Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo)

Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo) Übung

• Ergänze die Aussagen zu linearen Funktionen.

  Tipps

  Eine lineare Funktion ist eine Gerade und kann deswegen durch zwei Punkte festgelegt werden.

  Der y-Achsenabschnitt $Y(0|b)$ liegt auf der y-Achse und hat die x-Koordinate $x=0$.

  Lineare Funktionen haben genau eine Nullstelle $x_0$, es sei denn, dass sie keine Steigung haben.

  Lösung

  Lineare Funktionen haben immer die Form $y=m \cdot x + b$. Dabei bestimmt der Parameter $m$ die Steigung des Funktionsgraphen. Diese kann positiv oder negativ sein je nachdem, ob $m$ eine positive oder negative Zahl ist. Der Funktionsgraph verläuft dann entweder von unter links nach oben rechts (positiv) oder von oben links nach unten rechts (negativ).

  Der Parameter $b$ bestimmt die Verschiebung auf der y-Achse und wird dementsprechend y-Achsenabschnitt genannt. Er hat immer die Koordinaten $Y(0|b)$.

  Eine lineare Funktion kann gezeichnet werden, wenn man zwei Punkte kennt, welche auf dem Funktionsgraphen liegen. Dies können beispielsweise ein Punkt $Q$ sein und die Nullstelle. Die Nullstelle wird mit $N(x_0|0)$ bezeichnet und ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

  Wie kann man nun eine Funktionsgleichung ermitteln, wenn zwei Punkte des Graphen gegeben sind?

  Wenn die Funktionsgleichung einer linearen Funktion gesucht ist, ist dies gleichbedeutet damit, dass wir die Parameter $m$ und $b$ ermitteln wollen. Der Parameter $m$ lässt sich durch die Punktsteigungsformel $m=\frac{y_Q - y_N}{x_Q-x_N}$ ermitteln. Dabei sind $y_Q$ und $y_N$ die jeweiligen y-Koordinaten der gegebenen Punkte, $x_Q$ und $x_N$ die entsprechenden x-Koordinaten.

  Den Parameter $b$ können wir berechnen, nachdem wir den Paramter $m$ ermittelt haben. Dazu setzen wir das nun bekannte $m$ und die Koordinaten eines auf dem Graphen liegenden Punktes in die Funktionsgleichung ein. Dann lösen wir nach $b$ auf.

• Ermittle die gesuchte Funktionsgleichung.

  Tipps

  Ermittle zuerst den Parameter $m$, dann den Parameter $b$.

  Die Punktsteigungsformel $m=\frac{y_Q-y_N}{x_Q-x_N}$ ergibt sich aus einem Steigungsdreieck, welches du an jeder Stelle des Funktionsgraphen anlegen kannst.

  In einer linearen Funktionsgleichung wird jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet. Das bedeutet, dass du mit dem x-Wert automatisch den y-Wert kennst, wenn dir die Funktionsgleichung bekannt ist.

  Lösung

  Gegeben sind uns der Punkt $Q(2|2)$ sowie die Nullstelle $x_0=1$. Zunächst sollten wir feststellen, dass mit der Nullstelle auch ein Punkt gegeben ist, nämlich $N(1|0)$.

  Somit haben wir zwei gegebene Punkte. Eine lineare Funktion ist eine Gerade und eine Gerade wird durch zwei Punkte festgelegt.

  Zunächst berechnen wir am besten den Parameter $m$. Dazu verwenden wir die Punktsteigungsformel $m=\frac{y_Q-y_N}{x_Q-x_N}$. In diese können wir die gegebenen Koordinaten der Punkte $Q$ und $N$ einsetzen. Es ergibt sich $m=\frac{2-0}{2-1}= \frac{2}{1}=2$.

  Nun, da $m$ berechnet ist, können wir $b$ berechnen. Dazu setzen wir den Parameter $m$ sowie die Koordinaten eines beliebigen auf dem Funktionsgraphen liegenden Punktes in die Funktionsgleichung ein. Nehmen wir beispielsweise $Q$. Es ergibt sich aus $y=m \cdot x+b$ die Gleichung $2=2 \cdot 2 +b = 4 +b$. Stellen wir diese nach $b$ um, so erhalten wir $b=-2$.

  Daraus folgt die Funktionsgleichung $y=2 \cdot x -2$.

• Ermittle die Nullstelle der Funktion $y=3 \cdot x + 6$.

  Tipps

  Auf welcher Höhe liegt die x-Achse? Die Höhe wird durch die y-Achse angegeben.

  Setze $y=0$ und löse nach $x$ auf.

  Lösung

  Als Nullstelle wird jene Stelle eines Funktionsgraphen bezeichnet, an welcher der Graph die x-Achse schneidet. Für lineare Funktionsgraphen gilt, dass sie genau eine Nullstelle besitzen. Was zeichnet diese Nullstelle aus?

  Alle Nullstellen haben gemeinsam, dass ihre y-Koordinate den Wert $0$ besitzt. Das hat den einfachen Grund, dass es ansonsten keine Schnittstelle mit der x-Achse sein würde. Die x-Achse liegt nämlich auf der Höhe $y=0$. Somit können wir diesen Wert in unsere Funktionsgleichung $y=3 \cdot x + 6$ einsetzen. Es ergibt sich $0=3 \cdot x + 6$. Wenn wir diese Gleichung nach $x$ umstellen, ergibt sich $x=-2$.

  Die gesuchte Nullstelle lautet $x_0=-2$.

• Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion, welche den Punkt $T(1|2)$ sowie die Nullstelle $x_0=2$ besitzt.

  Tipps

  Mithilfe der Punktsteigungsformel für den Anstieg $m$ kannst du schon einmal einige Funktionsgleichungen ausschließen.

  Der y-Achsenabschnitt besagt, an welcher Stelle die y-Achse geschnitten wird.

  Lösung

  Wir kennen den Punkt $T(1|2)$ und die Nullstelle $x_0=2$. Wir wissen, dass durch diese beiden Punkte eine Gerade verläuft. Den Funktionsgraphen dieser Geraden wollen wir bestimmen.

  Dazu berechnen wir zunächst mithilfe der Punktsteigungsformel die Steigung $m$ des Funktionsgraphen. Diese Formel lautet:

  $m=\frac{y_T-y_N}{x_T-x_N}$.

  Es ist dabei nicht entscheidend, ob die Koordinaten des einen oder des anderen Punktes vorne stehen. Wichtig ist nur, dass man sich für eine Reihenfolge entscheidet. Wenn wir die erste Stelle durch die Koordinaten des Punktes $T$ besetzen, ergibt sich folgende Steigung:

  $m=\frac{2-0}{1-2}=\frac{2}{-1}=-2$.

  Nun wissen wir schon einmal, dass unsere Funktionsgleichung die Form $y=-2 \cdot x +b$ hat. Wir müssen also noch den y-Achsenabschnitt berechnen. Dazu setzen wir einen Punkt, welcher auf unserer Geraden liegt, in die Gleichung $y=-2 \cdot x +b$ ein. Wählen wir die Nullstelle $x_0=2$, also den Punkt $N (2|0)$, ergibt sich:

  $0 = -2 \cdot 2 +b ~~~ \Leftrightarrow ~~~ b=4$.

  Nun kennen wir unsere Funktionsgleichung. Sie lautet $y=-2 \cdot x +4$.

• Bestimme den Funktionsgraphen der linearen Funktion mit dem Punkt $Q(2|2)$ und der Nullstelle $x_0=1$.

  Tipps

  Der Funktionsgraph muss durch den Punkt $Q$ und die Nullstelle $x_0$ gehen.

  Die Nullstelle $N$ kann auch als Punkt dargestellt werden. Dessen y-Koordinate ist $y_N=0$.

  Lösung

  Der von uns gesuchte Funktionsgraph soll durch den Punkt $Q(2|2)$ und die Nullstelle $x_0=1$ gehen. Dabei ist die Nullstelle $x_0=1$ gleichbedeutend mit dem Punkt $N(1|0)$.

  Ein linearer Funktionsgraph entspricht einer Geraden. Wir wissen, dass eine Gerade bereits durch zwei voneinander verschiedene Punkte festgelegt ist. Somit ist es nicht mehr schwierig, den richtigen Funktionsgraphen zu finden. Er geht durch die Punkte $Q$ und $N$.

  Außerdem besitzt er die Funktionsgleichung $y=2 \cdot x-2$.

• Ermittle die y-Koordinate des Punktes $Q$.

  Tipps

  Bevor du den Punkt ermitteln kannst, ist es notwendig, die Funktionsgleichung der gelben Gerade zu kennen.

  Welche Informationen über diese Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$ kennst du, welche kennst du nicht?

  Der Punkt $T$ hilft dir, die Funktionsgleichung aufzustellen.

  Lösung

  Wir kennen die Funktionsgleichung der grünen Geraden. Diese lautet $y=x-2$. Der Punkt $T(1|-1)$ liegt auf dem gelben und auf der grünen Geraden. Es ist nämlich deren gemeinsamer Schnittpunkt. Nun hat die gelbe Gerade eine Steigung von $m=3$. Wir suchen die y-Koordiante des Punktes $Q(3|y)$, welcher auf dieser gelben Geraden liegt.

  Dazu müssen wir zunächst ermitteln, wie die Funktionsgleichung zur gelben Geraden heißt. Wir kennen die Steigung sowie einen Punkt, nämlich $T(1|-1)$. Setzen wir doch diese Informationen in die allgemeine lineare Funktionsgleichung $y=m \cdot x +b$ ein. Dann ergibt sich:

  $-1=3 \cdot 1 +b ~~~ \Leftrightarrow ~~~ b=-4$.

  Die Funktionsgleichung des gelben Funktionsgraphen lautet somit $y=3 \cdot x -4$. Nun können wir die y-Koordinate des gesuchten Punktes $Q(3|y)$ leicht ermitteln, indem wir die gegebene x-Koordinate $x=3$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

  $y=3 \cdot 3 - 4 = 9-4=5$.

  Die gesuchte y-Koordinate ist also $y=5$. Der Punkt lautet $Q(3|5)$.