Trapez – Fehlende Größen berechnen

Trapez – Fehlende Größen berechnen Übung

• Beschreibe die Strategie zur Berechnung fehlender Größen im Trapez.

  Tipps

  Unter "Größen" versteht man die Angaben, die in der Rechnung gegeben oder gesucht sind. In dieser Aufgabe ist $h$ (Höhe) gesucht und $A$ (Flächeninhalt), $a$ (Seite $a$ des Trapezes) und $c$ (Seite $c$ des Trapezes) gegeben.

  Um die Aufgabe zu lösen, benötigt man die korrekte Formel. Sie lautet für den Flächeninhalt des Trapezes:

  $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

  Lösung

  Bei der Berechnung fehlender Größen im Trapez ist es nicht nur wichtig die Formeln zu kennen, du solltest auch möglichst systematisch vorgehen, um dir die Arbeit zu erleichtern.

  Du überlegst dir ...

  Schritt 1:
  Welche Größen sind gegeben und gesucht?
  $\Rightarrow ~$ Lies die gegebenen und gesuchten Größen aus der Aufgabenstellung ab.
  Gegeben: $~A=7~\text{cm}^2, ~ a=4~\text{cm}, ~ c=3~\text{cm}$
  Gesucht: $~~~h =~?$

  Schritt 2:
  Welche Formel ist geeignet, um die gesuchte Größe aus den gegebenen Größen zu berechnen?
  $\Rightarrow ~$ Suche die passenden Formeln.
  $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

  Schritt 3:
  $\Rightarrow ~$ Setze die gegebene Werte ein.
  $7~\text{cm}^2 = \dfrac{1}{2} \cdot ( 4~\text{cm} + 3~\text{cm}) \cdot h$

  Schritt 4:
  $\Rightarrow ~$ Vereinfache die Gleichung.
  $7~\text{cm}^2 = 3{,}5~\text{cm} \cdot h$

  Schritt 5:
  $\Rightarrow ~$ Stelle die Gleichung nach dem gesuchten Wert um.
  $h=2~\text{cm}$

• Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Trapezes.

  Tipps

  Setze die gegebenen Größen in die Formel ein.

  Zum Beispiel setzen wir für $a= 10 ~\text{cm}$ in $ U = a + b + c + d $ ein. Das ergibt:

  $ U = 10 ~\text{cm} + b + c + d $

  Lösung

  Um diese Aufgabe zu lösen, musst du die gegebenen Angaben aus der Grafik ablesen und in die Formel für Umfang $U$ und Flächeninhalt $A$ einsetzen.

  Die Aufgabe wird wie folgt gelöst:

  $ U = a + b + c + d $

  $ \Rightarrow ~ U = 10~\text{cm} + 6{,}5~\text{cm} + 4~\text{cm} + 5{,}3~\text{cm} = 25{,}8~\text{cm}$

  $\quad$

  $ A = \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h $

  $\Rightarrow ~ A = \dfrac{1}{2} \cdot (10~\text{cm} + 4~\text{cm} ) \cdot 5~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot 14~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 7~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 35~\text{cm}^2$

• Bestimme den Flächeninhalt der Trapeze.

  Tipps

  Lese die Größen aus der Grafik ab und setze sie in die bekannten Formeln ein.

  Hier musst du ${a=5~\text{cm}}$, ${c=3~\text{cm}}$ und ${h = 2~\text{cm}}$ aus der Grafik ablesen und die Formel einsetzen.

  Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:

  $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

  Lösung

  Um das Ergebnis des Flächeninhaltes des Trapezes zu erhalten, musst du die Angaben aus der Grafik ablesen und in die allgemeine Formel $A=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$ einsetzen.

  Die Aufgaben werden wie folgt gelöst:

  1)
  $A = \dfrac{1}{2} \cdot (7~\text{cm}+3{,}2~\text{cm}) \cdot 2{,}3~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (10{,}2~\text{cm}) \cdot 2{,}3~\text{cm} = 5{,}1~\text{cm} \cdot 2{,}3~\text{cm}$

  $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 11{,}73~\text{cm}^2}$

  
  

  2)
  $A = \dfrac{1}{2} \cdot (11{,}5~\text{cm}+4~\text{cm}) \cdot 4{,}6~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (15{,}5~\text{cm}) \cdot 4~\text{cm} = 7{,}75~\text{cm} \cdot 4{,}6~\text{cm}$

  $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 35{,}65~\text{cm}^2}$

  
  

  3)
  $A = \dfrac{1}{2} \cdot (7{,}8~\text{cm}+3{,}5~\text{cm}) \cdot 3{,}2~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (11{,}3~\text{cm}) \cdot 3{,}2~\text{cm} = 5{,}65~\text{cm} \cdot 3{,}2~\text{cm}$

  $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 18{,}08~\text{cm}^2}$

  
  

  4)
  $A = \dfrac{1}{2} \cdot (8{,}8~\text{cm}+4{,}5~\text{cm}) \cdot 3{,}5~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (13{,}3~\text{cm}) \cdot 3{,}5~\text{cm} = 6{,}65~\text{cm} \cdot 3{,}5~\text{cm}$

  $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 23{,}275~\text{cm}^2 \approx 23{,}28~\text{cm}^2}$

• Entscheide, ob die Größen im Trapez richtig berechnet wurden.

  Tipps

  $A_\text{Trapez}=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

  $U_\text{Trapez}=a+b+c+d$

  Um die gesuchte Größe in einer Formel auszurechnen, setzt du die gegebenen Größen ein, vereinfachst die Gleichung soweit wie möglich und löst sie dann nach der gesuchten Größe auf.

  Lösung

  Wir rechnen nach, um zu überprüfen, ob die Ergebnisse stimmen.

  Folgende Rechnungen sind korrekt:

  $A = 389{,}5~\text{cm}^2, a = 27~\text{cm},~ c = 14~\text{cm}$

  $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \ \Leftrightarrow \ h = \dfrac{2A}{(a+c)}$

  $\Rightarrow~h= \dfrac{2\cdot 389{,}5~\text{cm}^2}{27~\text{cm} + 14~\text{cm}} = \dfrac {779 ~\text{cm}}{41~\text{cm}} = \color{#99CC00}{19~\text{cm}}$

  
  

  $U = 317{,}9~\text{mm}, b = 69{,}4~\text{mm}, c = 88{,}7~\text{mm},~ d = 57{,}2~\text{mm}$

  $U= a+b+c+d \ \Leftrightarrow \ a = U-b-c-d$

  $\Rightarrow~ a = U = 317{,}9~\text{mm} - 69{,}4~\text{mm} - 88{,}7~\text{mm} - 57{,}2~\text{mm} =\color{#99CC00}{102{,}6~\text{mm}}$

  
  

  Folgende Rechnungen sind nicht korrekt:

  $A = 0{,}75~\text{cm}^2, a = 1{,}3~\text{cm}, h = 0{,}7~\text{cm}$

  $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \ \Leftrightarrow \ c = \dfrac{2A}{h} - a$

  $ \Rightarrow~c= \dfrac{2\cdot 0{,}75~\text{cm}^2}{0{,}7~\text{cm}} - 1{,}3~\text{cm} \approx 0{,}84~\text{cm} \neq \color{red}{0{,}9~\text{cm}} $

  
  

  $U = 104{,}9~\text{mm}, a = 33{,}6~\text{mm}, c = 27{,}6~\text{mm}, d = 21{,}8~\text{mm}$

  $U=a+b+c+d \ \Leftrightarrow \ b = U-a-c-d$

  $ \Rightarrow~b = 104{,}9~\text{mm} - a = 33{,}6~\text{mm} - 27{,}6~\text{mm} - d = 21{,}8~\text{mm} = 21{,}9~\text{mm} \neq \color{red}{26{,}4~\text{mm}}$

  
  

  Hinweis: Es ist auch möglich, so wie hier zunächst die Formel nach der gesuchten Größe umzustellen und dann die gegebenen Größen einzusetzen, um so die gesuchte Größe direkt zu berechnen.

• Gib an, welche Formeln im Trapez gelten.

  Tipps

  Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes kann auf verschiedenen Arten dargestellt werden.

  Beispiel:

  $A_{\text{Trapez}} = \dfrac{a + c}{2} \cdot h$

  Lösung

  Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Der Abstand der parallel Seiten ist die Höhe $h$ des Trapezes.

  Die Formel für den Umfang des Trapezes entspricht der Formel für den Umfang eines allgemeinen Vierecks. Wir müssen alle vier Seiten addieren:
  $U=a+b+c+d$

  Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt die Formel:
  $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

  Diese Formel können wir auf verschiedenen Arten darstellen:
  $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h = \dfrac{a+c}{2} \cdot h = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$

  
  

  Folgende Formeln sind korrekt:

  $\color{#99CC00}{A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}$

  $\color{#99CC00}{A=\dfrac{(a+c) \cdot h}{2}}$

  $\color{#99CC00}{U=a+b+c+d}$

  Folgende Formeln sind nicht korrekt:

  $A=\dfrac{1}{4} \cdot (a+c) \cdot h$

  $A=\dfrac{(a+2) \cdot c}{h}$

  $U = (a+c) - (b+d)$

• Ermittle die fehlenden Größen des Trapezes.

  Tipps

  Setze die gegebenen Größen in die Formel ein und stelle sie nach der gesuchten Größe um.

  Achte auf die Einheiten und rechne in die gleiche Größe um.

  $1~\text{m}=100~\text{cm}$.

  Lösung

  Um diese Aufgabe zu lösen, musst du die passende Formel wählen, die gegebenen Größen in die Formeln einsetzen und sie dann nach der gesuchten Größe umstellen.

  Die Formel für den Flächeninhalt lautet: ${A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}$

  Die Formel für den Umfang lautet: ${U=a+b+c+d}$.

  Bei dieser Aufgabe ist zu beachten, dass du die Einheiten anpassen musst. Zum Beispiel ist $1~\text{m}=100~\text{cm}$.

  
  

  Aufgabe 1:
  Gegeben: $~A=45~\text{cm}^2,~ a=7{,}3 ~\text{cm},~ b=4~\text{cm},~ c=5~\text{cm}, ~d = 3{,}5~\text{cm}$
  Gesucht: $~~~h = ~?~$ und $~U = ~?$

  $\begin{array}{cccl} A &=& \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\ 45~\text{cm}^2 &=& \frac{1}{2} \cdot (7{,}3 ~\text{cm}+5~\text{cm}) \cdot h \\ 45~\text{cm}^2 &=& \frac{1}{2} \cdot 12{,}3~\text{cm} \cdot h \\ 45~\text{cm}^2 &=& 6{,}15~\text{cm} \cdot h & \vert :6{,}15~\text{cm}\\ 45~\text{cm}^2 : 6{,}15~\text{cm} &=& h \end{array}$

  $\Rightarrow \quad h \approx \color{#99CC00}{7{,}32~\text{cm}}$

  $\begin{array}{ccc} U &=& a+b+c+d \\ U &=& 7{,}3~\text{cm} +4~\text{cm} +5~\text{cm}+3{,}5~\text{cm} \end{array}$

  $\Rightarrow \quad U = \color{#99CC00}{19{,}8~\text{cm}}$

  Aufgabe 2:
  Gegeben: $~A=1260~\text{mm}^2,~ h=42 ~\text{mm}, ~ b=35~\text{mm},~ c=27~\text{mm}, ~d = 27~\text{mm}$
  Gesucht: $~~~a = ~?~$ und $~U = ~?$

  $\begin{array}{cccl} A &=& \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\ 1260~\text{mm}^2 &=& \frac{1}{2} \cdot (a+27~\text{mm}) \cdot 42 ~\text{mm} \\ 1260~\text{mm}^2 &=& 21~\text{mm} \cdot (a+27~\text{mm}) & \vert :21~\text{mm} \\ 60~\text{mm} &=& a+27~\text{mm} & \vert -27~\text{mm}\\ 60~\text{mm}-27~\text{mm} &=& a \end{array}$

  $\Rightarrow \quad a = \color{#99CC00}{33~\text{mm}}$

  $\begin{array}{ccc} U &=& a+b+c+d \\ U &=& 33~\text{mm}+35~\text{mm}+27~\text{mm}+27~\text{mm} \end{array}$

  $\Rightarrow \quad U = \color{#99CC00}{122~\text{mm}}$

  Aufgabe 3:
  Gegeben: $~U = 0{,}7~\text{m} = 70~\text{cm},~ a=20 ~\text{cm},~ b=15~\text{cm},~ d=18~\text{cm}, ~ h = 16~\text{cm}$
  Gesucht: $~~~c = ~?~$ und $~A = ~?$

  $\begin{array}{cccl} U &=& a+b+c+d \\ 70~\text{cm} &=& 20~\text{cm} + 15~\text{cm} + c + 18~\text{cm} \\ 70~\text{cm} &=& 53~\text{cm} + c & \vert -53~\text{cm} \\ 70~\text{cm}-53~\text{cm} &=& c \end{array}$

  $\Rightarrow \quad c = \color{#99CC00}{17~\text{cm}}$

  $\begin{array}{ccc} A &=& \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\ A &=& \frac{1}{2} \cdot (20 ~\text{cm}+17~\text{cm}) \cdot 16~\text{cm} \end{array}$

  $ \Rightarrow \quad A = \color{#99CC00}{296~\text{cm}^2}$