Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen Übung

• Beschreibe, wie man aus zwei gegebenen Punkten die Gleichung einer linearen Funktion bestimmen kann.

  Tipps

  In der allgemeinen Geradengleichung ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Der Begriff „Steigungsdreieck“ verrät dir schon, wofür wir es verwenden.

  Lösung

  Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu ermitteln, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  • Um $b$ zu bestimmen, verwenden wir ein Steigungsdreieck.

  Diese Aussage ist falsch. Denn wir verwenden ein Steigungsdreieck, um die Steigung $m$ zu bestimmen.

  • Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Diese Aussage ist richtig.

  • Wir berechnen zuerst die Steigung und danach mithilfe des berechneten Wertes den $y$-Achsenabschnitt.

  Diese Aussage ist auch richtig.

  • Um den $y$-Achsenabschnitt zu berechnen, setzen wir einen der beiden gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.

  Diese Aussage ist ebenfalls richtig.
  Und zum Schluss setzen wir die berechneten Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein.

• Berechne die fehlenden Werte der Geradengleichung aus den beiden Punkten.

  Tipps

  Die allgemeine Geradengleichung lautet $y=m \cdot x +b$.

  Setze in die Steigungsformel die $x$-Werte und $y$-Werte der beiden Punkte ein. Bei einem Punkt ist der erste Wert der $x$-Wert und der zweite Wert der $y$-Wert.

  Sind die Punkte $P_1(1\vert2)$ und $P_2(5\vert14)$ gegeben, so lautet die Lösung:

  $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{14-2}{5-1}=\dfrac{12}{4}=3$

  $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 3x + b & \\ 2 & = & 3 \cdot 1 + b & \\ 2 & = & 3 + b & |-3 \\ -1 & = & b & \\ \end{array}$

  Lösung

  Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu ermitteln, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Dabei setzen wir die $y$-Werte und $x$-Werte der beiden Punkte $A(1\vert2)$ und $B(5\vert 4)$ ein:

  $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{4-2}{5-1}=\dfrac{2}{4}=0,5$

  Danach bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt.

  Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

  $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 0,5x + b & \\ 2 & = & 0,5 \cdot 1 + b & \\ 2 & = & 0,5 + b & |-0,5 \\ 1,5 & = & b & \\ \end{array}$

  Zum Schluss setzen wir die berechneten Werte ein.

  Wir setzen die Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein:

  $y=0,5x+1,5$

• Bestimme die Geradengleichung aus den beiden gegebenen Punkten.

  Tipps

  Achte beim Einsetzen der $x$-Werte und $y$-Werte der beiden Punkte auf die Vorzeichen!

  Wenn du die Steigung bestimmt hast, setzt du diesen Wert gemeinsam mit einem Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

  Sind die Punkte $P_1(3\vert-2)$ und $P_2(-1\vert6)$ gegeben, lautet die Lösung wie folgt:

  $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{-2-6}{3+1}=\dfrac{-8}{4}=-2$

  $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & -2x + b & \\ -2 & = & -2 \cdot 3 + b & \\ -2 & = & -6 + b & |+6 \\ 4 & = & b & \\ \end{array}$

  Lösung

  Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu ermitteln, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Dabei setzen wir die $y$-Werte und $x$-Werte der beiden Punkte $A(1\vert -2)$ und $B(5\vert 10)$ ein:

  $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{10-(-2)}{5-1}=\dfrac{10+2}{5-1}=\dfrac{12}{4}=3$

  Die Steigung ist also $m=3$.

  Danach bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt.

  Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

  $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 3x + b & \\ 10 & = & 3 \cdot 5 + b & \\ 10 & = & 15 + b & |-15 \\ -5 & = & b & \\ \end{array}$

  Der $y$-Achsenabschnitt ist also $b=-5$.

  Zum Schluss setzen wir die berechneten Werte ein.

  Wir setzen die Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein:

  $y=3x-5$

• Ermittle jeweils aus zwei Punkten die Geradengleichung.

  Tipps

  Beide Punkte müssen auf der zugehörigen Gerade liegen.

  Du kannst entweder aus den beiden Punkten die Geradengleichung bestimmen oder überprüfen, ob die beiden Punkte auf der Geraden liegen.

  Lösung

  Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu ermitteln, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  1. Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Dabei setzen wir die $y$-Werte und $x$-Werte der beiden Punkte ein.
  2. Wir bestimmen den $y$-Achsenabschnitt. Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  3. Wir setzen die berechneten Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein.

  Wir führen dies für alle vier Punktepaare durch:

  Beispiel 1: $A(4\vert8,5)$ und $B(0,75\vert2)$

  $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{2-8,5}{0,75-4}=\dfrac{-6,5}{-3,25}=2$

  $\begin{array}{rrrr} y & = & 2 \cdot x + b & \\ 8,5 & = & 2 \cdot 4 + b & \\ 8,5 & = & 8 + b & |-8 \\ 0,5 & = & b & \\ \end{array}$

  $y=2x+0,5$

  Beispiel 2: $A(1\vert2)$ und $B(10\vert-7)$

  $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{-7-2}{10-1}=\dfrac{-9}{9}=-1$

  $\begin{array}{rrrr} y & = & -1 \cdot x + b & \\ 2 & = & -1 \cdot 1 + b & \\ 2 & = & -1 + b & |+1 \\ 3& = & b & \\ \end{array}$

  $y=-x+3$

  Beispiel 3: $A(4\vert1)$ und $B(6\vert2)$

  $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{2-1}{6-4}=\dfrac{1}{2}=0,5$

  $\begin{array}{rrrr} y & = & 0,5 \cdot x + b & \\ 1 & = & 0,5 \cdot 4 + b & \\ 1& = & 2 + b & |-2 \\ -1& = & b & \\ \end{array}$

  $y=0,5x-1$

  Beispiel 4: $A(3\vert22,5)$ und $B(2\vert14,5)$

  $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{14,5-22,5}{2-3}=\dfrac{-8}{-1}=8$

  $\begin{array}{rrrr} y & = & 8 \cdot x + b & \\ 22,5 & = & 8 \cdot 3 + b & \\ 22,5& = & 24 + b & |-24 \\ -1,5& = & b & \\ \end{array}$

  $y=22,5x-1,5$

  Alternativ können wir auch jeweils überprüfen, ob zwei Punkte auf einer bestimmten Geraden liegen.
  Dazu müssen wir den $x$-Wert und den $y$-Wert des einen Punktes in die Geradengleichung einsetzen und überprüfen, ob eine wahre Aussage entsteht. Danach machen wir das Gleiche mit dem zweiten Punkt. Nur wenn sich bei beiden Punkten eine wahre Gleichung ergibt, gehört die Geradengleichung zu den beiden Punkten.

• Gib an, was die Steigung und was der $y$-Achsenabschnitt ist.

  Tipps

  Wir können die Steigung $m$ mit der Steigungsformel $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ berechnen.

  In der Geradengleichung $y=3x +4$ ist $3$ die Steigung und $4$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung für eine lineare Funktion lautet:

  $y=m \cdot x + b$

  Man nennt sie auch Geradengleichung, da der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist.

  Die beiden Variablen $m$ und $b$ stehen stellvertretend für Zahlen:

  • $m$ ist dabei die Steigung. Sie gibt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt.
  • $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Er gibt an, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Beispielsweise könnte eine Geradengleichung lauten:

  $y= 0,5 \cdot x + 1,5$

  Dabei ist $0,5$ die Steigung. Das heißt, die Gerade steigt um eine halbe Einheit nach oben, wenn man eine Einheit nach rechts geht.
  $1,5$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Das bedeutet, der Graph schneidet die $y$-Achse bei $1,5$.

• Ermittle die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte $A$ und $B$ geht.

  Tipps

  Steigungsformel:

  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Achte auf negative Vorzeichen.

  Lösung

  Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu ermitteln, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Dabei setzen wir die $y$-Werte und $x$-Werte der beiden Punkte ein:

  $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{-4-(-2)}{-5-5}=\dfrac{-4+2}{-5-5}=\dfrac{-2}{-10}=\dfrac{2}{10}=0,2$

  Danach bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt.

  Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

  $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 0,2x + b & \\ -2 & = & 0,2 \cdot 5 + b & \\ -2 & = & 1 + b & |-1 \\ -3 & = & b & \\ \end{array}$

  Zum Schluss setzen wir die berechneten Werte ein.

  Wir setzen die Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein:

  $y=0,2x-3$