Integralrechnung

Worum geht es bei der Integralrechnung?

Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Die Integralrechnung hilft dir dabei Flächen, die von Funktionsgraphen eingeschlossen werden, zu berechnen. Auch das Volumen von Rotationskörpern kannst du mit Hilfe von Integralen bestimmen.

Ober- und Untersummen

Eine erste Möglichkeit, um Flächeninhalte unter Graphen zu ermitteln, sind Ober- und Untersummen. Wenn du diese an einem Beispiel nachvollziehst, wirst du sehen, dass du auf diese Weise eine Näherungslösung erhältst. Wenn du die Streifen jedoch „unendlich dünn“ wählst, erhältst du das exakte Ergebnis. Dieses kannst du mit Hilfe von Integralen berechnen.

Die Integralrechnung

In der Integralrechnung unterscheidet man zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen.

Das bestimmte Integral

Das bestimmte Integral einer Funktion ordnet einer Funktion eine Zahl zu. Diese Zahl entspricht dem Flächeninhalt, den die Funktion in einem bestimmten Intervall mit der $x$-Achse einschließt. Dieses Intervall wird oft mit den Buchstaben $a$ und $b$ bezeichnet. Mathematisch schreibst du für das bestimmte Integral:

$\displaystyle{\int\limits_{a}^{b} f(x) dx}$

Hinweis: Flächen, die unterhalb der $x$-Achse liegen, werden hier negativ eingerechnet.

Das unbestimmte Integral

Das unbestimmte Integral beschreibt die Gesamtheit aller Stammfunktionen $F$ und wird wie folgt dargestellt:

$\displaystyle{\int f(x)dx = F(x) + C}$

Mit Hilfe jeder dieser Stammfunktionen kannst du dank des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung jedes bestimmte Integral berechnen. Dieser Satz besteht aus der folgenden Gleichung, die du sicherlich häufig anwenden wirst:

$\displaystyle{\int\limits_a^{b} \,f(x) \,dx=[F(x)]_a^{b}=F(b)-F(a)}$

Stammfunktionen

Der Begriff Stammfunktion ist bereits weiter oben im Text genannt worden. Die Stammfunktion einer Funktion $f$ wird mit $F$ bezeichnet und es gilt:

$F'(x) = f(x)$

Eine Stammfunktion ergibt also abgeleitet die Funktion $f$. Um die Menge der Stammfunktionen zu einer Funktion $f$ zu finden gibt es, ähnlich wie um Ableitungen zu bestimmen, einige Regeln, die dir helfen. Es gibt die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel.

Ist die ursprüngliche Funktion allerdings verkettet, so verwendest du die Integration durch Substitution. Besteht deine Funktion $f(x)$ aus einem Produkt, so integrierst du mit Hilfe der partiellen Integration. Eine weitere hilfreiche Integrationsmethode ist die Partialbruchzerlegung, welche dann angewendet wird, wenn man den Funktionsterm nicht einfach in eine Summe umwandeln kann.

Die Menge aller Stammfunktionen schreibst du als $F(x) + C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist. Diese „fällt“ beim Ableiten weg und kann deshalb beliebig gewählt werden.

Das Integral als Hilfsmittel zur Flächenberechnung

Wie oben im Hinweis schon angesprochen, gibt es bei der Flächenberechnung mit Integralen etwas zu beachten. Der Wert eines bestimmten Integrals kann sich von dem Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche unterscheiden, wenn sich in dem Intervall Teile der Fläche (oder die gesamte Fläche) unterhalb der $x$-Achse befinden.

Trotzdem kann man das Integral zur Berechnung der Fläche unterhalb einer Kurve oder zwischen zwei Funktionen verwenden. Dazu musst du zuerst die Nullstellen im Intervall $[a;b]$ bestimmen. Anschließend berechnest du die Werte der Intervalle abschnittsweise, nimmst jeweils den Betrag und addierst diese einzelnen Werte.