Geradengleichungen in Punktsteigungsform

Geradengleichungen in Punktsteigungsform Übung

• Berechne den gesuchten monatlichen Abbau an Baumstämmen.

  Tipps

  Der monatliche Baumstammabbau entspricht der Steigung der Geraden.

  Für die Steigung der Geraden gilt:

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Die Koordinaten $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ erhältst du aus den Punkten $P_1(0\ \vert\ 20)$ und $P_2(10\ \vert\ 180)$.

  Lösung

  Der monatliche Baumstammabbau entspricht der Steigung der Geraden, welche sich wie folgt berechnen lässt:

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Die Koordinaten $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ resultieren aus folgenden Angaben:

  • Zum Anfang des Jahres befinden sich $20$ Baumstämme im Lager $\rightarrow$ $P_1(0\ \vert\ 20)$.
  • Ende Oktober sollen sich $180$ Baumstämme im Lager befinden $\rightarrow$ $P_2(10\ \vert\ 180)$.

  Mit diesen beiden Punkten können wir die gesuchte Steigung und somit den monatlichen Baumstammabbau berechnen:

  $m=\frac{180-20}{10-0}=\frac{160}{10}=16$.

  Die Biber müssen also $16$ Baumstämme pro Monat abbauen, um ihr Ziel zu erreichen.

• Gib zunächst die gesuchte Geradengleichung in Punktsteigungsform an und rechne mit dieser.

  Tipps

  Die Punktsteigungsform lautet:

  $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Die Steigung entspricht dem monatlichen Baumstammabbau.

  Die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ kannst du dem Punkt $P(x_1\ \vert\ y_1)$ entnehmen.

  Lösung

  Uns sind folgende Angaben bekannt:

  • Abbau von $16$ Baumstämmen pro Monat $\rightarrow\ m=16$
  • Anfang des Jahres bereits $20$ Baumstämme im Lager $\rightarrow\ P(0\ \vert\ 20)$

  Die Punktsteigungsform lautet:

  • $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Wenn wir alle Angaben in die Punktsteigungsform einsetzen, erhalten wir folgende Geradengleichung:

  • $y-20=16\cdot (x-0)$.

  Um zu bestimmen, wie viele Baumstämme Ende Dezember im Lager sind, setzen wir in $x$ den Wert $12$ ein. Wir erhalten:

  $ \begin{array}{lllll} y-20 &=& 16\cdot (12-0) && \\ y-20 &=& 16\cdot 12 && \\ y-20 &=& 192 && \vert +20 \\ y &=& 212 && \end{array} $

• Ermittle die jeweilige Geradengleichung in Punktsteigungsform.

  Tipps

  Betrachte zunächst die Steigung der Geraden. Diese erhältst du durch folgende Steigungsformel:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Die Punktsteigungsform lautet:

  $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ resultieren aus einem Punkt der Geraden.

  Lösung

  Das Vorgehen bei dieser Aufgabe soll dir anhand der ersten beiden Beispiele verdeutlicht werden. Die Punktsteigungsform setzt sich aus der Steigung der Geraden und einem Punkt der Geraden zusammen und ist allgemein wie folgt definiert:

  $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Die Steigung erhält man mit der Steigungsformel:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Beispiel 1

  Wir nehmen uns zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Wir wählen $P_1(2\ \vert\ 0)$ und $P_2(0\ \vert\ 1)$. Nun berechnen wir zunächst die Steigung der Geraden:

  $m=\frac{1-0}{0-2}=\frac{1}{-2}=-0,5$.

  Somit haben wir die Steigung berechnet. Bisher lautet die Punktsteigungsform dadurch:

  $y-y_1=-0,5\cdot (x-x_1)$.

  Anschließend setzen wir die Koordinaten des Punktes $P_1$ ein und erhalten:

  $y-0=-0,5\cdot (x-2)$.

  Welchen Punkt der Geraden wir einsetzen, spielt hier keine Rolle. Daher hätten wir auch die Koordinaten von $P_2$ verwenden können. Dann würde die Geradengleichung $y-1=-0,5\cdot (x-0)$ lauten.

  Durch Umformen beider Geradengleichungen kann gezeigt werden, dass es sich hierbei um dieselbe Gerade handelt:

  Erste Geradengleichung:

  $ \begin{array}{lll} y-0 &=& -0,5\cdot (x-2) \\ y &=& -0,5x+1 \end{array} $

  Zweite Geradengleichung:

  $ \begin{array}{llll} y-1 &=& -0,5\cdot (x-0) & \\ y-1 &=& -0,5x & \vert +1 \\ y &=& -0,5x+1 \end{array} $

  Beispiel 2

  Auch hier nehmen wir uns zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Wählen wir $P_1(4\ \vert\ 3)$ und $P_2(0\ \vert\ 2)$ und berechnen zunächst die Steigung:

  $m=\frac{2-3}{0-4}=\frac{-1}{-4}=0,25$.

  Somit haben wir die Steigung für unsere Punktsteigungsform berechnet. Bis jetzt haben wir:

  $y-y_1=0,25\cdot (x-x_1)$.

  Anschließend setzen wir die Koordinaten des Punktes $P_1$ ein und erhalten:

  $y-3=0,25\cdot (x-4)$.

  Auch hier spielt es keine Rolle, welchen Punkt der Geraden wir einsetzen. Daher hätten wir auch die Koordinaten von $P_2$ verwenden können. Dann würde die Geradengleichung $y-2=0,25\cdot (x-0)$ lauten.

• Bestimme die gesuchte Geradengleichung in Punktsteigungsform.

  Tipps

  Der Akkuverbrauch entspricht der Steigung der Geraden. Ein Verbrauch beschreibt eine Abnahme.

  Die Punktsteigungsform lautet:

  $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Dabei kannst du die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ einem bekannten Punkt der Geraden entnehmen.

  Wähle einfach den Ausgangszustand, wo der Akku voll geladen ist.

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns bekannt:

  • Akkuverbrauch: $5\%$ pro Stunde
  • Ausgangszustand: $100\%$ Akkustand

  Gesucht ist eine Geradengleichung in Punksteigungsform, welche den aktuellen Akkustand in Abhängigkeit von den vergangenen Stunden darstellt. Die allgemeine Punktsteigungsform lautet:

  $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Wir nehmen an, dass die Variable $x$ für die vergangenen Stunden und die Variable $y$ für den aktuellen Akkustand steht. Der Akkuverbrauch von $5\%$ pro Stunde liefert uns die Steigung $m=-5$. Der Ausgangszustand liefert uns einen Punkt der Geraden, nämlich $P(0\ \vert\ 100)$. Die Koordinate $x$ ist hier $0$, da zum Anfang noch keine Stunden vergangen sind. Somit erhalten wir:

  $y-100=-5\cdot (x-0)$.

  Du willst wissen, nach wie vielen Stunden Martins Akku auf $50\%$ ist. Du suchst also einen $x$-Wert. Der $y$-Wert ist $50$. Wenn du diesen bekannten Wert einsetzt, erhältst du:

  $\begin{array}{rcll} 50 - 100 & = & -5 \cdot (x-0) & \vert \text{ Umformung}\\ -50 & = & -5x & \vert :(-5) \\ x & = & 10 \end{array}$

  Der Akku von Martin ist also nach $10$ Stunden bei $50\%$.

• Gib die Punktsteigungsform und die Steigungsformel an.

  Tipps

  Die Steigungsformel kann auch in der Form $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ geschrieben werden.

  $\Delta$ (gesprochen Delta) ist der vierte Buchstabe im griechischen Alphabet und dient als Symbol für die Differenz.

  Die Punktsteigungsform stellt eine Gerade mit ihrer Steigung und einem ihrer Punkte dar. Die Normalform hingegen beinhaltet die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Die Punktsteigungsform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung. Sie beinhaltet die Steigung der Geraden sowie einen Punkt der Geraden. Die allgemeine Schreibweise der Punktsteigungsform lautet:

  $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Die Steigung $m$ kann mittels der Koordinaten von zwei Punkten der Geraden berechnet werden. Hierfür wird die Steigungsformel verwendet:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

• Bestimme die Gleichung der Geraden durch die gegebenen Punkte in Punktsteigungsform.

  Tipps

  Die allgemeine Punktsteigungsform lautet:

  $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

  Man kann mit ihr alle Koordinaten der Punkte auf einer Geraden bestimmen, sofern ein Punkt und die Steigung der Geraden bekannt sind.

  Bestimme zunächst die Steigung $m$ der Geraden mittels der Steigungsformel:

  $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

  Lösung

  Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird im Folgenden am ersten Beispiel verdeutlicht. Zum Aufstellen der Geradengleichungen in Punktsteigungsform mittels zwei Punkten der Geraden benötigen wir folgende Gleichungen:

  • Allgemeine Punktsteigungsform: $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$
  • Steigungsformel: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Beispiel 1:

  Wir haben folgende Punkte gegeben:

  $P_1(1\ \vert\ 2)$ und $P_2(4\ \vert\ 5)$.

  Zunächst bestimmen wir die Steigung der Geraden. Wir erhalten:

  $m=\frac{5-2}{4-1}=\frac{3}{3}=1$.

  Anschließend setzen wir die Steigung $m$ und die Koordinaten des Punktes $P_1$ in die allgemeine Punktsteigungsform ein und erhalten folgende Geradengleichung:

  $y-2=1\cdot (x-1)$.