

  Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist nicht immer auch ein Extrempunkt.

  Lösung

  Die Extremstellen einer Funktion können wir mithilfe der Ableitung bestimmen. Dabei gelten die folgenden Kriterien:

  Hochpunkt:
  $f'(x) = 0$ und $f''(x) \lt 0$ oder
  $f'(x) = 0$ und $f'(x)$ hat an der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.

  Tiefpunkt:
  $f'(x) = 0$ und $f''(x) \gt 0$ oder
  $f'(x) = 0$ und $f'(x)$ hat an der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.

  Gilt für eine Nullstelle $x_0$ der ersten Ableitung: $f''(x_0) = 0$ und $f'(x)$ hat bei $x_0$ keinen Vorzeichenwechsel, dann handelt es sich um einen Sattel- oder Terassenpunkt, nicht um ein Extremum.

  
  

  Betrachten wir die Funktionen:

  $f_1(x) = x^3$
  $f_1'(x) = 3x^2 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_0 = 0$.
  $f_1''(x) = 6x \Rightarrow f_1''(x_0) = 0$
  Vorzeichen von $f_1'(x)$ in der Umgebung von $x_0$: $f_1'(x) \begin{cases} \gt 0 ~\text{für}~x < 0 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 0 \end{cases}$
  $\Rightarrow$ kein Extremum

  
  

  $f_2(x) = (x-7)^4 + 1$
  $f_2'(x) = 4(x-7)^3 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_0 = 7$.
  $f_2''(x) = 12(x-7)^2 \Rightarrow f_2''(x_0) = 0$
  Vorzeichen von $f_2'(x)$ in der Umgebung von $x_0$: $f_2'(x) \begin{cases} \lt 0 ~\text{für}~x < 7 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 7 \end{cases}$
  $\Rightarrow$ Tiefpunkt, da Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.

  
  

  $f_3(x) = -0{,}5x^2-3x+0{,}5$
  $f_3'(x) = -x - 3 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_0 = -3$.
  $f_3''(x) = -1 \Rightarrow f_3''(x_0) = -1$
  $\Rightarrow$ Hochpunkt, da $f_3''(x_0) \lt 0$.

  
  

  $f_4(x) = -x^3+10{,}5x^2-30x+22$
  $f_4'(x) = -3x^2 + 21x - 30 \Rightarrow$ Nullstellen bei $x_1 = 2$ und $x_2 = 5$.
  $f_4''(x) = -6x + 21 \Rightarrow f_4''(x_1) = 9$ und $f_4''(x_2) = -9$
  $\Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1$ und Hochpunkt bei $x_2$, da $f_4''(x_1) \gt 0$ und $f_4''(x_2) \lt 0$.

  
  

  $f_5(x) = x^4-4x^3+16x-10$
  $f_5'(x) = 4x^3-12x^2+16 = 4(x^3-3x^2+4) \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_1 = -1$ durch Einsetzen.
  Term mit Polynomdivision faktorisiert: $4(x^3-3x^2+4) = 4(x+1)(x^2-4+4) = 4(x+1)(x-2)^2 \Rightarrow$ Nullstelle $x_2 = 2$
  $f_5''(x) = 12x^2-24x \Rightarrow f_5''(x_1) = 36$ und $f_5''(x_2) = 0$
  $\Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1$, da $f_5''(x_1) \gt 0$.
  Vorzeichen von $f_5'(x)$ in der Umgebung von $x_2$: $f_5'(x) \begin{cases} \gt 0 ~\text{für}~x < 2 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 2 \end{cases}$
  $\Rightarrow$ kein Extremum bei $x_2$.

  
  

  $f_6(x) = \sin(x)$
  Wir erkennen bereits am Graphen, dass die Sinusfunktion Hochpunkte und Tiefpunkte besitzt.
  Auch hier können wir dies über die erste und zweite Ableitung rechnerisch zeigen:
  $f_6'(x) = \cos(x)$ hat Nullstellen bei $\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ für $k \in \mathbb{Z}$.
  $f_6''(x) = -\sin(x)$ hat an den Nullstellen der ersten Ableitung abwechselnd positive und negative Werte.
  $\Rightarrow$ Hochpunkte für $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ und Tiefpunkte für $x = -\frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$.

• Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Potenzregel:
  $(x^n)' = nx^{n-1}$

  Faktorregel:
  $(k \cdot u(x))' = k \cdot u'(x)$

  Summenregel:
  $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

  Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung:

  $f''(x) = (f'(x))'$

  Beispiel:

  $\displaystyle h(x) = \frac{1}{3}x^6 - 2x^3 + 5$
  $h'(x) = 2x^5 - 6x$
  $h''(x) = 10x - 6$

  Lösung

  Wir können Polynomfunktionen mithilfe der folgenden Regeln ableiten:

  Potenzregel:
  $(x^n)' = nx^{n-1}$

  Faktorregel:
  $(k \cdot u(x))' = k \cdot u'(x)$

  Summenregel:
  $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

  
  

  Beispiel 1:
  $\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 5x + 2$
  $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 5 = x^2 - 5$
  $f''(x) = 2x$

  Beispiel 2:
  $\displaystyle g(x) = 2x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{2}{3}$
  $\displaystyle g'(x) = 2 \cdot 4x^3 - 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x = 8x^3 - 3x^2 + 3x$
  $g''(x) = 8 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 3 = 24x^2 - 6x + 3$

• Beurteile die Aussagen zu Extrempunkten.

  Tipps

  Wenn du ein Gegenbeispiel zu einer Aussage findest, dann ist diese nicht korrekt.

  Hoch- und Tiefpunkte werden auch als lokale Extrempunkte einer Funktion bezeichnet.

  Lösung

  Wir betrachten die Aussagen:

  korrekte Aussagen:
  Eine Polynomfunktion mit zwei Hochpunkten hat immer auch zumindest einen Tiefpunkt.
  Bei einem Hochpunkt hat die erste Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. Damit es eine weitere solche Nullstelle geben kann, muss es zuvor eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv geben, also einen Tiefpunkt.

  Jede quadratische Funktion hat genau ein Extremum.
  Der Graph einer quadratischen Funktion ist stets eine Parabel, deren Scheitelpunkt ein Extremum ist. Rechnerisch hat eine quadratische Funktion die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \ne 0$. Damit gilt:

  • $f'(x) = ax + b$, eine Gerade, mit Steigung verschieden von $0$, die stets eine Nullstelle hat.
  • $f''(x) = a \ne 0$ nach Definition ist die zweite Ableitung verschieden von $0$, es liegt also ein Extrempunkt vor.

  
  

  falsche Aussagen:
  Eine Polynomfunktion von Grad $3$ hat mindestens ein Extremum.
  Die Funktion $f(x) = x^3$ ist ein Polynom dritten Grades ohne Extrempunkte. Es gilt:

  • $f'(x) = 3x^2 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x = 0$
  • $f''(x) = 6x \Rightarrow f''(0) = 0$
  • $f'(x)$ ist wegen des Quadrats immer positiv $\Rightarrow$ kein Vorzeichenwechsel bei $x = 0 \Rightarrow$ kein Extrempunkt

  In einem Hochpunkt nimmt eine Funktion den größtmöglichen Funktionswert an.
  Die Aussage gilt zwar, zum Beispiel, für eine nach unten geöffnete Parabel, ist aber im Allgemeinen nicht richtig. Die Funktion $f(x) = 9x^3 + 9x^2 - 9x - 4$ hat einen Hochpunkt bei $(-1 \vert 5)$, aber beispielsweise bei $x = 2$ mit $f(2) = 86$ einen größeren Funktionswert.
  Man nennt die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion daher auch lokale Extremstellen.

  Jede Nullstelle der ersten Ableitung ist eine Extremstelle der Funktion.
  Die Aussage trifft nur umgekehrt zu: Bei jeder Extremstelle einer Funktion hat die erste Ableitung eine Nullstelle.