Einführung in die Kurvendiskussion

Einführung in die Kurvendiskussion Übung

• Benenne Schritte einer Kurvendiskussion.

  Tipps

  Die Kurvendiskussion dient dazu, den Verlauf des Graphen anhand der Funktionsgleichung zu skizzieren.

  Skizze anhand markanter Punkte und Eigenschaften:

  Lösung

  Bei einer Kurvendiskussion geht es darum, den Verlauf eines Funktionsgraphen genauer zu untersuchen. Dazu werden markante Punkte und Eigenschaften der Funktion ermittelt und der Graph schließlich skizziert.

  Schritte bei der Kurvendiskussion:

  • Definitionsbereich – $\mathbb{D}$ gibt an, an welchen Punkten die Funktion definiert ist, also einen Funktionswert besitzt. Meistens gehen wir hier von $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ aus und nehmen Punkte raus, an denen der Graph nicht definiert sein kann. Zum Beispiel sind das Punkte, die den Nenner einer Funktion Null machen würden, denn man kann nicht durch Null teilen.
  • Achsenabschnitte – Es gibt die Schnittpunkte mit der $x$-Achse, die sogenannten Nullstellen und den Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
  • Globalverhalten und Grenzwerte – Wir untersuchen das Verhalten der Funktion für $\ x \to \pm \infty \ $ und an den Definitionslücken. Damit erkennen wir, ob die Funktion waagerechte und senkrechte Asymptoten besitzt.
  • Symmetrieverhalten – Ein Graph kann achsensymmetrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen.
  • Monotonieverhalten – Die Monotonie bzw. die Steigung des Funktionsgraphen wird durch die erste Ableitung charakterisiert.
  • Extrempunkte – Lokale Maxima und Minima werden über die Ableitungen bestimmt.
  • Krümmungsverhalten – Die Krümmung des Graphen wird durch die zweite Ableitung bestimmt.

  
  

  Nicht Teil einer Kurvendiskussion sind:

  • Integral – Über das Integral wird die Fläche zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse berechnet. Für den Verlauf des Graphen wird es nicht betrachtet.
  • Kombinationsverhalten – Diesen Begriff gibt es in der Mathematik nicht.

• Gib die Methoden an, mit denen du verschiedene Eigenschaften eines Funktionsgraphen ermittelst.

  Tipps

  Monotonie ist ein anderer Begriff für die Steigung eines Funktionsgraphen.

  Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen haben die Form:

  • $x$-Achse: $N_i (x_i \vert 0)$
  • $y$-Achse: $A(0 \vert y)$

  Lösung

  Bei einer Kurvendiskussion verwenden wir die mathematischen Methoden der Analysis, um markante Punkte und Eigenschaften eines Funktionsgraphen aus der Funktionsgleichung zu ermitteln.

  Dabei stehen uns unter anderem die folgenden Methoden zur Verfügung:

  • Nullstellen – Wir lösen die Gleichung $f(x) = 0$ nach $x$ auf.
  • $y$-Achsenabschnitt – Wir berechnen $f(0)$.
  • Globalverhalten – Wir bestimmen die Grenzwerte $\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)$.
  • Symmetrieverhalten – Wir betrachten $f(-x)$. Dabei gilt: eine Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $f(-x) = f(x)$ ist und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt.
  • Monotonieverhalten – Wir betrachten die erste Ableitung $f'(x)$, welche die Monotonie bzw. Steigung des Graphen beschreibt.
  • Krümmungsverhalten – Wir betrachten die zweite Ableitung $f''(x)$, welche die Krümmung des Graphen beschreibt.

• Analysiere den Graphen von $f~$ mit der Kurvendiskussion.

  Tipps

  Die Punkte, die den Nenner null machen, müssen aus der Definitionsmenge ausgenommen werden, da nicht durch $0$ geteilt werden darf.

  Graph von $f$:

  Lösung

  Bei der Kurvendiskussion untersuchen wir einen Funktionsterm, um den Verlauf des zugehörigen Graphen zu ermitteln. Wir betrachten hier die Funktion

  $f(x) = \dfrac{0{,}5(x + 1{,}5)(x - 1)(x - 2{,}5)}{x^2}$

  Der Funktionsgraph ist in der Abbildung zu sehen.

  Definitionsbereich:
  Da $f(x)$ ein Bruchterm ist und wir nicht durch $0$ teilen dürfen, müssen wir die Punkte aus dem maximalen Definitionsbereich $\mathbb{R}$ ausschließen, die den Nenner Null machen:
  $x^2 = 0$ für $x = 0$
  $\Rightarrow \quad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \{0\}$

  Achsenabschnitte:
  Die Nullstellen sind die Punkte, an denen der Graph die $x$-Achse schneidet. Sie sind Lösungen der Gleichung $f(x) = 0$:

  $f(x) = \dfrac{0{,}5(x + 1{,}5)(x - 1)(x - 2{,}5)}{x^2} \quad \Leftrightarrow \quad 0{,}5(x + 1{,}5)(x - 1)(x - 2{,}5) = 0 $

  $\begin{array}{llll} \Leftrightarrow & x + 1{,}5 = 0 & \Rightarrow & x_1 = -1{,}5 \\ \text{oder} & x - 1 = 0 & \Rightarrow & x_2 = 1 \\ \text{oder} & x - 2{,}5 = 0 & \Rightarrow & x_3 = 2{,}5 \\ \end{array}$

  Bei einem Bruchterm reicht es, die Nullstellen des Zähler zu betrachten. Die Faktoren des Produkts im Zähler können wir außerdem einzeln betrachten, da ein Produkt immer dann $0$ ergibt, wenn einer der Faktoren $0$ ist (Satz vom Nullprodukt).

  Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei $x = 0$, da $f(x)$ hier nicht definiert ist, gibt es keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

  Globalverhalten und Grenzwerte:

  Wir können mithilfe der Grenzwerte $x \to \pm \infty$ den Verlauf des Graphen gegen $\pm$ unendlich vorhersagen. Hier gilt:

  $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$

  $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$

  $\Rightarrow \quad$ Der Graph verläuft von links unten ($-\infty$) nach rechts oben ($+\infty$).

  Auch wie sich der Graph in der Umgebung der Definitionslücke bei $x = 0$ verhält, können wir über den Grenzwert oder eine Testeinsetzung feststellen:

  $f(-0{,}01) \approx 18\,887$

  $f(0{,}01) \approx 18\,612$

  $\Rightarrow \quad$ Der Graph verläuft um die Definitionslücke nach $+\infty$ bzw. nach oben.

  Diese Erkenntnisse sind bereits ausreichend, um den Graphen der Funktion grob zu skizzieren (vgl. Abbildung).

• Skizziere den Verlauf des Graphen.

  Tipps

  Versuche, die nicht passenden Graphen nach und nach über Kriterien der Kurvendiskussion auszuschließen.

  Betrachte die Nullstellen des Nenners ($\Rightarrow$ Definitionsbereich) und die des Zählers ($\Rightarrow$ Nullstellen).

  Das Globalverhalten kannst du durch Einsetzen bestimmen.

  Beispiel:
  $f(x) = {0{,}2x(x + 3)(x - 2)^2}{(x - 1) (x + 1)^2}$
  $f(-10\,000) \approx -2\,000$
  $f(10,000) \approx 2\,000$

  $\Rightarrow$ Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben.

  Lösung

  Die Kurvendiskussion nutzt die mathematischen Methoden der Analysis, um markante Punkte und Eigenschaften von Funktionsgraphen zu bestimmen. Anhand dieser können wir den Verlauf des Funktionsgraphen skizzieren.
  Dabei ist es oft ausreichend, nur einen Teil der Methoden zu verwenden, um einen groben Verlauf des Graphen vorhersagen zu können.

  Wir betrachten die Funktion

  $f(x) = \dfrac{-0{,}7x(x+3)(x-2)^2}{(x+2)^2(x-1)}$:

  Definitionsbereich:

  Wir betrachten den Nenner des Bruchs, da dieser nicht Null werden darf:

  $(x+2)^2(x-1) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = -2 \quad $ oder $ \quad x = 1$

  $\Rightarrow \quad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{-2; 1\}$

  Demnach hat der Graph senkrechte Asymptoten bei $x = -2$ und $x = 1$. $\Rightarrow$ Wir können die beiden Graphen mit anderen Asymptoten ausschließen.

  Nullstellen:
  Wir betrachten den Zähler des Bruchs, um die Nullstellen zu ermitteln:

  $-0{,}7x(x+3)(x-2)^2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = 0 \quad $ oder $\quad x_2 = -3\quad $ oder $\quad x_3 = 2 $

  Dabei sind $x_1$ und $x_2$ einfache Nullstellen, also Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Bei $x_3 = 2$ liegt wegen dem Quadrat eine doppelte Nullstelle, also ein Berührpunkt, vor.

  $\Rightarrow$ Wir können den Graphen ausschließen, der bei $x = 2$ einen Schnittpunkt und bei $x = 0$ einen Berührpunkt mit der $x$-Achse hat.

  Globalverhalten:

  Wir untersuchen das Globalverhalten durch Einsetzen großer Werte:

  $f(-10\,000) \approx 7\,003$

  $f(10\,000) \approx -6\,997$

  $\Rightarrow$ Der Graph verläuft von links oben ($+\infty$) nach rechts unten ($-\infty$).

  Damit können wir auf den oben dargestellten Graphen schließen.

  Hinweis: Wir können auch andere oder weitere Eigenschaften des Graphen ermitteln. Zum Beispiel das Verhalten an den Definitionslücken.
  Hier gilt wie bei den Nullstellen, dass bei $x = -2$ wegen des Quadrats kein Vorzeichenwechsel vorliegt bei $x = 1$ haben wir einen Vorzeichenwechsel. Zusammen mit dem Globalverhalten ergibt sich:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c} & x \lt -3 & -3 \lt x \lt -2 & -2 \lt x \lt 0 & 0 \lt x \lt 1 & 1 \lt x \lt 2 & 2 \lt x \\ \hline f(x) & + & - & - & + & - & -\\ \end{array}$

  Auch dieses Verhalten kannst du durch Einsetzen von Werten in der Umgebung der Definitionslücken und Nullstellen bestimmen.

• Bestimme die Achsenabschnitte.

  Tipps

  Schnittpunkte mit der $x$-Achse:
  $f(x) = 0$ nach $x$ auflösen.

  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
  $f(0)$ berechnen.

  Satz vom Nullprodukt:

  Ein Produkt ergibt $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

  Beispiel:
  $3 \cdot (x + 3) = 0$ für $x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3$

  Für Brüche gilt:

  $\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Zähler} = 0$

  Lösung

  Die Achsenabschnitte einer Funktion sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

  Schnittpunkte mit der $x$-Achse (Nullstellen):

  $\Rightarrow$ Auflösen von $f(x) = 0$ nach $x$

  Bei Brüchen ist es ausreichend, die Nullstellen des Zählers zu betrachten.

  Besteht der Funktionsterm aus einen Produkt, so können wir die Faktoren einzeln betrachten (Satz vom Nullprodukt).

  Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($y$-Achsenabschnitt):

  $\Rightarrow f(0)$ berechnen.

  
  

  Funktion 1:

  $f_1(x) = 2x - 4$ :

  Schnittpunkt mit der $x$-Achse:

  $2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow \underline{x_0 = 2}$

  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:

  $f_1(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4 \Rightarrow \underline{y = -4}$

  
  

  Funktion 2:

  $f_2(x) = -0{,}5(x - 1)(x + 6)$ :

  Schnittpunkte mit der $x$-Achse:

  $-0{,}5(x-1)(x+6) = 0 \Leftrightarrow x-1 = 0 \Rightarrow \underline{x_1 = 1}$ oder $x + 6 = 0 \Rightarrow \underline{x_2 = -6}$

  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:

  $f_2(0) = -0{,}5(0 - 1)(0 + 6) = -0{,}5 \cdot (-1) \cdot 6 = 3 \Rightarrow \underline{y = 3}$

  
  

  Funktion 3:

  $f_3(x) = \dfrac{(x + 7)(x + 4)}{(x - 2)}$ :

  Schnittpunkte mit der $x$-Achse:

  $\dfrac{(x + 7)(x + 4)}{(x - 2)} = 0 \Leftrightarrow (x + 7)(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x + 7 = 0 \Rightarrow \underline{x_1 = -7}$ oder $x + 4 = 0 \Rightarrow \underline{x_2 = -4}$

  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:

  $f(0) = \dfrac{(0 + 7)(0 + 4)}{(0 - 2)} = \dfrac{4 \cdot 7}{-2} = -14 \Rightarrow \underline{y = -14}$

• Entscheide, welchen Grad eine ganzrationale Funktion mit den gegebenen Eigenschaften mindestens haben muss.

  Tipps

  Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist die höchste Potenz von $x$, die der Funktionsterm enthält. Er ist maßgeblich für den möglichen Verlauf des Graphen.

  Beim Ableiten verringert sich der Grad einer ganzrationalen Funktion stets um $1$.

  Die maximale Anzahl an Nullstellen entspricht dem Grad einer ganzrationalen Funktion.

  Lösung

  Bei der Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen sind viele Eigenschaften vom Grad $n$ der Funktion, also der höchsten Potenz von $x$, die der Funktionsterm enthält, abhängig. Es gilt:

  • Eine ganzrationale Funktion hat maximal so viele Nullstellen wie ihr Grad.
  • Beim Ableiten verringert sich der Grad einer ganzrationalen Funktion stets um $1$. Daher entspricht die maximale Anzahl an Extrempunkten $n - 1$.

  Betrachten wir die geforderten Eigenschaften:

  Der Graph hat drei Extrempunkte.
  Bei jedem Extrempunkt hat die erste Ableitung eine Nullstelle. Die erste Ableitung muss also mindestens drei Nullstellen und somit Grad drei haben. Da sich der Grad der Funktion beim Ableiten um eins verringert, muss der Funktionsterm also mindestens den Grad $3 + 1 = \color{#669900}{\mathbf{4}}$ haben.

  Der Graph berührt die $x$-Achse in drei Punkten und schneidet die $y$-Achse bei $-4$.
  Ein Berührpunkt mit der $x$-Achse ist eine doppelte Nullstelle des Funktionsterms. Dieser muss also die Form ${(x - x_1)^2(x - x_2)^2(x - x_3)^2}$ haben. Daraus ergibt sich ${x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = x^6}$, also ein minimaler Grad von $\color{#669900}{\mathbf{6}}$. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse hat keine Auswirkung auf den minimalen Grad.

  Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat ein Maximum.
  Zunächst muss auch hier die Ableitung mindestens eine Nullstelle haben, damit der Graph ein Maximum besitzt. Das bedeutet für den Grad des Funktionsterms $n = 1 + 1 = 2$.
  Für die Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen gilt:

  • $f(x)$ ist achsensymmetrisch, wenn nur gerade Potenzen vorkommen. Dann bleiben alle Vorzeichen beim Einsetzen von $-x$ unverändert und es gilt: $f(-x) = f(x)$.
  • $f(x)$ ist punktsymmetrisch, wenn nur ungerade Potenzen vorkommen. Dann drehen sich alle Vorzeichen beim Einsetzten von $-x$ um und es gilt: $f(-x) = -f(x)$.

  Es dürfen also nur ungerade Potenzen vorkommen, damit der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen kann. Daher ist der minimale Grad die kleinste ungerade Zahl, die größer oder gleich $2$ ist.
  $\Rightarrow$ minimaler Grad: $\color{#669900}{\mathbf{3}}$

  
  

  Hinweis: Bei ganzrationalen Funktionen können wir sehr viel über den möglichen Verlauf des Graphen direkt am Funktionsterm ablesen. Neben dem Grad spielt auch der Koeffizient der höchsten vorkommenden Potenz dabei eine entscheidende Rolle. Sein Vorzeichen beeinflusst zum Beispiel das Globalverhalten:

  Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  $\qquad x \to -\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$

  $\qquad x \to -\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  Ist der Exponent gerade und der Koeffizient negativ, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  $\qquad x \to -\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient negativ, so gilt:

  $\qquad x \to +\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$

  $\qquad x \to -\infty \quad \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$