Größter gemeinsamer Teiler

Hey! Das ist Tilo. Er möchte diese Wand komplett mit Klebezetteln bekleben. Warum? - das ist eine gute Frage. Aber um herauszufinden, welche Klebezettel dafür die besten sind, kann ihm der ggT helfen. Du fragst dich, was der ggT ist? ggT steht nicht für großer genialer Tilo, sondern für den Größten gemeinsamen Teiler. Du fragst dich, wie man ihn berechnet und was er überhaupt ist? Wir zeigen nun drei Wege, um ihn zu berechnen. Schieben wir Tilos Problem erstmal zur Seite und fangen ganz locker an. Im ersten Weg zur Bestimmung des ggTs betrachten wir die Teilermengen. Wir wollen den ggT von 16 und 24 bestimmen. Lass uns erstmal gucken, welche Teiler diese Zahlen besitzen und die Teilermengen bilden. Die Teilermenge einer gegebenen Zahl ist DIE Menge, in der ALLE Zahlen enthalten sind, durch die man die gegebene Zahl ohne Rest teilen kann. Klar, oder? Die Teilermenge der 16 enthält also die Zahlen 1, 2, 4, 8, und 16. Die Teilermenge der 24 sieht SO aus. Gemeinsame Teiler sind dann ALLE Teiler, die in beiden Mengen vorkommen. Hier sind das also 1, 2, 4, und 8. Der GRÖẞTE gemeinsame Teiler, der ggT, ist hier also die 8. Aber weißt du was am ggT besonders gut ist?! Man kann ihn auch noch anders herausfinden! Du musst bei dem zweiten Weg nur eine der Teilermengen aufschreiben. Diese kannst du dann mit Vielfachenmengen überprüfen. Lass uns dazu den ggT der Zahlen 36 und 42 herausfinden Wir schreiben uns dieses Mal NUR die Teilermenge der kleineren Zahl, also der 36, auf. Hier ist sie auch schon. So, welche dieser Zahlen sind denn auch Teiler der 42? Überprüfen wir das mal und beginnen rechts, also beim größten Teiler der 36, der 36 selbst. Ist 42 durch 36 teilbar? Lass uns jetzt die Vielfachen angucken: Das erste Vielfache der 36 ist die 72. Die 36 kann also kein Teiler der 42 sein. Machen wir weiter mit der 18. Auch die 18 ist kein Teiler der 42. Machen wir nun weiter bei der Multiplikationsreihe der 12 und der 9. Das sind ja auch keine Teiler von 42! Wie ist es mit der 6? Da ist die 42 ja endlich, dann können wir ja aufhören. Die 6 ist also ein Teiler der 42. Weil die 6 der erste gemeinsame Teiler ist, auf den wir gestoßen sind, ist der größte gemeinsame Teiler von 36 und 42 also 6. Tilo ist immer noch voll lost. Das hilft ihm ja alles gar nicht, seine Zahlen sind doch viel größer! Die Wand, die er ausgemessen hat, hat ja eine Höhe von 216cm und eine Breite von 176cm. Was für eine Größe müssen die quadratischen Klebezettel haben, damit die komplette Wand beklebt werden kann? Willst auch DU so etwas wissen, dann hilft dir der nächste Trick zur Berechnung des ggTs. Schonmal was von Primfaktorzerlegung gehört? Genau die verwenden wir nämlich jetzt. 216 ist das gleiche wie 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 3 mal 3. Und DAS hier ist die Primfaktorzerlegung der 176. Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, multiplizieren wir die Primfaktoren, die beide Zerlegungen gemeinsam haben, hier also 2 mal 2 mal 2. Der ggT von 216 und 176 ist also 8. Easy, oder? Tilo wird also Klebezettel wählen, die eine Seitenlänge von 8 Zentimetern haben. Ist der erste gemeinsame Teiler, den man findet, 1, so nennt man die Zahlen teilerfremd. Sie haben dann keine gemeinsamen Primfaktoren. Jetzt kann er die ganze Wand mit Klebezetteln bekleben! Äh wie war das jetzt nochmal alles?! Wir haben drei Wege gesehen, wie man den ggT von zwei Zahlen bestimmen kann. Bei der ersten Möglichkeit haben wir die Teilermengen der Zahlen betrachtet, die gemeinsamen Teiler gefunden ... und mithilfe dieser den größten gemeinsamen Teiler bestimmt. Eine andere Möglichkeit war es, die Teilermenge der GRÖßTEN Zahl zu ermitteln. Anhand dieser konnten wir überprüfen, welche Teiler auch Teiler der anderen Zahl sind. Dabei haben wir bei dem größten Teiler begonnen. Den ggT kann man außerdem mithilfe der Primfaktorzerlegung finden, indem man die gemeinsamen Primfaktoren multipliziert. Wow, Tilo! Das sieht ja richtig gut aus, was du da gemacht hast mit dem Zimmer von Sebastian. Joa Sebastian, läuft bei dir, ne!