Schnittpunkte linearer Funktionen

Schnittpunkte linearer Funktionen Übung

• Schildere die Vorgehensweise zur Bestimmung des Schnittpunktes.

  Tipps

  Die unabhängige Variable wird üblicherweise auf der $x$-Achse aufgetragen.

  Allgemein nutzen wir den hier abgebildeten Ausdruck zur Beschreibung einer linearen Funktion.

  Für den Gesamtpreis bei nur einem geleerten Teller von Michael rechnen wir:

  $y_1=10+0,20\cdot 1$

  Lösung

  Um den Schnittpunkt der linearen Funktionen zu bestimmen, schauen wir uns die Graphen an. Dazu tragen wir die Anzahl der geleerten Teller auf der $x$-Achse und den Preis auf der $y$-Achse ab. Da die beiden frei entscheiden können, wie viele Teller sie essen wollen, ist die Anzahl der Teller die unabhängige Variable.

  Wir stellen einen Ausdruck für den Gesamtpreis für Onkel Michael auf. Er muss den Festpreis für Erwachsene, also $10 \text{ €}$, für das Buffet bezahlen. $x$ ist die Anzahl der Teller, die wir mit dem Einzelpreis $0,20 \text { €}$ multiplizieren müssen. Dies addieren wir, sodass sich folgende Gleichung ergibt:

  $y=10+0,20 \cdot x$

  Für Johann mit dem günstigeren Kinderpreis, jedoch teureren Tellern, ergibt sich der folgende Ausdruck:

  $y=8+0,30 \cdot x$.

  Wäre Michael nach einem Teller schon satt, müsste er $10,20 \text{ €}$ bezahlen, nach zwei Tellern $10,40 \text{ €}$.

  Wenn Johann fünf Teller Sushi isst, beträgt sein Gesamtpreis $9,50 \text{ €}$, bei $10$ Tellern käme er auf $11 \text{ €}$.

  Graphisch können wir erkennen, dass sich der Schnittpunkt bei $S(20|14)$ befindet, das heißt zu dem Zeitpunkt, wenn beide $20$ Teller Sushi gegessen haben.

  Zur rechnerischen Ermittlung des Schnittpunkts setzen wir die beiden Ausdrücke von Michael und Johann gleich und lösen wie folgt nach $x$ auf:

  $\begin{array}{llll} 10+0,20 \cdot x &=& 8+0,30 \cdot x & \vert -0,30x \\ 10-0,10\cdot x &=& 8 & \vert -10 \\ -0,10\cdot x &=& -2 & \vert :(-0,10) \\ x &=& 20 & \end{array}$

  Wir erhalten auch hier für den Schnittpunkt $x=20$. Durch das Einsetzen in den Ausdruck für Johann oder Michael erhalten wir $y=14$.

• Gib an, wie sich die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden können.

  Tipps

  Zwei lineare Funktionen haben $0$, $1$ oder unendlich viele Schnittpunkte.

  Geraden mit gleicher Steigung können sich nicht in genau einem Punkt schneiden.

  Wenn zwei Funktionsgraphen identisch sind, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

  Lösung

  Wir können die Paare wie folgt verbinden:

  • Die beiden Geraden der Funktionen $y=10+0,20 \cdot x$ und $y=8+0,30 \cdot x$ schneiden sich im Punkt $(10|14)$.

  Denn: $8+0,30 \cdot 20 = 8+6 = 14$ Und: $10+0,20 \cdot 20 = 10+4 = 14$

  • Es gibt Funktionen, die Geraden mit der gleichen Steigung, aber verschiedenen $y$-Achsenabschnitten ergeben. Diese Geraden sind parallel zueinander und schneiden sich niemals (siehe Beispiel $2$ in der Abbildung).

  • Es gibt Funktionsgraphen mit unterschiedlicher Steigung, die sich in genau einem Punkt schneiden (siehe Beispiel $1$ in der Abbildung).

  • Es gibt Funktionen, die ergeben Geraden mit gleicher Steigung und gleichem $y$-Achsenabschnitt. Diese Geraden sind gleich und haben unendlich viele Schnittpunkte (siehe Beispiel $3$ in der Abbildung).

  Übrig bleiben:

  • $\dots$ sind gleich und haben keinen Schnittpunkt.

  $\Rightarrow$ Wenn zwei Geraden gleich sind, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

  • $\dots$ schneiden sich im Punkt $(10|14)$.

  $\Rightarrow$ Der gesuchte Schnittpunkt liegt bei $(20|14)$.

• Entscheide, ob es einen oder mehrere Schnittpunkte gibt.

  Tipps

  Stelle für beide zunächst einen Ausdruck für ihren Gesamtpreis auf.

  Du kannst den Schnittpunkt zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen.

  Lösung

  Soledad wählt ein großes Getränk für $3,50 \text{ €}$, dazu kommen pro kalter Tapa $0,75 \text{ €}$. Die Anzahl der Tapas bezeichnen wir mit $x$. Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

  $y=3,50+0,75\cdot x$

  Johann wählt ein kleines Getränk für $2 \text{ €}$, dazu kommen pro kalter Tapa $1 \text{ €}$. Die Anzahl der Tapas bezeichnen wir wieder mit $x$. Daraus ergibt sich:

  $y=2+1\cdot x=2+x$

  Den Schnittpunkt berechnen wir, indem wir die Ausdrücke gleichsetzen:

  $\begin{array}{rrll} 3,50+0,75\cdot x &=& 2+x &|-x\\ 3,50-0,25\cdot x &=& 2 &| -3,50\\ -0,25 \cdot x &=& -1,50 &|:(-0,25)\\ x &=& 6 & \end{array}$

  Einsetzen in den Ausdruck von Johann ergibt $y_6=2+6=8$, damit liegt der Schnittpunkt bei $S(6|8)$.

  Man kann diesen Schnittpunkt auch zeichnerisch bestimmen. Hierzu zeichnet man beide Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem ein und liest den Schnittpunkt $S(x_S\vert y_s)$ ab.

  Richtig sind also diese Aussagen:

  • Wenn beide $6$ Tapas essen, bezahlen sie jeweils $8 \text{ €}$.

  • Soledads Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=3,50+0,75\cdot x$.

  • Johanns Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=2+x$.

  Falsch sind diese Aussagen:

  • Wenn beide $8$ Tapas essen, bezahlen sie am Ende den gleichen Gesamtpreis.

  $\Rightarrow$ Nein, denn der Schnittpunkt liegt bei $S(6|8)$. Also müssen sie $6$ Tapas essen.

  • Soledads Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=0,75+3,50\cdot x$.

  $\Rightarrow$ Korrekt wäre $y=3,50+0,75 \cdot x$

  • Johanns Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=2+0,75\cdot x$.

  $\Rightarrow$ Korrekt wäre $y=2+x$

  • Es gibt keine mögliche Anzahl an Tapas, die die beiden Essen können, um am Ende genau das Gleiche zu bezahlen.

  $\Rightarrow$ Wir können einen Schnittpunkt berechnen, daher gibt es eine mögliche Anzahl an Tapas.

• Untersuche die linearen Funktionen auf Schnittpunkte.

  Tipps

  Ein Schnittpunkt kann auch bei $x=0$ liegen.

  Lösung

  Im Folgenden stellen wir zunächst die Funktionsgleichungen für die jeweiligen Personen auf. Dabei bezeichnen wir den Preis mit $y$ und die Anzahl bestellter Speisen mit $x$. Dann stellen wir die von Johann und die seines Gegenübers gleich, um zu überprüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt oder nicht.

  • Beim Sushi essen mit Onkel Michael:

  Onkel Michael:

  $y_1=10+0,20\cdot x$

  Johann:

  $y_2=8+0,30\cdot x$

  Gleichsetzen:

  $\begin{array}{rrll} 10+0,20\cdot x &=& 8+0,30\cdot x &|-0,30\cdot x\\ 10-0,10\cdot x &=& 8 &| -10\\ -0,10 \cdot x &=& -2 &|:(-0,10)\\ x &=& 20 & \end{array}$

  $\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt.

  • Im Tapas Restaurant mit Soledad:

  Soledad:

  $y_1=3,50+x$

  Johann:

  $y_2=2+x$

  Gleichsetzen:

  $\begin{array}{rrll} 3,50+x &=& 2+x &|-x\\ 3,50 &\neq& 2& \end{array}$

  $\Rightarrow$ Es gibt keinen Schnittpunkt.

  • Im Tapas Restaurant mit Mutter Isolde:

  Isolde:

  $y_1=2+x$

  Johann:

  $y_2=2+x$

  Gleichsetzen:

  $2+x=2+x$

  $\Rightarrow$ Es gibt unendlich viele Schnittpunkte.

  • Beim Sushi essen mit Jonas:

  Jonas:

  $y_1=8+0,20 \cdot x$

  Johann:

  $y_2=8+0,30 \cdot x$

  Gleichsetzen:

  $\begin{array}{rrll} 8+0,20\cdot x &=& 8+0,30\cdot x &|-0,30\cdot x\\ 8-0,10\cdot x &=& 8 &| -8\\ -0,10 \cdot x &=& 0 &|:(-0,10)\\ x &=& 0 & \end{array}$

  $\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt.

• Bestimme die Schnittpunktanzahl.

  Tipps

  Die Graphen zweier linearer Funktionen können keinen, einen oder unendlich viele Schnittpunkte haben.

  Bei mehr als zwei Geraden: Zähle die Schnittpunkte von jeweils zwei Geraden zusammen.

  Lösung

  Wir sortieren von keinem Schnittpunkt aufsteigend nach der Anzahl der Schnittpunkte:

  • Zuerst kommt das Bild, in dem die beiden Geraden einen unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitt haben, jedoch gleiche Steigung. Das heißt sie sind parallel und wir haben in diesem Fall keinen Schnittpunkt.

  • Danach betrachten wir die beiden Geraden mit unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitten und Steigungen. Diese schneiden sich in genau einem Punkt.

  • Im Bild mit den drei Geraden sind die rote und die orangefarbene parallel. Die grüne Gerade schneidet beide jeweils einmal, sodass wir insgesamt $2$ Schnittpunkte finden.

  • Zu guter Letzt betrachten wir die beiden linearen Funktionen, die identische Geraden ergeben haben, diese haben unendlich viele Schnittpunkte.

• Entscheide, wie die Funktionsgraphen zueinander liegen.

  Tipps

  Es kann dir helfen, die Funktionsgraphen zu skizzieren.

  Hier gilt zum Beispiel $m_{rot} < m_{blau}$, welche Zusammenhänge kannst du noch erkennen?

  Lösung

  Die folgenden Aussagen über

  $y_1=m_1 x+b_1$ und $y_2=m_2 x+b_2$

  sind korrekt:

  • Ist $m_1 > m_2$ und $b_1 < b_2$, so verläuft die Gerade $y_1$ links vom Schnittpunkt unterhalb von der Geraden $y_2$.

  • Ist $m_1 > m_2$ und $b_1=b_2$, so gibt es genau einen Schnittpunkt.

  $\Rightarrow$ Dieser liegt dann bei $(0|b_1)$ bzw. $(0|b_2)$, da $b_1=b_2$.

  • Der Schnittpunkt liegt bei $x=\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}$

  Dieser lässt sich bestimmen, indem man $m_1 x+b_1=m_2 x+b_2$ und nach $x$ auflöst. Ebenso richtig ist natürlich $x=\frac{b_2-b_1}{m_1-m_2}$

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Ist $m_1 < m_2$ und $b_1 < b_2$, so verläuft die Gerade $y_1$ links vom Schnittpunkt unterhalb und rechts vom Schnittpunkt oberhalb von der Geraden $y_2$.

  Ist $m_1 < m_2$ und $b_1 < b_2$, so liegt der Schnittpunkt links von der $y$-Achse und die Gerade $y_1$ verläuft links vom Schnittpunkt oberhalb und rechts vom Schnittpunkt unterhalb von der Geraden $y_2$.

  • Ist $m_1=m_2$ und $b_1 < b_2$, so gibt es genau einen Schnittpunkt.

  $m_1=m_2$ bedeutet, dass die Steigung der Funktionsgraphen identisch ist. Da $b_1 < b_2$ gilt, sind die beiden Geraden parallel und $y_1$ verläuft stets unterhalb von $y_2$. Es gibt also keinen Schnittpunkt.

  • Ist $b_1=b_2$, so sind die entsprechenden Funktionsgraphen immer identisch.

  Die entsprechenden Funktionsgraphen sind nur dann identisch, wenn zusätzlich $m_1=m_2$ gilt. Ansonsten können wir lediglich feststellen, dass sie an derselben Stelle den Achsenabschnitt schneiden, was bei $m_1 \neq m_2$ den einzigen Schnittpunkt der beiden Funktionen darstellt.