Kurvendiskussion für quadratische Funktionen
Erfahre, wie du eine Kurvendiskussion bei einer quadratischen Funktion durchführst. Die Kurvendiskussion zeigt dir, wie du eine Funktion auf ihre wichtigsten Merkmale untersuchst und den Graphen skizzierst. Lerne, wie du den Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen und Extrempunkte ermittelst. Interessiert? Erfahre mehr im folgenden Text!
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Lerntext zum Thema Kurvendiskussion für quadratische Funktionen
Was ist eine Kurvendiskussion?
Unter einer Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung einer Funktion auf ihre charakteristischen Eigenschaften. Dabei hat man nur den Funktionsterm gegeben und soll am Ende der Kurvendiskussion in der Lage sein, die charakteristischen Punkte zu nennen und den Funktionsgraphen, also die Kurve, zu skizzieren. Du findest hier eine Einführung in die Kurvendiskussion.
Kurvendiskussion einer quadratischen Funktion
In diesem Lerntext wird eine Kurvendiskussion am Beispiel einer quadratischen Funktion durchgerechnet. Dazu werden der Definitionsbereich, die Symmetrie, die Nullstellen sowie Extrem- und Wendepunkte untersucht. Dabei werden wichtige allgemeine Regeln kurz wiederholt und die konkreten Rechenschritte für die Beispielfunktion erläutert.
| Aufgabe: |
|---|
| Führe eine Kurvendiskussion für ${f(x)=-0,25x^2+1,5x+1,75}$ durch! |
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte für $x$ in den Funktionsterm eingesetzt werden dürfen.
Einschränkungen im Definitionsbereich gibt es, wenn Rechnungen nicht definiert, d. h. nicht erlaubt sind. Aufpassen muss man z. B. bei Brüchen, bei denen die unabhängige Variable $x$ im Nenner auftritt (da man nicht durch null teilen darf), oder bei Wurzeln von $x$ (da man keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann). Für unsere Aufgabe, die sich auf eine quadratische Funktion bezieht, gibt es keine Einschränkungen im Definitionsbereich, denn man darf alle Zahlen für $x$ einsetzen.
Man schreibt $D_{f}=\mathbb{R}$, d. h: „Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.“
Symmetrie
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn gilt $f(-x)=f(x)$, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt $f(-x)=-f(x)$.
Hier findest du Erläuterungen zur Symmetrie von Funktionsgraphen. Die Symmetrieuntersuchung sollte man eher am Anfang einer Kurvendiskussion durchführen, da man Rechnungen verkürzen kann, falls eine Symmetrie vorliegt.
Um die Funktion auf Symmetrie zu untersuchen, bilden wir $f(-x)$ und $-f(x)$ und lösen die Klammern auf, um die Terme mit $f(x)$ zu vergleichen. Achte genau auf die Vorzeichen!
$f(-x)=-0,25(-x)^{2}+1,5(-x)+1,75=-0,25x^{2}-1,5x+1,75 \newline f(-x)\neq f(x) \implies \text{nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse}$
$-f(x)=-(-0,25x^2+1,5x+1,75)=0,25x^2-1,5x-1,75 \newline f(-x)\neq f(x) \implies \text{nicht punktsymmetrisch zum Ursprung}$
Somit liegt für $f$ keine der beiden untersuchten Symmetrien vor. Für quadratische Funktionen gilt im Allgemeinen: Sie können achsensymmetrisch zu $y$-Achse sein (und zwar genau dann, wenn sie kein Glied mit der Variable $x$ in der ersten Potenz enthalten), sind allerdings nie punktsymmetrisch.
Nullstellen
Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet bzw. berührt. Man findet sie durch Lösen der Gleichung $f(x)=0$.
Der erste Schritt ist also, die Funktion gleich null zu setzen:
$\begin{array}{ccl}f(x) & = & 0\\ -0,25x^2+1,5x+1,75 & = & 0\end{array}$
Anschließend wendet man ein geeignetes Lösungsverfahren an. In diesem Fall kann man die Mitternachtsformel oder $pq$-Formel anwenden. Wir entscheiden uns für Letzteres und stellen daher erst die Normalform her, setzen dann in die $pq$-Formel ein und rechnen aus:
$\begin{array}{lcll} -0,25x^2+1,5x+1,75 & = & 0 & \vert \cdot (-4) \\ \\ x^2-6x-7 & = & 0 \end{array}$
$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2}\right )^{2}-(-7)}=3 \pm \sqrt{9+7}=3 \pm 4$
$\implies x_{1}=7 \text{ und } x_{2}=-1$
Es gibt zwei Nullstellen, diese liegen bei $x_{1}=7$ und $x_{2}=-1$.
Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse findet man durch Berechnung von $f(0)$.
An unserer Beispielaufgabe kann man am absoluten Glied direkt ablesen, dass der $y$-Achsenabschnitt bei $1,75$ liegt. Falls man den Schnittpunkt mit der $y$-Achse nicht ablesen kann, muss man $0$ für $x$ einsetzen und ausrechnen:
$f(0)=-0,25\cdot 0^2+1,5\cdot 0+1,75=0+1,75=1,75$
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liegt bei $S(0\vert 1,75)$.
Ableitungen
Wir bilden die ersten beiden Ableitungen mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel.
$f(x)=-0,25x^2+1,5x+1,75$
$f^\prime(x)=-0,25\cdot 2 x^{2-1}+1,5x^{0}\newline f^\prime(x)=-0,5 x+1,5$
$ f^{\prime\prime}(x)=-0,5$
Extrempunkte
Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extrempunkts an der Stelle $x_E$ ist $f^\prime(x_E)=0$ und $f^{\prime\prime}(x_E) \neq 0$.
Zur Bestimmung der charakteristischen Punkte unterscheidet man zwischen der notwendigen Bedingung (Mindestanforderung für das Eintreten des Ereignisses) und der hinreichenden Bedingung (sichert das Eintreten des Ereignisses zu). Hier findest du weitere Erläuterungen zum Thema Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema.
Um die möglichen Extrempunkte zu finden, prüfen wir zunächst, an welchen Stellen die notwendige Bedingung $f^\prime (x)=0$ erfüllt ist.
Dazu setzen wir die erste Ableitung gleich null und bestimmen die Lösung der Gleichung:
$\begin{array}{lcll} f^\prime(x) & = & 0\\ \\ -0,5 x+1,5 & = & 0 & \vert -1,5\\ -0,5 x & = & -1,5 & \vert \cdot (-2)\\ x & = & 3\end{array}$
Somit gilt $f^\prime(3)=0$ und es könnte ein Extremum an der Stelle $x=3$ vorliegen.
Um die hinreichende Bedingung zu prüfen, muss man die mögliche Extremstelle $x_E$ in die zweite Ableitung einsetzen. Wenn neben $f^\prime(x_E)=0$ auch $f^{\prime\prime}(x_E)\neq0$ gilt, liegt ein Extremum vor. Zusätzlich erhält man die Information darüber, welche Art von Extremum vorliegt.
Es gilt:
$f^\prime(x_E)=0$ und $f^{\prime\prime}(x_E)<0 \implies \text {Hochpunkt}$
$f^\prime(x_E)=0$ und $f^{\prime\prime}(x_E)>0 \implies \text {Tiefpunkt}$
In diesem Fall lautet die zweite Ableitung $f^{\prime\prime}(x)=-0,5$, der Funktionsterm enthält kein $x$ und man muss nichts rechnen. Es gilt $f^{\prime\prime}(3)=-0,5$. Somit liegt ein Extremum vor und da ${-0,5<0}$ gilt, ist es ein Hochpunkt. Um die $y$-Koordinate zu bestimmen, setzen wir $x=3$ in den ursprünglichen Funktionsterm ein:
$f(3)=-0,25\cdot 3^2+1,5\cdot 3+1,75=4$
Die Funktion hat einen Extrempunkt, den Hochpunkt $HP(3\vert 4)$. Quadratische Funktionen haben immer genau einen Extrempunkt. Dieser ist ein Hochpunkt, wenn die entsprechende Parabel nach unten geöffnet ist, und ein Tiefpunkt, wenn sie nach oben geöffnet ist. Der Extrempunkt einer quadratischen Funktion ist gleichzeitig auch der Scheitelpunkt.
Hinweis: In einigen Fällen arbeitet man für die hinreichende Bedingung für Extrempunkte nicht mit der zweiten Ableitung, sondern mit dem Vorzeichenwechselkriterium.
Wendepunkte
Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts an der Stelle $x_W$ ist $f^{\prime\prime}(x_W)=0$ und $f^{\prime\prime\prime}(x_W) \neq 0$.
Auch um Wendepunkte zu finden, prüft man zunächst, an welchen Stellen die notwendige Bedingung $f^{\prime\prime}(x)=0$ erfüllt ist:
$f^{\prime\prime}(x)=0\newline -0,5 =0$
In dieser Gleichung ist kein $x$ enthalten und es ist eine unwahre Aussage. Also ist die Gleichung unlösbar und es gibt keine Stellen für einen möglichen Wendepunkt. Damit gibt es auch keine hinreichende Bedingung zu prüfen. Es gibt keine Wendepunkte. Auch diese Aussage lässt sich auf alle quadratischen Funktionen verallgemeinern.
Wertebereich
Der Wertebereich gibt an, welche Funktionswerte angenommen werden.
Wir wissen, dass ein Hochpunkt bei $HP(3\vert 4)$ liegt. Daher können keine Funktionswerte mit $y>4$ angenommen werden und für den Wertebereich gilt $W_f=]- \infty; 4]$.
Bei quadratischen Funktionen sind die Extrempunkte immer globale Extrempunkte, d. h., es handelt sich immer um den höchsten oder niedrigsten Punkt. Für den Wertebereich ergibt sich daher:
- $W_{f}=[y_{s};\infty[$, wenn das Vorzeichen von $x^{2}$ positiv ist
- $W_{f}=]-\infty;y_{s}]$, wenn das Vorzeichen von $x^{2}$ negativ ist
Dabei ist $y_{s}$ die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts $S(x_{s}\vert y_{s})$.
Skizze des Graphen
Die Skizze des Graphen muss alle charakteristischen Punkte enthalten.
Überlege dir vorher, welchen Teil des Definitionsbereichs du abbilden willst und wie groß das Koordinatensystem entsprechend sein muss. In diesem Beispiel müssen die Koordinatenachsen mindestens die Bereiche $-1\leq x \leq 7$ und $0\leq y\leq 4$ abdecken, damit die charakteristischen Punkte enthalten sind. Trage zuerst die bekannten Punkte ein. Skizziere dann den Graphen. Falls nötig, kannst du auch noch weitere Werte in einer Wertetabelle erfassen, indem du Werte für $x$ in den ursprünglichen Term einsetzt und $y$ berechnest.
| $x$ | $-2$ | $1$ | $2$ | $4$ | $5$ | $6$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-2,25$ | $3$ | $3,75$ | $3,75 $ | $3$ | $1,75$ | $ -2,25$ |
Kurvendiskussion für quadratische Funktionen Übung
-
Benenne die Fachbegriffe rund um die Kurvendiskussion.
TippsAbschnitt 1: Bestimmte Werte für $x$ dürfen genau dann nicht in den Funktionsterm eingesetzt werden, wenn die Rechnung "nicht erlaubt" (also nicht definiert) ist.
Abschnitt 2: In dem Punkt, in dem der Graph eine Achse schneidet, ist die andere Koordinate gleich null.
Abschnitt 3: Der Buchstabe im Index von $x$ gibt dir jeweils schon einen Tipp.
LösungDer Definitionsbereich gibt an, welche Werte für $x$ in den Funktionsterm eingesetzt werden dürfen.
Der Wertebereich gibt an, welche Funktionswerte $y$ angenommen werden.
Die Nullstellen findet man durch Lösen der Gleichung $f(x)=0$.
Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse findet man durch Berechnung von $f(0)$.
An der Stelle $x_{E}$ liegt ein Extrempunkt vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^\prime(x_E)=0$ und $f^{\prime\prime}(x_E) \neq 0$ erfüllt ist.
An der Stelle $x_W$ liegt ein Wendepunkt vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{\prime\prime}(x_W)=0$ und $f^{\prime\prime\prime}(x_W) \neq 0$ erfüllt ist.
Das Symmetrieverhalten wird mit $f(-x)$ untersucht. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn gilt $f(-x)=f(x)$ und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt $f(-x)=-f(x)$.
Die Skizze des Graphen muss alle charakteristischen Punkte enthalten.
-
Gib die besonderen Eigenschaften von quadratischen Funktionen an.
TippsZwei Aussagen sind korrekt.
Lösung- "Quadratische Funktionen haben einen Extrempunkt."
- "Quadratische Funktionen haben einen Wendepunkt."
- "Quadratische Funktionen haben zwei Nullstellen."
- "Quadratische Funktionen haben einen $y$-Achsenabschnitt."
- "Quadratische Funktionen sind weder achsensymmetrisch und noch punktsymmetrisch."
- Quadratische Funktionen haben den Definitionsbereich $D_{f}=\mathbb{R}$ und den Wertebereich $W_{f}=\mathbb{R}$.
-
Gib die Ableitungen und Extrempunkte an.
TippsDie notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums bei $x$ ist eine waagerechte Tangente an der Stelle $x$.
Lösung- $f(x)=x^2-4x+3$
$f^{\prime}(x)=0\implies2x-4=0 \implies 2x=4\implies x=2$
Hinweis: Bei einer Kurvendiskussion muss du die zweite Ableitung bilden und $x=2$ in die zweite Ableitung einsetzen, um die hinreichende Bedingung zu prüfen und zu untersuchen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Das ist bei dieser Aufgabe nicht gefordert, da die Extrempunkte bereits gegegeben sind und nur zugeordnet werden müssen, daher überspringen wir diesen Schritt.
$f(2)=2^2-4\cdot 2+3=-1$
Extremum bei $(2\vert -1)$
- $f(x)=-0,5x^2+1$
$f^{\prime}(x)=0\implies -x=0 \implies x=0$
$f(0)=-0,5\cdot 0^2+1=1$
Extremum bei $(0\vert 1)$
- $f(x)=-x^2+4x-2$
$f(2)=-2^2+4\cdot 2-2=2$
Extremum bei $(2\vert 2)$
-
Berechne die Nullstellen.
TippsSetze $f(x)=0$.
Achte darauf, die Normalform der quadratischen Gleichung herzustellen, bevor du die $pq$-Formel anwendest.
LösungBerechnung der Nullstellen
$f(x)=0$
$2x^2+4x-6=0 \quad \vert :2$
$x^2+2x-3=0$
$pq$-Formel:
$x_{1,2}=-1\pm 2$
$x_1=1$ und $x_2=-3$
-
Bestimme die $y$-Achsenabschnitte.
TippsWenn der Graph die $y$-Achse schneidet, ist der $x$-Wert gleich null.
Achte auf die Klammern!
Lösung- $f(x)=x^2-4x+2$
- $f(x)=x^2+6x-2$
- $f(x)=-2x^2+4x+4$
- $f(x)=2(x^2-4x-4)$
-
Berechne die Ableitung und die Extrempunkte.
TippsDie ersten beiden Ableitungen lauten:
$f^\prime(x)=-4x+12$ $f^{\prime\prime}(x)=-4$
Ist die zweite Ableitung an einer Extremstelle größer null, liegt ein Tiefpunkt vor.
Lösung$f(x)=-2x^2+12x-12$
Ableitungen:
$f^\prime(x)=-4x+12$ $f^{\prime\prime}(x)=-4$
Notwendige Bedingung ist $f^\prime(x)=0$.
$\implies -4x+12=0\implies -4x=-12 \implies x=3$
Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen:
$f^{\prime\prime}(3)=-4$
$\implies f^{\prime\prime}(3)<0$
Die hinreichende Bedingung $f^{\prime}(3)=0$ und $f^{\prime\prime}(3)<0$ ist erfüllt $\implies$ es liegt ein Hochpunkt an der Stelle $x=3$ vor.
$f(3)=-2\cdot 3^2+12\cdot 3-12=6$
Koordinaten des Hochpunkts sind $(3\vert 6)$.
Ganzrationale Funktionen – Definition und Beispiele
Einführung in die Kurvendiskussion
Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen
Symmetrie von Funktionsgraphen
Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen
Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
Nullstellen durch Substitution bestimmen
Nullstellen von Funktionen höheren Grades
Extrempunkte bestimmen – Beispiele
Zweite Ableitung und Wendepunkte
Kurvendiskussion für quadratische Funktionen
8'883
sofaheld-Level
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