Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Übung

• Fasse die verschiedenen Bedeutungen der Integration zusammen.

  Tipps

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt an, wie wir eine Flächenbilanz mit einer Stammfunktion berechnen können. Er verbindet die beiden Aspekte der Integration.

  Für integrieren wird umgangssprachlich manchmal der Begriff 'aufleiten' verwendet.

  Lösung

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet die beiden Deutungsmöglichkeiten der Integration. Er zeigt auf, wie wir konkrete Flächeninhalte mithilfe von Stammfunktionen berechnen können.

  Integration als Methode zur Flächenberechnung:
  Wir können die Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$-Achse mithilfe der Ober- und Untersummen bestimmen. Das Ergebnis ist eine Maßzahl.

  Integration als Umkehrung des Ableitens:
  Das Integral einer Funktion $f(x)$ liefert eine Stammfunktion $F(x)$, für die gilt: $F'(x)$ $= f(x)$.
  Da beim Ableiten konstante Terme verschwinden, addieren wir stets die Integrationskonstante $c \in \mathbb{R}$.

• Vervollständige den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

  Tipps

  Um die Flächenbilanz zu berechnen, wird zunächst eine Stammfunktion gebildet. Diese wird an den Integrationsgrenzen ausgewertet und die Differenz zwischen der oberen und der unteren Grenze wird bestimmt.

  Beispiel:

  $\displaystyle \int\limits_2^3 x \ \text{d}x = \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{2}^{3} = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - \left(\frac{1}{2} \cdot 2^2 \right)$
  $~= \dfrac{9}{2} - \dfrac{4}{2} = 4{,}5 - 2 = 2{,}5~[\text{FE}]$

  Lösung

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt uns, wie wir den Wert eines bestimmten Integrals mit einer Stammfunktion bestimmen können:

  $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \ \text{d}x = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

  Wir werten also die Stammfunktion an den Integrationsgrenzen aus und bilden die Differenz.

  
  

  Beispiel:

  $\displaystyle \int\limits_1^3 8x^3 \ \text{d}x = \left[ 2 x^4 \right]_{1}^{3} = 2 \cdot (3)^4 - \left[2 \cdot (1)^4 \right] = 162 - 2 = 160~[\text{FE}]$

• Beurteile die Aussagen zur Differential- und Integralrechnung.

  Tipps

  Eine Bilanz kann positive und negative Einträge enthalten.

  Hier siehst du die gesamte Fläche, die von einer Funktion $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

  Lösung

  Als Fundamentalsatz der Analysis bringt der Hauptsatz die Differential- und die Integralrechnung zusammen. Wir können so den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion $f(x)$ mit einer Stammfunktion $F(x)$ berechnen. Dabei gilt zwischen einer Funktion und einer Stammfunktion stets der Zusammenhang: $F'(x) = f(x)$. Diese Aussage ist also richtig.
  Die Integrationskonstante $c$, die wir beim Bilden der Stammfunktion berücksichtigen müssen, fällt bei der Berechnung weg.

  Beispiel: Für die Funktion $f(x) = x$ mit der Stammfunktion $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + c$ gilt:

  $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)\ \text{d}x = \int\limits_{a}^{b} x\ \text{d}x = \left[ \dfrac{1}{2}x^2 + c \right]_{a}^{b} = \dfrac{1}{2}b^2 + c - \left[\dfrac{1}{2}a^2 + c \right] = \dfrac{1}{2}b^2 - \dfrac{1}{2}a^2$

  Die Aussage "Bei der Anwendung des HDI muss die Integrationskonstante $c = 0$ sein." ist demnach falsch.

  Wie in der Skizze oben zu sehen, zählen bei der Berechnung eines bestimmten Integrals Flächen oberhalb der $x$-Achse positiv und Flächen unterhalb der $x$-Achse negativ. Wir erhalten eine Flächenbilanz, deren Wert auch negativ sein kann.

  • Die Aussage "Der HDI liefert eine Flächenbilanz." ist richtig.
  • Die Aussagen "Der Wert eines bestimmten Integrals ist stets größer als 0.2" und "Bei der Anwendung des HDI zählen nur Flächen oberhalb der $x$-Achse." sind falsch.

• Bestimme die Flächenbilanz mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

  Tipps

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet:

  $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \text{d}x = \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

  Beispiel:

  $\displaystyle \int\limits_{-5}^0 2~\text{d}x = \Bigl[ 2x \Bigr]_{-5}^{0} = 2 \cdot 0 - [2 \cdot (-5)] = 0 - [-10] = 10~[\text{FE}]$

  Lösung

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erlaubt uns das bestimmte Integral einer Funktion $f(x)$ mithilfe einer Stammfunktion $F(x)$ zu berechnen:

  $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \text{d}x = \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

  Wir wenden den Hauptsatz auf die Integrale an:

  1. Integral:

  $\displaystyle \int\limits_{-3}^2 5~\text{d}x = \Bigl[ 5x \Bigr]_{-3}^{2} = 5 \cdot 2 - \bigl[ 5 \cdot (-3) \bigr] = 10 - \bigl[ -15 \bigr] = 25$
  $\Rightarrow \quad 25~[\text{FE}]$

  2. Integral:

  $\displaystyle \int\limits_1^5 -x + 3~\text{d}x = \Bigl[ -\frac{1}{2} x^2 + 3x \Bigr]_{1}^{5}$
  $= -\frac{1}{2} \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 - \bigl[ -\frac{1}{2} \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 \bigr]$
  $= -12,5 + 15 - \bigl[ -0,5 + 3 \bigr]$
  $= 2,5 - 2,5 = 0$
  $\Rightarrow \quad 0~[\text{FE}]$

  3. Integral:

  $\displaystyle \int\limits_{-2}^1 x^2 + 2x - 7~\text{d}x = \Bigl[ \frac{1}{3} x^3 + x^2 - 7x \Bigr]_{-2}^{1}$
  $= \frac{1}{3} \cdot 1^3 + 1^2 - 7 \cdot 1 - \bigl[ \frac{1}{3} \cdot (-2)^3 + (-2)^2 - 7 \cdot (-2) \bigr]$
  $= \frac{1}{3} + 1 - 7 - \bigl[ -\frac{8}{3} + 4 + 14 \bigr]$
  $= \frac{1}{3} - 6 + \frac{8}{3} - 18 \bigr]$
  $= 3 - 24 = -21$
  $\Rightarrow \quad -21~[\text{FE}]$

  4. Integral:

  $\displaystyle \int\limits_{-2}^1 -x^3 + 2x~\text{d}x = \Bigl[ -\frac{1}{4} x^4 + x^2 \Bigr]_{-2}^{1}$
  $= -\frac{1}{4} \cdot 1^4 + 1^2 - \bigl[ -\frac{1}{4} \cdot (-2)^4 + (-2)^2 \bigr]$
  $= -\frac{1}{4} + 1 - \bigl[ -4 + 4 \bigr]$
  $= 0,75 - 0 = 0,75$
  $\Rightarrow \quad 0,75~[\text{FE}]$

• Gib Stammfunktionen der Funktion $f(x)$ an.

  Tipps

  Potenzregel:

  $\displaystyle \int x^n \ \text{d}x = \frac{1}{n + 1}x^{n+1} + c$

  Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens.

  Lösung

  Um die Stammfunktion der gegebenen Polynomfunktion zu bilden, nutzen wir die Potenzregel:

  $\displaystyle \int x^n \ \text{d}x = \dfrac{1}{n + 1}x^{n+1} + c$

  Wenn wir das auf unsere Funktion anwenden, erhalten wir:

  $\displaystyle \int x^2 \ \text{d}x = \dfrac{1}{3}x^{3} + c$

  Damit erhalten wir die folgenden Stammfunktionen:

  • $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 1$ mit $c = 1$
  • $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 5$ mit $c = 5$

  Der Term $F(x) = 2x$ ist die Ableitung von $f(x)$, nicht die Stammfunktion. Hier gibt es keine Integrationskonstante. Damit ist auch $F(x) = 2x + 1$ keine Stammfunktion von $f$.

  Bei $F(x) = \frac{1}{2}x^2$ handelt es sich um die Stammfunktion der Funktion $f(x) = x$ und nicht $f(x) = x^2$.

  Hinweis: Du kannst auch $F(x)$ ableiten und überprüfen, ob die Ableitung mit $f(x)$ übereinstimmt.

• Ermittle den Inhalt des Flächenstücks, das die Funktion $f(x)$ im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

  Tipps

  Es gilt:

  Die obere Integrationsgrenze ist die Nullstelle der Funktion.
  Du kannst diese durch Probieren ermitteln.

  Du kannst den Graphen zum Beispiel mithilfe der Nullstelle bei $x = 2$, des Schnittpunktes mit der $y$-Achse bei $3$ und den Extremstellen skizzieren, um eine bessere Vorstellung des gesuchten Flächenstücks zu bekommen.

  Lösung

  Um den Inhalt des Flächenstücks zu ermitteln, das $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 0{,}5x + 3$ im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt, müssen wir zunächst die Nullstelle von $f(x)$ bestimmen.
  Da es sich um eine Polynomfunktion dritten Grades handelt, gibt es keine allgemeine Lösungsformel. Wir setzen positive $x$-Werte ein:

  $f(1) = -2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 0{,}5 \cdot 1 + 3 = -2 + 3 + 0{,}5 + 3 = 4{,}5$
  $f(2) = -2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 0{,}5 \cdot 2 + 3 = -16 + 12 + 1 + 3 = 0$
  $\Rightarrow$ Nullstelle bei $x = 2$.

  Hinweis: Wenn wir den Linearfaktor $(x - 2)$ zum Beispiel durch Polynomdivison vom Funktionsterm abspalten, erhalten wir: $f(x) = (x-2)(-2x^2-x-1{,}5)$. Dabei hat der quadratische Term in der Klammer keine weiteren Nullstellen. Alternativ kann der Graph der Funktion zum Beispiel mithilfe der Nullstelle bei $x = 2$, des Schnittpunktes mit der $y$-Achse bei $3$ und den Extremstellen (über die Ableitung zu bestimmen) skizziert werden, um eine bessere Vorstellung des gesuchten Flächenstücks zu bekommen.

  Das gesuchte Flächenstück erhalten wir durch Berechnung des Integrals mit den Grenzen $0$ und $2$. Wir nutzen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\displaystyle \int\limits_0^2 f(x)~\text{d}x = \int\limits_0^2 -2x^3 + 3x^2 + 0{,}5x + 3~\text{d}x$
  $= \left[ -2 \cdot \dfrac{1}{4} x^4 + 3 \cdot \dfrac{1}{3} x^3 + 0{,}5 \cdot \dfrac{1}{2} x^2 + 3 \cdot x \right]_{0}^{2}$
  $= \left[ -\dfrac{1}{2} x^4 + x^3 + \dfrac{1}{4} x^2 + 3x \right]_{0}^{2}$
  $= -\dfrac{1}{2} \cdot 2^4 + 2^3 + \dfrac{1}{4} \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - \left[-\dfrac{1}{2} \cdot 0^4 + 0^3 + \dfrac{1}{4} \cdot 0^2 + 3 \cdot 0\right]$
  $= -8 + 8 + 1 + 6 - \left[0\right] = 7$

  $\Rightarrow$ Das Flächenstück hat einen Inhalt von $7~[\text{FE}]$.