Teilerfremde Zahlen – Einführung

Teilerfremde Zahlen – Einführung Übung

• Beschreibe, was es bedeutet, wenn zwei Zahlen teilerfremd sind.

  Tipps

  Schau dir das Beispiel zweier Primzahlen an. Primzahlen sind solche Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Zahlen besteht, nämlich der $1$ und der Zahl selbst.

  Primzahlen sind teilerfremd.

  Schreib dir die Teilermengen von verschiedenen Zahlen auf:

  • $T_{3}=\{1;3\}$
  • $T_{9}=\{1;3;9\}$
  • $T_{8}=\{1;2;4;8\}$

  Fällt dir etwas auf?

  Es gilt für jede beliebige natürliche Zahl $z$, dass $z:1=z$ ist.

  Lösung

  Gehe von dem Begriff „teilerfremd“ aus. Darin stecken zum einen „Teiler“ und zum anderen „fremd“. Das kannst du so verstehen, dass zwei Zahlen teilerfremd sind, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler haben.

  Ist das wirklich so? Nein!

  Immerhin haben alle Zahlen den Teiler $1$. Mit der obigen Erklärung würde das also bedeuten, dass keine teilerfremden Zahlen geben kann.

  Die Definition teilerfremder Zahlen muss also ein wenig geändert werden:

  Haben zwei natürliche Zahlen nur die $1$ als gemeinsamen Teiler, so heißen diese Zahlen teilerfremd.

• Erkläre, wie du die gegebenen Zahlen darauf überprüfen kannst, ob sie teilerfremd sind.

  Tipps

  Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn sie ausschließlich die Zahl $1$ als gemeinsamen Teiler haben.

  Beachte die Teilbarkeitsregeln:

  • Jede gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.
  • Jede Zahl, deren Quersumme durch $3$ ($9$) teilbar ist, ist durch $3$ ($9$) teilbar.
  • Jede Zahl, deren letzten beiden Stellen eine durch $4$ teilbare Zahl bilden, ist durch $4$ teilbar.
  • Endet eine Zahl auf $0$ oder $5$, so ist sie durch $5$ teilbar.

  Schau dir ein Beispiel für Teilermengen an:

  • $T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$,
  • $T_{21}=\{1;3;7;21\}$.

  Du siehst, die beiden Teilermengen haben als größten gemeinsamen Teiler die $3$. Das bedeutet, dass $12$ und $21$ nicht teilerfremd sind.

  Lösung

  Teilerfremde Zahlen haben nur die $1$ als gemeinsamen Teiler.

  Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu überprüfen, ob zwei Zahlen teilerfremd sind. Du kannst entweder die Teilermengen auf gemeinsame Elemente untersuchen oder Teilbarkeitsregeln verwenden. Für jede dieser Vorgehensweisen siehst du nun ein Beispiel.

  Beispiel 1: Prüfe, ob $8$ und $9$ teilerfremd sind.

  In diesem Beispiel verwendest du die Teilermengen:

  • $T_{8}=\{1;2;4;8\}$ und
  • $T_{9}=\{1;3;9\}$.

  Das einzige gemeinsame Element und damit das größte ist die $1$. Das bedeutet, dass $1$ der größte gemeinsame Teiler von $8$ und $9$ ist. Insbesondere kannst du damit schließen, dass $8$ und $9$ teilerfremd sind.

  Beispiel 2: Prüfe, ob $116$ und $135$ teilerfremd sind.

  Auch hier schreibst du zunächst eine Teilermenge auf, dieses Mal allerdings nur von einer der beiden Zahlen: $T_{116}=\{1;2;4;29;58;116\}$.

  Prüfe nun, ob $135$ durch eine dieser Zahlen, ungleich $1$, teilbar ist.

  • $2\mid 135$? Nein, da $135$ ungerade ist.
  • Damit kann $135$ sicher auch nicht durch $4$ oder $58$ oder $116$ teilbar sein.
  • Bleibt nur noch die Frage $29\mid135$? Auch hier ist ein klares „Nein!“ die Antwort. Bei der Division bleibt ein Rest, denn es ist $135:29=4$ Rest $19$.

• Prüfe, welche der Zahlen teilerfremd zu $15$ sind.

  Tipps

  Jede der Zahlen, die durch $3$ oder $5$ teilbar ist, ist nicht teilerfremd zu $15$.

  • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
  • Jede Zahl, die auf $0$ oder $5$ endet, ist durch $5$ teilbar.

  Eine der gegebenen Zahlen ist eine Primzahl. Diese ist teilerfremd zu $15$.

  Lösung

  Die Teilermenge von $15$ ist bereits vorgegeben $T_{15}=\{1;3;5;15\}$. Um festzustellen, ob eine andere Zahl teilerfremd zu $15$ ist, prüfst du, ob einer der Teiler, ungleich $1$, auch Teiler von dieser Zahl ist.

  Verwende dabei die folgenden Teilbarkeitsregeln:

  • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
  • Eine Zahl, welche auf $0$ oder $5$ endet, ist durch $5$ teilbar.
  • Ist eine Zahl entweder nicht durch $3$ oder durch $5$ teilbar, so ist sie sicher auch nicht durch $15$ teilbar.

  Nun kann die Überprüfung starten.

  • Da $33$ durch $3$ teilbar ist, sind $15$ und $33$ nicht teilerfremd.
  • Es ist $34=2\cdot 17$. Also kommt weder die $3$ noch die $5$ als Teiler vor. $15$ und $34$ sind teilerfremd.
  • $35$ ist durch $5$ teilbar und somit nicht teilerfremd zu $15$.
  • $15$ und $36$ haben den gemeinsamen Teiler $3$, sind also nicht teilerfremd.
  • $37$ ist eine Primzahl und somit teilerfremd zu jeder anderen Zahl, welche nicht ein Vielfaches von $37$ ist.
  • $38=2\cdot 19$. Das bedeutet, dass $38$ weder durch $3$ noch durch $5$ teilbar ist und auch sicher nicht durch $15$. Damit sind $15$ und $38$ teilerfremd.

• Untersuche die gegebenen Zahlen. Sind diese teilerfremd?

  Tipps

  Die Teilermenge von $222$ ist gegeben durch $T_{222}=\{1;2;3;6;37;74;111;222\}$.

  Jede Zahl, deren Quersumme durch $3$ teilbar ist, ist durch $3$ teilbar.

  Verwende $T_{242}=\{1;2;11;22;121;242\}$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe schauen wir uns jeweils die Teilermengen an.

  • $T_{33}=\{1;3;11;33\}$
  • $T_{121}=\{1;11;121\}$
  • $T_{222}=\{1;2;3;6;37;74;111;222\}$
  • $T_{333}=\{1;3;9;37;111;333\}$
  • $T_{242}=\{1;2;11;22;121;242\}$

  Damit können wir nun verschiedene Paare dieser Zahlen untersuchen.

  • $33$ und $121$ haben den größten gemeinsamen Teiler $11$, sind also nicht teilerfremd.
  • $121$ und $222$ haben außer der $1$ keinen gemeinsamen Teiler. Sie sind damit teilerfremd.
  • $222=2\cdot 111$ und $333=3\cdot 111$. Du siehst $111$ ist sowohl Teiler von $222$ als auch von $333$. Somit sind diese beiden Zahlen nicht teilerfremd.
  • $333$ und $242$ haben nur $1$ als gemeinsamen Teiler. Sie sind also teilerfremd.
  • $33$ und $242$ haben jeweils den Teiler $11$. Sie sind nicht teilerfremd.
  • $33$ und $222$ schließlich haben einzig den gemeinsamen Teiler $1$. Sie sind teilerfremd.

• Gib an, warum zwei Primzahlen immer teilerfremd zueinander sein müssen.

  Tipps

  Alle Zahlen haben den gemeinsamen Teiler $1$.

  Schau dir noch einmal die Definition von „teilerfremd“ an: Haben zwei natürliche Zahlen nur den gemeinsamen Teiler $1$, so heißen sie teilerfremd.

  Lösung

  Wenn „teilerfremd“ heißen soll, dass zwei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben sollten, dann wären Primzahlen nicht teilerfremd. Aber dann würden überhaupt keine teilerfremden Zahlen existieren.

  Wie jede andere Zahl auch haben Primzahlen den Teiler $1$. Primzahlen sind dadurch erklärt, dass sie genau zwei Teiler haben, nämlich die $1$ selbst und sich selbst.

  So ist zum Beispiel die Teilermenge von $17$ gegeben durch $T_{17}=\{1;17\}$ und die von $29$ durch $T_{29}=\{1;29\}$. Du siehst, beide Zahlen haben den gemeinsamen Teiler $1$ und auch nur diesen. Das bedeutet, dass $17$ und $29$ teilerfremd sind.

  Das gilt übrigens für jedes Paar Primzahlen: Zwei voneinander verschiedene Primzahlen sind immer teilerfremd.

• Ermittle die Teilermengen und verwende diese, um zu prüfen, ob die Zahlen teilerfremd sind.

  Tipps

  Wenn der größte gemeinsame Teiler die $1$ ist, dann sind die beiden Zahlen teilerfremd.

  Zur Bestimmung der Teilermenge verwendest du Teilbarkeitsregeln:

  • Jede gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.
  • Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ ($9$) teilbar, so ist die Zahl selbst durch $3$ ($9$) teilbar.
  • Endet eine Zahl auf $0$ oder $5$, so ist sie durch $5$ teilbar.
  • Endet eine Zahl auf $0$, so ist sie durch $10$ teilbar.

  Wenn du einen Teiler kennst, kannst du durch Division einen weiteren ermitteln. Schau dir hierfür ein Beispiel an:

  • $2\mid 12$
  • Es ist $12:2=6$.
  • Nun weißt du, dass $6\mid 12$ gelten muss.

  Lösung

  Marie bestimmt die Teilermengen:

  Die Teilermenge von $460$

  • $460$ ist durch $1$ teilbar.
  • Da $460$ eine gerade Zahl ist, ist sie auch durch $2$ und damit durch $460:2=230$ teilbar.
  • Weil $60$ durch $4$ teilbar ist, ist auch $460$ durch $4$ teilbar. Es ist $460:4=115$.
  • Da $460$ auf $0$ endet, sind sowohl $5$ als auch $10$ Teiler.
  • Mit $5$ ist auch $460:5=92$ Teiler und mit $10$ auch $460:10=46$.
  • $20$ und damit $460:20=23$ sind ebenfalls Teiler.

  Nun sind alle Teiler gefunden: $T_{460}=\{1;2;4;5;10;20;23;46;92;115;230;460\}$.

  Die Teilermenge von $483$

  • Wieder kannst du mit der $1$ beginnen.
  • Die Quersumme von $483$ ist gegeben durch $4+8+3=15$. Da diese durch $3$ teilbar ist, ist auch $483$ durch $3$ teilbar. So erhältst du auch den Teiler $483:3=161$.
  • Da $483=490-7$ ist, ist auch $7$ ein Teiler von $483$. Es ist $483:7=69$ ebenfalls ein Teiler von $483$.
  • Mit $3$ und $7$ ist auch $3\cdot 7=21$ ein Teiler von $483$. Division $483:21=23$ führt zu dem letzten noch fehlenden Teiler $23$.

  Damit ist $T_{483}=\{1;3;7;21;23;69;161;483\}$.

  Der größte gemeinsame Teiler

  Nun kannst du erkennen, dass $23$ in beiden Teilermengen vorkommt. Das bedeutet, dass $23$ der größte gemeinsame Teiler von $460$ und $483$ ist. Insbesondere ist dieser nicht $1$. Also sind $460$ und $483$ nicht teilerfremd.