Steigung von Geraden – y=mx+b

Steigung von Geraden – y=mx+b Übung

• Bestimme die Normalform der Geradengleichung.

  Tipps

  Löse die Gleichung nach einer der Variablen auf.

  Der Zuwachs an verkauften Karten pro Sekunde Filmmaterial mit Schweinchen wird durch die Steigung der Geraden bestimmt.

  Die Normalform einer Geradengleichung ist $y = mx+b$.

  Lösung

  Schweinchen:

  • Um den linearen Zusammenhang zwischen der Länge des Filmmaterials in $\text s$ und den verkauften Karten besser zu verstehen, lösen wir die Gleichung nach der Variablen $y$ auf. Subtraktion von $120x$ und Division durch $-4$ auf beiden Seiten der Gleichung führen auf die neue Gleichung:

  $\begin{array}{llllll} && 120x -4y &=& 20 & \vert -120x \\ && -4y &=& -120x+ 20 & \vert :(-4) \\ && y &=& 30x -5 & \end{array}$

  • In dieser Gleichung ist $y$ als Funktion von $x$ erkennbar, genauer: als lineare Funktion. Der Einfluss des Schweinchen-Filmmaterials auf die Kartenverkäufe wird also durch eine lineare Funktion beschrieben.
  • Die Gleichung in dieser Form entspricht der Normalform $y=mx+b$ einer Geradengleichung. Hierbei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Aus der Steigung $m=30$ kann man ablesen, dass jede Sekunde an Filmmaterial mit Schweinchen $30$ zusätzlich verkaufte Tickets erbringt.

  Honigdachse:

  • Aus dem linearen Zusammenhang für die Honigdachse können wir ganz analog die Normalform einer Geradengleichung gewinnen. Subtraktion von $3x$ und Division durch $5$ führt auf die Normalform:

  $\begin{array}{llllll} && 3x +5y &=& 10 & \vert -3x \\ && 5y &=& -3x+ 10 & \vert :5 \\ && y &=& -\frac 35 x +2 & \end{array}$

  • Die Steigung $m= -\frac{3}{5}$ bedeutet, dass für jede $x=5~\text s$ Filmmaterial sich der Kartenverkauf um $m \cdot 5 = -\frac{3}{5} \cdot 5 = -3$ ändert. Der Produzent verliert also $3$ zahlende Kunden.
  • Der $y$-Achsenabschnitt der Honigdachs-Gerade ist $b =2$.

  Interpretation

  • Die Steigung der Geraden ist ein Maß für den Zuwachs der Karten in Abhängigkeit der Länge des Filmmaterials mit Schweinchen bzw. Honigdachsen. Eine Schweinchen-Sekunde steigert den Kartenverkauf um $30$ Karten, drei Honigdachs-Sekunden verringern ihn um $3$ Karten.
  • Die $y$-Achsenabschnitte sind weniger leicht zu interpretieren. Bei den Schweinchen ist $b= -5$. Das würde bedeuten: $0~\text s$ Schweinchen reduzieren den Kartenverkauf um $5$. Filme ganz ohne Schweinchen sind demnach kommerziell aussichtslos, sie bringen weniger als gar keine Einnahmen durch Kartenverkäufe. Bei den Honigdachsen ist immerhin $b = 2$. Filme ohne Dachse verkaufen demnach $2$ Karten.

• Bestimme die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

  Tipps

  Bestimme die Werte der linearen Funktionen bei $x=0$, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu erhalten.

  Die Steigung ist ein Maß für den Zuwachs $\Delta y$ der linearen Funktion innerhalb einer Einheit $\Delta x$ der Variablen.

  Bestimme den Wert der Koala-Funktion bei $x=3$, um die Anzahl verkaufter Karten durch drei Sekunden Filmmaterial mit Koalas zu erhalten.

  Lösung

  Die linearen Gleichungen aus der Aufgabenstellung kannst Du durch Auflösen nach $y$ auf die folgende Normalform einer Geradengleichung bringen:

  $y=mx+b$.

  Die Steigung $m$ ist der Koeffizient der Variablen $x$, der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist der Wert der linearen Funktion bei $x=0$.

  Für die Koalas finden wir $m=\frac{500}{3}$ und $b=0$. Die Steigung $m=\frac{500}{3}$ bedeutet: Jede $3~\text s$ Koala-Filmmaterial erhöhen die Anzahl der verkauften Karten um $500$. Daraus folgt, je länger das Filmmaterial mit Koalas, desto mehr Karten werden verkauft.

  Für die Schweinchen erhalten wir $m=30$ und $b=-5$.

• Untersuche die Aussagen über Geradengleichungen.

  Tipps

  Punkte des Funktionsgraphen von $y= mx+b$ haben die Koordinaten $(x|y)$.

  Überlege, ob sich die $y$-Achse in der Normalform $y=mx+b$ darstellen lässt.

  Den $y$-Achsenabschnitt erhältst Du, wenn Du $x=0$ in die Normalform der Geradengleichung einsetzt.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der $y$-Achsenabschnitt einer Geraden ist der $y$-Wert der linearen Funktion bei $x=0$.“
  • „Ist $y = mx +b$ und $m>0$, so steigt der Graph für jede Einheit in $x$ nach rechts um $m$ Einheiten in $y$ nach oben.“
  • „Der Graph der Funktion $y=mx+b$ verläuft durch den Punkt $(1|m+b)$.“

  Falsch sind dagegen die folgenden Aussagen:

  • „In der linearen Gleichung $ay + bx =c$ ist $c$ der $y$-Achsenabschnitt der Normalform.“ Die Normalform erhält man durch Auflösen nach $y$ (sofern das möglich ist, d.h. sofern $a \neq 0$). In diesem Falle ist $y = -\frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a}$. Demnach ist der $y$-Achsenabschnitt also nicht $c$, sondern $\frac{c}{a}$.
  • „Jede Gleichung der Form $ax +by = c$ kann man auf die Normalform der Geradengleichung $y = mx + b$ bringen.“ Ist $b=0$, so kann man die Gleichung nicht nach $y$ auflösen.
  • „Der Graph der Funktion $y=mx+b$ verläuft durch den Punkt $(0|0)$.“ Für $x=0$ ist $y=b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist $b \neq 0$, so verläuft der Graph nicht durch den Punkt $(0|0)$.
  • „Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Funktion der Form $y=mx +b$ beschrieben.“ Richtig wäre: Jede Gerade in der Ebene wird durch eine lineare Gleichung $ax + by =c$ beschrieben. Ist aber $b=0$, so kann man die Gleichung nicht nach $y$ auflösen. Die Geraden zu Gleichungen der Form $ax = c$ mit $a \neq 0$ sind Parallelen zur $y$-Achse und daher keine Funktionen.
  • „Die Steigung einer Geraden in der Normalform ist der Koeffizient von $y$.“ Die Normalform einer Geradengleichung lautet $y = mx +b$. Die Steigung ist $m$ und demnach der Koeffizient der Variablen $x$ in der Normalform, nicht derjenige von $y$.

• Erschließe die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

  Tipps

  Löse die Gleichungen nach der Variablen $y$ auf.

  Die Steigung $m$ ist der Koeffizient der Variablen $x$ in der Normalform.

  Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert der linearen Funktion bei $x=0$.

  Lösung

  Wir lösen die linearen Gleichungen nach der Variablen $y$ auf und erhalten so die Geradengleichungen in Normalform. In der Normalform ist $m$ der Koeffizient von $x$ und $b$ das Absolutglied.

  Für $120x -4y = 20$ erhalten wir folgende Geradengleichung in Normalform:

  • $y = 30x-5$ mit $m=30$ und $b=-5$.

  Für die Gleichung $y+x=1$ ergibt sich:

  • $y=-x+1$ mit $m=-1$ und $b=1$.

  Die Normalform zu der Gleichung $y-x=1$ lautet wie folgt:

  • $y=x+1$ mit $m=1$ und $b=1$.

  Die Gleichung $120y -4x =20$ führt zur folgenden Normalform:

  • $y=\frac{1}{30} x+\frac{1}{6}$ mit $m=\frac{1}{30}$ und $b=\frac{1}{6}$.

• Erstelle eine Wertetabelle.

  Tipps

  Finde zu der Relation $3y = 500x$ die Normalform $y = m \cdot x + b$ der Geradengleichung.

  Setze in die Normalform die gegebenen Werte für $x$ ein und trage die zugehörigen Funktionswerte $y$ in die Tabelle ein.

  Der Wert bei $x=0$ ist der $y$-Achsenabschnitt aus der Normalform.

  Lösung

  Wir bringen die Gleichung $3y = 500x$ auf die Normalform $y=mx+b$ einer Geradengleichung. Hierzu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch $3$ und erhalten folgende lineare Funktion:

  $y = \frac{500}{3}x$.

  In diese setzen wir die gegebenen Werte für $x$ ein und berechnen die zugehörigen Funktionswerte. So erhalten wir folgende Wertetabelle:

  $\begin{array} {l|c|c|c|c} x & 0 & 3 & 6 & 9 \\ \hline y & ~~\ 0~~\ & \ 500\ & 1000 & 1500 \end{array}$

• Analysiere die Funktionen.

  Tipps

  Versuche, die beschriebenen Zusammenhänge durch eine Gleichung auszudrücken und diese Gleichung in die Normalform einer Geradengleichung umzuformen.

  Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.

  Lösung

  Richtig beschrieben sind folgende Funktionen:

  • „Eine Fährfahrt kostet $0,17$ € pro Seemeile zzgl. einer einmaligen Hafenpauschale von $23$ €. Der Preis $y$ in € einer Fährfahrt von $x$ Seemeilen wird durch die Funktion $y=0,17x+23$ beschrieben.“ Die Steigung der Kostenfunktion ist $m=0,17$, also der Preis pro Seemeile in €. Der $y$-Achsenabschnitt $b=23$ ist die Hafenpauschale in €.

  • „Um den Durchmesser eines Baumes zu bestimmen, muss man ihn nicht fällen. Es genügt, den Umfang zu messen. Der Durchmesser $y$ wird durch die Funktion $y = \frac{1}{\pi} x$ beschrieben. Hierbei ist $x$ der Umfang des Baumes.“ Für den Umfang $U$ eines Kreises gilt die Gleichung $U = 2\pi r$. Hierbei ist $r$ der Radius. Da für den Durchmesser $d=2r$ gilt, kann man den Umfang auch über $U=\pi \cdot d$ berechnen. Setzt man in dieser Beziehung nun $U=x$ und $d=y$ und löst nach $y$ auf, so erhält man genau die Gleichung $y = \frac{1}{\pi} x$.

  • „Ein moderner Hochgeschwindigkeitszug erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $213~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Die durchschnittliche Dauer einer Reise mit der Entfernung $x$ in $\text{km}$ beträgt $y = \frac{1}{213} \cdot x$, wobei $y$ die Dauer in Stunden beschreibt.“ Die durchschnittliche Reisedauer ist eine lineare Funktion der zurückgelegten Strecke. Fährt der Zug durchschnittlich $213~\frac{\text{km}}{\text{h}}$, so legt er während einer Stunde durchschnittlich $213~\text{km}$ zurück. Umgekehrt braucht er für einen $\text{km}$ dann $\frac{1}{213}~\text h$ und für $x~\text{km}$ durchschnittlich $\frac{1}{213}\cdot x$ Stunden.

  Falsch sind dagegen folgende Beschreibungen:

  • „Ein Bakterium teilt sich pro Stunde einmal. Zum Zeitpunkt $0$ sind $528$ Bakterien vorhanden. Die Anzahl $y$ der Bakterien nach $x$ Stunden wird durch die Funktion $y= x + 528$ beschrieben.“ Während der ersten Stunde von $x_0=0$ bis $x_1=1$ verdoppelt sich die Bakterienzahl von $y=528$ auf $y_1 = 1~056$. Hier ist also $\Delta x = x_1 - x_0 = 1$ und $\Delta y = y_1-y_0 = 528$. In der nächsten Stunde von $x_1=1$ bis $x_2=2$ verdoppelt sich die Bakterienzahl erneut, diesmal von $y_1=1~056$ auf $y_2=2~112$. Hier ist also $\Delta x=x_2-x_1 = 1$, aber $\Delta y = y_2 - y_1 = 1~056$. Somit ist während der ersten Stunde $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 528$ und in der zweiten Stunde $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 1~056$. Die Zuwachsrate ist demnach nicht konstant. Es kann daher keine Zahl $m$ geben, so dass $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ für jedes Intervall $\Delta x$ gilt.

  • „Der Stand der Sonne über dem Horizont wird durch eine Funktion der Form $y=mx+b$ beschrieben. $x$ ist die Zeit, welche ab dem Sonnenaufgang gemessen wird. $y$ ist die Höhe der Sonne über dem Horizont. Die Steigung $m$ hängt von der geographischen Breite ab und der $y$-Achsenabschnitt ist $0$, da die Zeit $x$ ab dem Sonnenaufgang gemessen wird.“ Der Stand der Sonne über dem Horizont ändert sich im Tageslauf. Die Sonne geht auf und wieder unter. Die Höhe $y$ über dem Horizont ist bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang $0$, dazwischen ist $y>0$. Eine lineare Funktion, die nicht konstant ist, hat genau eine Nullstelle (nämlich bei $x = -\frac{b}{m}$) und nicht zwei Nullstellen, wie der Sonnenstand über dem Horizont.