Geradengleichungen ermitteln
In dem Text geht es darum, wie man die Geradengleichung zwischen zwei Punkten bestimmt. Es wird erklärt, wie man die Gleichung einer Geraden zwischen zwei Städten aufstellt, die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt mithilfe der Normalform berechnet. Interessiert? All das und mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Geradengleichungen ermitteln
Einführung: Wie stelle ich eine Geradengleichung aus zwei Punkten auf?
Der Stadtplaner William Palmer möchte eine Eisenbahnstrecke zwischen den Städten Palm Valley und Wildwood Crest bauen. Die Strecke soll möglichst kurz und gerade sein. Dafür muss Palmer die Gleichung einer Geraden ermitteln, die durch die beiden Städte verläuft. An diesem Beispiel möchten wir lernen, wie wir die Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen. Palmer kann die beiden Punkte in den Städten, durch die die Bahnstrecke verlaufen soll, in ein Koordinatensystem einzeichnen. In Palm Valley soll die Eisenbahn durch den Punkt $P(2|3)$ verlaufen und in Wildwood Crest durch $W(12|8)$.
Um die Geradengleichung aus diesen zwei Punkten zu bestimmen, kann man die Normalform einer Geraden verwenden:
$y=m\cdot x +b$
Hierfür bestimmen wir die Steigung $m$ der Geraden und den $y$-Achsenabschnitt $b$. Die Steigung $m$ einer Geraden zwischen den Punkten $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$ können wir mit der Formel $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ berechnen.
Wir setzen den Punkt $P$ für $(x_1|y_1)$ und den Punkt $W$ für $(x_2|y_2)$ ein:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-3}{12-2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
Diesen Wert für $m$ können wir in die Normalform einsetzen:
$y=\frac{1}{2}x+b$
Um $b$ zu berechnen, setzen wir den $x$-Wert und den $y$-Wert des Punkts $P(2|3)$ in die Geradengleichung ein:
$3=\frac{1}{2}\cdot 2 + b = 1 + b$
Nun können wir $1$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und erhalten: $2 = b$
Jetzt kennen wir alle Parameter für die Normalform. Die gesuchte Geradengleichung zwischen den Punkten $P$ und $W$ lautet also:
$y=\frac{1}{2}x+2$
Geradengleichung paralleler Geraden bestimmen
Plötzlich fällt William Palmer auf, dass die so geplante Strecke durch den Lebensraum des Goldfieberkäfers führt. Deswegen möchte er den Verlauf der Strecke etwas verschieben. Die neue Bahnstrecke soll parallel zu der bisher geplanten verlaufen und in Palm Valley durch den Punkt $P_2(2|4)$. Auch hierfür stellen wir die Geradengleichung in Normalform auf. Parallele Geraden haben die gleiche Steigung, also ist $m=\frac{1}{2}$. Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts $b$ setzen wir wieder den $x$-Wert und den $y$-Wert eines Punkts auf der gesuchten Geraden, also hier $P_2(2|4)$, in die Geradengleichung ein:
$4=\frac{1}{2}\cdot 2 + b = 1 + b$
und umgeformt nach $b$:
$b =3$
Die Gleichung für die Gerade durch den Punkt $P_2$, die parallel zur ursprünglich geplanten Bahnstrecke verläuft, lautet also:
$y=\frac{1}{2}x+3$
Geradengleichung senkrechter Geraden bestimmen
Nun möchte Palmer noch eine Brücke für die Käfer bauen, die über die geplante Eisenbahnstrecke führen soll. Dafür bestimmt er die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt $B(6|5)$ und senkrecht zur Bahnstrecke verläuft. Das Produkt der Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier senkrecht zueinander verlaufender Geraden ergibt immer $-1$:
$m_1\cdot m_2 = -1$
Wir kennen die Steigung $m_1=\frac{1}{2}$ und können einsetzen:
$\frac{1}{2}\cdot m_2 = -1$
Wir dividieren durch $\frac{1}{2}$ und erhalten $m_2 = -2$. Es gibt noch einen anderen Weg, um die Steigung der senkrechten Geraden zu bestimmen: Dazu nehmen wir den negativen Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Geraden. Negativ bedeutet, dass der Wert mit $-1$ multipliziert wird. Den Kehrwert erhält man, wenn man Zähler und Nenner vertauscht. Der Kehrwert von $\frac{1}{2}$ ist $2$, der negative Kehrwert, also die gesuchte Steigung, ist somit $m_2=-2$. Auch hier bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt $b$ durch Einsetzen des Punkts $B$ in die Gleichung $y=-2\cdot x + b$:
$5 = -2\cdot 6 + b = -12 + b$
Wenn wir $12$ addieren, erhalten wir $b = 17$. Die Geradengleichung für die Brücke lautet also:
$y=-2 x +17$
Zusammenfassung: Geradengleichungen ermitteln
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Geradengleichungen aus zwei Punkten anzugeben. Anhand einer Übung wird gezeigt, wie du eine Geradengleichung aus zwei Punkten ermitteln kannst. Als Nächstes lernst du, wie du die Funktionsgleichung zu einer parallelen Geraden bestimmen kannst. Abschließend wird erklärt, wie du eine Funktionsgleichung zu einer senkrechten Geraden bestimmen kannst.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Geradengleichungen ermitteln.
Transkript Geradengleichungen ermitteln
Wir drehen die Zeit zurück: Der Westen ist noch wild und der Pionier William Palmer plant eine Eisenbahnstrecke durch die Prärie, um zwei Städte zu verbinden. Die Strecke soll möglichst kurz und damit pfeilgerade sein. Dafür muss Palmer Geradengleichungen ermitteln. Schauen wir einmal auf die Karte. Wir wissen, welche Koordinaten die beiden Städte haben, die durch die Bahnstrecke miteinander verbunden werden sollen: Palm Valley liegt bei Punkt P (2|3) und Wildwood Crest bei W (12|8). Die Bahnstrecke soll als Gerade durch beide Punkte, P und W, gehen. Um die dazugehörige Geradengleichung in Normalform, y = mx + b, anzugeben, benötigen wir die Steigung m sowie den y-Achsenabschnitt, b. Für die Steigung nutzen wir die Formel m= y2 minus y1 geteilt durch x2 minus x1. Jetzt setzen wir unsere Werte ein: Punkt (2|3) für (x1| y1) und Punkt (12| 8) für (x2| y2). Wir erhalten so: 8 minus 3 geteilt durch 12 minus 2, also 5 geteilt durch 10. Gekürzt ergibt das ein Halb. Diesen Wert können wir nun für die Steigung, m, in die Formel einsetzen. Für b müssen wir für x und y Werte einsetzen. Dazu nutzen wir die Koordinaten von Palm Valley, (2|3). Wir erhalten: 3 ist gleich 1/2 mal 2 plus b. 1/2 mal 2 ist gleich 1. Nun müssen wir 1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren. b ist gleich 2. Jetzt weißt du, dass m gleich 1/2 und b gleich 2 ist. Die Gleichung lautet: y = 1/2x + 2. Palmers Pläne sehen gut aus. Doch plötzlich fällt ihm auf, dass die geplante Strecke durch das heimische Gebiet des Goldfieberkäfers führt! Da Palmer ein großer Naturliebhaber und Käferfreund ist, entscheidet er, einen Plan B zu entwerfen. Dieses Mal startet er mitten in Palm Valley, beim Punkt (2|4). Die neue Bahnstrecke soll parallel zur ursprünglich geplanten Strecke verlaufen. Lass uns auch hierfür eine Geradengleichung aufstellen. Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung, also ist m weiterhin 1/2. Wieder nutzen wir die Normalform und setzen unsere Koordinaten (2|4) ein, um b zu berechnen. Das ergibt 4 ist gleich 1/2 mal 2 plus b. 1/2 mal 2 ist gleich 1. 4 ist also gleich 1 plus b. Subtrahiere 1 von beiden Seiten. b ist gleich 3. Setzen wir m und b ein, ergibt das die Geradengleichung y = 1/2 x + 3. Die neue Eisenbahnstrecke wurde gebaut und die Züge rollen! Leider hat Palmer festgestellt, dass seine Krabbelfreunde die Gleise passieren müssen, um Nahrung zu finden. Nur wenige Käfer schaffen die Überquerung. Deshalb beschließt Palmer, eigens für die Käfer eine Brücke zu bauen, die senkrecht zu den Schienen verläuft. Der Käferwald befindet sich an Punkt B (6|5). Um eine Brücke zu bauen, müssen wir die Gleichung der Geraden finden, die senkrecht zur Eisenbahnstrecke und durch (6|5) verläuft. Es gibt zwei Wege, die Steigung dieser senkrechten Geraden zu berechnen: Zum einen beträgt das Produkt der Steigungen zueinander senkrechter Geraden immer -1. Die Steigung beträgt 1/2. Wenn wir das für m1 einsetzen, können wir nach m2 lösen durch Multiplikation mit 2. -1 mal 2 ist gleich -2. -1 geteilt durch 1/2 ist -2. Ein anderer Weg, die Steigung der senkrechten Geraden zu finden, ist es, den negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung zu bilden. Negativ heißt, du musst den Wert mit -1 multiplizieren. Den Kehrwert erhältst du, wenn du Zähler und Nenner einfach vertauscht. -2 geteilt durch 1 ist -2. Jetzt kennen wir zwar die Steigung der Geraden, die senkrecht zur Zugstrecke ist, müssen aber noch b berechnen. Wieder nutzen wir y = mx +b. Wir setzen -2 für m ein und den Punkt (6|5) für x und y. Die Gleichung lautet 5 = -2 mal 6 plus b. -2 mal 6 ist gleich -12. Da -12 negativ ist, müssen wir zu beiden Seiten 12 addieren. 5 plus 12 macht 17. b ist also 17. Wenn wir die Werte für m und b einsetzen, erhalten wir für die Brücke: y = -2 x + 17. Und das, meine Lieben, war die Geschichte von William Palmer – einem wahren Freund der Goldfieberkäfer.
Geradengleichungen ermitteln Übung
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Gib die Gleichung der Geraden an.
TippsSind zwei Punkte $P_1(x_1 \vert y_1)$ und $P_2(x_2 \vert y_2)$ gegeben, kannst du zunächst die Steigung $m$ der Geraden durch diese Punkte mit der Steigungsformel
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
bestimmen.
Wenn du die Steigung bestimmt hast, kannst du die Steigung und einen beliebigen Punkt auf der Geraden in die allgemeine Geradengleichung einsetzten:
$y=mx+b$
Dann kannst du diese Gleichung nach der letzten Unbekannten $b$, also dem $y$-Achsenabschnitt, auflösen.
LösungDie Rechnung wird wie folgt durchgeführt:
Zuerst verwendet er die Steigungsformel: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \vert y_1)$ und $P_2(x_2 \vert y_2)$ gegeben, kannst du die Steigung $m$ der Geraden durch diese Punkte mit der Steigungsformel $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ bestimmen.
Damit erhält er folgende Steigung: $m=\dfrac{8-3}{12-2}=\dfrac{1}{2}$
Die Steigung und den Punkt $P$ setzt er in folgende allgemeine Geradengleichung ein: $y=mx+b$
Somit erhält er folgende Gleichung: $3=\dfrac{1}{2} \cdot 2+b$
Wenn du die Steigung bestimmt hast, kannst du die Steigung und einen beliebigen Punkt auf der Geraden in die allgemeine Geradengleichung einsetzten. Dann kannst du diese Gleichung nach der letzten Unbekannten $b$ auflösen. Damit hast du beide Konstanten $m$ und $b$ der Geradengleichung bestimmt und kannst diese angeben.
Nach dem Umstellen der Gleichung erhält er folgenden $y$-Achsenabschnitt: $b=2$
Die Geradengleichung lautet also: $y=\dfrac{1}{2}x+2$
-
Bestimme eine parallele und senkrechte Gerade.
TippsImmer wenn in einer Gleichung nur noch eine unbekannte Variable steht, kannst du die Unbekannte durch Einsetzten der bekannten Variablen bestimmen.
Die Normalform einer Geradengleichung lautet:
$y=mx+b$
Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
LösungDen Lückentext kannst du wie folgt vervollständigen:
Parallele Geraden
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung $m$. Um eine Parallele zur Geraden $y=\frac{1}{2}x+2$ durch einen gegebenen Punkt zu ermitteln, muss Palmer also nur noch den $y$-Achsenabschnitt $b$ der parallelen Geraden bestimmen. Diesen kann er bestimmen, indem er den Punkt $P_2(2 \vert 4)$ und die Steigung $m=\frac{1}{2}$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
- Immer wenn in einer Gleichung nur noch eine unbekannte Variable steht, kannst du die Unbekannte durch Einsetzten der bekannten Variablen bestimmen. Hier erhältst du durch Einsetzen und Umstellen $b=3$.
Senkrechte Geraden
Die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier senkrechter Geraden erfüllen folgende Gleichung: $m_1 \cdot m_2=-1$
- Wenn du eine Gerade gegeben hast, kannst du mit dieser Gleichung die Steigung einer dazu senkrechten Geraden wie folgt bestimmen:
Den $y$-Achsenabschnitt bestimmt er durch Einsetzen der Steigung $m_2$ und des Punktes $B(6 \vert 5)$.
- Auch hier kannst du die letzte Unbekannte durch Einsetzen der bekannten Größen bestimmen. Damit erhältst du $b=17$.
-
Erschließe die Eigenschaften der Geraden.
TippsDie Gerade durch zwei Punkte kannst du bestimmen, indem du mithilfe der Steigungsformel die Steigung wie folgt berechnest:
- $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Die Steigungen senkrechter Geraden gehorchen der Gleichung:
- $m_1 \cdot m_2=-1$
LösungGerade durch $A(3 \vert 3)$ und $B(4 \vert 5)$
Die Gerade durch die Punkte $A(3 \vert 3)$ und $B(4 \vert 5)$ kannst du bestimmen, indem du mithilfe der Steigungsformel zunächst die Steigung berechnest und anschließend die Steigung sowie einen der beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung einsetzt. Dann erhältst du:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-3}{4-3}=\frac 21=2$
Dann folgt:
$3=2\cdot 3+b ~ \rightarrow ~ b=-3$
Die Geradengleichung lautet also:
$y=2x-3$Senkrecht aufeinander stehende Geraden
Die Steigungen senkrechter Geraden gehorchen der Gleichung $m_1 \cdot m_2=-1$. Diese Eigenschaft trifft auf folgende Geraden zu:
$y=3x+5$
$y=-\frac{1}{3}x-3$Parallele Geraden
Alle parallelen Geraden haben die gleiche Steigung. Diese Eigenschaft trifft auf folgende Geraden zu:
$y=8x-\frac{1}{2}$
$y=8x+6$
$y=8x-6$ -
Ermittle die Geradengleichung.
TippsDie Steigung einer Geraden durch zwei Punkte kannst du mit der Steigungsformel bestimmen:
$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.
LösungGeradengleichung 1
Die Gerade, die durch die Punkte $A(0\vert -1)$ und $B(1\vert 2)$ verläuft, kannst du bestimmen, indem du die Steigung mit der Steigungsformel wie folgt bestimmst:
- $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-(-1)}{1-0}= 3$
- $-1=3 \cdot 0 +b ~\Rightarrow b=-1$
- $y=3x-1$
Die zu $y=4x-3$ senkrechte Gerade durch den Punkt $A(0\vert 1)$ bestimmst du, indem du zunächst die Steigung ermittelst:
- $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{4}$
- $1=-\frac 14\cdot 0+b ~\Rightarrow b=1$
- $y=-\frac 14x+1$
Wir suchen die Gerade, welche parallel zu $y=5x-1$ durch den Punkt $A(0\vert -3)$ verläuft. Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Somit können wir in die allgemeine Geradengleichung die Steigung $m=5$ und den Punkt $A$ einsetzen und den $y$-Achsenabschnitt berechnen:
- $-3=5\cdot 0+b ~\Rightarrow b=-3$
- $y=5x+3$
Wir suchen die Gerade, welche durch die Punkte $A(-1\vert -4)$ und $B(1\vert 10)$ verläuft. Hier gehen wir genauso vor, wie bei der ersten Geradengleichung. Wir berechnen mit der Steigungsformel zunächst die Steigung:
- $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{10-(-4)}{1-(-1)}= \frac{14}{2}=7$
- $-4=7 \cdot (-1) +b ~\Rightarrow b=3$
- $y=7x+3$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zur Bestimmung von Geradengleichungen.
TippsParallele Geraden haben an jeder Stelle den gleichen Abstand zueinander.
Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte kannst du mithilfe einer Formel bestimmen. Danach kannst du einen der beiden Punkte sowie die ermittelte Steigung in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um den $y$-Achsenabschnitt zu bestimmen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier senkrechter Geraden erfüllen die Gleichung: $m_1 \cdot m_2=1$“
- Die Steigungen erfüllen die Gleichung $m_1 \cdot m_2=-1$
- Die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier paralleler Geraden sind gleich: $m_1=m_2$
„Du kannst eine Gerade durch zwei gegebene Punkte $P$ und $U$ im Koordinatensystem aufstellen.“
- Die Steigung $m$ einer Geraden durch zwei Punkte kannst du mithilfe der Steigungsformel bestimmen. Danach kannst du einen der beiden Punkte sowie die ermittelte Steigung in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+b$ einsetzen, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen.
„Ist eine Gerade in Normalform angegeben, steht sie in der Form: $y=mx+b$“
-
Erarbeite die Lagebeziehungen von Geraden.
TippsSo sehen die drei Geraden in einem Koordinatensystem aus.
LösungSo kannst du den Text vervollständigen:
Um eine Gerade $g_1$ durch die Punkte $A(0 \vert 3)$ und $B(1 \vert 0)$ zu bestimmen, wenden wir die Steigungsformel an. Dann erhalten wir:
$m=-3$.
Den $y$-Achsenabschnitt erhalten wir durch Einsetzen des Punktes $B$ in die allgemeine Geradengleichung $y=m x+c$: (...)
Damit erhalten wir: $c=3$.
Die Geradengleichung lautet also:
$y=-3x+3$
- Wie gewohnt bestimmen wir eine Geradengleichung aus zwei Punkten $A$ und $B$.
$m_1 \cdot m_2=-1$
Mit $m_1=-3$ erhalten wir:
$m_2=${$\frac{1}{3}$}.
Den $y$-Achsenabschnitt erhalten wir wieder durch einsetzen:
Das ergibt: $c=5$.
Also lautete die Geradengleichung für $g_2$:
$y=\frac{1}{3}x+5$
Zuletzt bestimmen wir eine weitere Gerade $g_3$ durch den Punkt $C(0 \vert 5)$, die senkrecht zur Geraden $g_2$ verläuft. Dazu gehen wir wie gewohnt vor:
Hier lautet die Gleichung für die Steigung senkrechter Geraden:
$m_2 \cdot m_3=-1$
Damit ergibt sich:
$m_3=3$.
Der $y$-Achsenabschnitt ergibt:
$c=5$.
Somit erhalten wir die Geradengleichung $g_3$:
$y=3x+5$
- Auch das Vorgehen zum Bestimmen senkrechter Geraden ist bekannt.
Das liegt daran, dass die Gerade $g_2$ senkrecht zu $g_1$ und $g_3$ ist. Dann müssen die beiden Geraden parallel sein.
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