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Größter gemeinsamer Teiler

Größter gemeinsamer Teiler – Mathe Erfahre, wie Lena den größten gemeinsamen Teiler verwendet, um die Anzahl der Stellplätze auf ihrem Campingplatz zu berechnen. Lerne die Definition des ggT und drei verschiedene Methoden zur Bestimmung kennen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Was ist der größte gemeinsame Teiler von 16 und 24?

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Team Digital
Größter gemeinsamer Teiler
lernst du in der Primarschule 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Größter gemeinsamer Teiler

Größter gemeinsamer Teiler – Mathe

Lena Lagerfeuer plant einen Campingplatz und möchte dafür Plätze für Wohnmobile und Plätze für Zelte anlegen. Da sie pro Reihe dieselbe Anzahl an Stellplätzen haben möchte, muss sie sich mit dem größten gemeinsamen Teiler auskennen. Was der größte gemeinsame Teiler ist, wird im Folgenden genauer erklärt.


Größter gemeinsamer Teiler – Erklärung

Lena hat 1616 Plätze für Wohnmobile und 2424 Plätze für Zelte. Um herauszufinden, wie viele Plätze sie in eine Reihe bekommt, berechnen wir den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Schauen wir uns dafür zunächst an, welche Teiler diese beiden Zahlen besitzen. Diese Teiler bilden die Teilermengen.

  • Die Teilermenge einer gegebenen Zahl ist die Menge aller Zahlen, durch die man die gegebene Zahl ohne Rest teilen kann.

Die Teilermenge der 1616 schreiben wir als T16T_{16}. Sie enthält die Zahlen:

T16={1,2,4,8,16}T_{16} = \lbrace 1, 2, 4, 8, 16 \rbrace

Die Teilermenge der 2424 schreiben wir als T24T_{24}. Sie enthält die Zahlen:

T24={1,2,3,4,6,8,12,24}T_{24} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \rbrace

Gemeinsame Teiler der beiden Zahlen sind alle Teiler, die in beiden Mengen vorkommen. Die gemeinsamen Teiler der Zahlen 1616 und 2424 sind 11, 22, 44 und 88.

Der größte gemeinsame Teiler wird mit ggT\text{ggT} abgekürzt und ist in diesem Fall die 88. Wir schreiben das als:

ggT(16,24)=8\text{ggT}(16, 24) = 8

Wir sagen: Der größte gemeinsame Teiler von 1616 und 2424 ist 88. Die Definition für den größten gemeinsamen Teiler lautet also:

  • Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch welche beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. Ist der einzige gemeinsame Teiler die 11, so nennt man die Zahlen teilerfremd.


Größten gemeinsamen Teiler bestimmen

Lena könnte also 88 Plätze pro Reihe anlegen. Stellen wir uns jetzt vor, dass ihr Zeltplatz größer wäre und sie Platz für 3636 Wohnmobile und 4242 Zelte hätte. Wir schauen uns eine zweite Möglichkeit zur Bestimmung des ggT\text{ggT} an. Dafür notieren wir zunächst nur die Teilermenge der kleineren Zahl.

T36={1,2,3,4,6,9,12,18,36}T_{36} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \rbrace

Nun wird überprüft, welche dieser Zahlen auch Teiler der 4242 sind. Da wir den größten gemeinsamen Teiler suchen, beginnen wir mit dem größten Teiler der 3636. Zur Überprüfung können uns die Multiplikationsreihen der jeweiligen Teiler helfen. Ist die 4242 Teil dieser Reihe, dann ist die Zahl auch ein Teiler der 4242. Wir betrachten dazu Vielfachenmengen der jeweiligen Teiler. Diese bezeichnen wir mit VV.

V36={36,72,}V_{36} = \lbrace 36, 72, … \rbrace

Das erste Vielfache der 3636 ist die 7272. Diese ist bereits größer als die 4242. Daraus können wir schließen, dass die 3636 kein Teiler der 4242 ist. Fahren wir mit der 1818 fort.

V18={18,36,54,}V_{18} = \lbrace 18, 36, 54, … \rbrace

Dies zeigt uns, dass die 1818 kein Teiler der 4242 ist. Auch die 1212 ist kein Teiler der 4242, genauso wie die 99, denn die Vielfachenmengen V12V_{12} und V9V_9 enthalten beide nicht die 4242.

V12={12,24,36,48,}V_{12} = \lbrace 12, 24, 36, 48, … \rbrace

V9={9,18,27,36,45,}V_{9} = \lbrace 9, 18, 27, 36, 45, … \rbrace

Betrachten wir als Nächstes die Vielfachenmenge der 66.

V6={6,12,18,24,30,36,42,}V_6 = \lbrace 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, … \rbrace

Die 66 ist ein Teiler der 4242. Da die 66 der erste gemeinsame Teiler ist, auf den wir gestoßen sind, ist sie der größte gemeinsame Teiler von 3636 und 4242.

ggT(36,42)=6\text{ggT}(36,42) = 6


Größten gemeinsamen Teiler mit Primfaktorzerlegung bestimmen

Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen. Diese bietet sich vor allem bei größeren Zahlen an. Stellen wir uns hierfür vor, dass Lena 216216 Plätze für Wohnmobile und 176176 Plätze für Zelte hat. Wir verwenden für die Bestimmung des ggT\text{ggT} die Primfaktorzerlegung beider Zahlen.

216=2108=2254=22227=22239=222333216 = 2 \cdot 108 = 2 \cdot 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

176=288=2244=22222=222211176 = 2 \cdot 88 = 2 \cdot 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, multiplizieren wir die Primfaktoren, die beide Zerlegungen gemeinsam haben.

ggT(216,176)=222=8\text{ggT}(216,176) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Der größte gemeinsame Teiler von 216216 und 176176 ist 88.

Zusammenfassung – größter gemeinsamer Teiler

Die folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste zum Thema größter gemeinsamer Teiler noch einmal zusammen.

  • Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch welche beide Zahlen ohne Rest teilbar sind.
  • Die Abkürzung für den größten gemeinsamen Teiler lautet ggT\text{ggT}.
  • Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den ggT\text{ggT} zweier Zahlen zu bestimmen.
  • Alle Möglichkeiten lassen sich auch für die Bestimmung des ggT\text{ggT} mehrerer Zahlen anwenden.
  • Möglichkeit 11: Betrachte die Teilermengen beider Zahlen, suche gemeinsame Teiler heraus und bestimme den ggT\text{ggT}.
  • Möglichkeit 22: Notiere die Teilermenge der kleineren Zahl und finde mithilfe der Vielfachen der Teiler heraus, welche Zahlen auch Teiler der größeren Zahl sind. Beginne mit dem größten Teiler der kleineren Zahl. Der erste gemeinsame Teiler ist dann zugleich der ggT\text{ggT}.
  • Möglichkeit 33: Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziere die gemeinsamen Primfaktoren, um den ggT\text{ggT} zu erhalten.
  • Ist der einzige gemeinsame Teiler die 11, so nennt man die Zahlen teilerfremd.
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Ausblick – das lernst du nach Größter gemeinsamer Teiler

Im nächsten Schritt kannst du dein Verständnis über den größten gemeinsamen Teiler erweitern, indem du dich mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen beschäftigst. Außerdem ist es sinnvoll, dein Wissen zur Primfaktorzerlegung aufzufrischen, um die unterschiedlichen Wege, den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, zu verstehen.

Wenn du das Gelernte direkt anwenden möchtest, wirf einen Blick in den Übungstext oder versuche dich an den interaktiven Übungen, die speziell dafür konzipiert sind, dein Verständnis zu vertiefen.

Transkript Größter gemeinsamer Teiler

Lena Lagerfeuer plant einen Campingplatz und möchte dazu Plätze für Wohnmobile und Plätze für Zelte anlegen. Da sie pro Reihe die gleiche Anzahl an Stellplätzen haben möchte, muss sie sich mit dem größten gemeinsamen Teiler auskennen. Lena hat 16 Plätze für Wohnmobile und 24 Plätze für Zelte. Um herauszufinden, wie viele Plätze sie in eine Reihe bekommt, berechnen wir den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Schauen wir uns dazu doch zunächst einmal an, welche Teiler diese Zahlen besitzen und betrachten die Teilermengen. Die Teilermenge einer gegebenen Zahl ist die Menge, in der alle Zahlen enthalten sind, durch die man die gegebene Zahl ohne Rest teilen kann. Die Teilermenge der 16 enthält also die Zahlen 1, 2, 4, 8, und 16. Und die der 24 enthält die 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Gemeinsame Teiler sind dann alle Teiler, die in beiden Mengen vorkommen. Hier sind die gemeinsamen Teiler also 1, 2, 4, und 8. Der größte gemeinsame Teiler, den wir mit ggT abkürzen, ist hier also die 8. Kurz schreiben wir das so. Wir sagen: der ggT von 16 und 24 ist 8. Lenas Zeltplatz könnte also SO aussehen. Aber was wäre, wenn ihr Zeltplatz größer wäre? Stellen wir uns vor, auf ihren Zeltplatz passen 36 Wohnmobile und 42 Zelte. Diesmal verwenden wir eine andere Möglichkeit der Bestimmung des ggTs und schreiben uns dazu NUR die Teilermenge der kleineren Zahl, also der 36 auf. Diese besteht aus 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Nun können wir überprüfen, welche dieser Zahlen auch Teiler der 42 sind. Da wir den größten gemeinsamen Teiler suchen, beginnen wir hier rechts, also beim größten Teiler der 36. Zur Überprüfung können uns die Multiplikationsreihen der jeweiligen Teiler helfen. Ist die 42 Teil dieser Reihe, dann ist die Zahl auch ein Teiler der 42. Wir betrachten dazu Vielfachenmengen der jeweiligen Zahlen, die wir mit V bezeichnen. Das erste Vielfache der 36 ist die 72. Die 36 kann also kein Teiler der 42 sein. Machen wir weiter mit der 18. Hier betrachten wir die Vielfachen 18, 36, und 54. Auch dies zeigt und, dass die 18 kein Teiler der 42 ist. Machen wir nun weiter bei der Multiplikationsreihe der 12 und der 9 so sehen wir, dass auch diese kein Teiler der 42 sind. Machen wir weiter bei der 6. Hier haben wir 12, 18, 24, 30, 36 und 42. Die 6 ist also ein Teiler der 42. Weil die 6 der erste gemeinsame Teiler ist, auf den wir gestoßen sind, ist der größte gemeinsame Teiler von 36 und 42 also 6. Es gibt noch eine dritte Möglichkeit den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen. Diese bietet sich vor allem an, wenn man größere Zahlen hat. Stellen wir uns hierzu vor, dass Lena 216 Plätze für Wohnmobile und 176 Plätze für Zelte hat. Wir verwenden zur Bestimmung des ggTs die Primfaktorzerlegung beider Zahlen. 216 ist gleich 2 mal 108 und das ist gleich 2 mal 2 mal 54. Dies ist wiederum 2 mal 2 mal 2 mal 27 und das ist das gleiche wie 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 9. Als Primfaktorzerlegung ergibt sich dann 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 3 mal 3. Führt man die Primfaktorzerlegung der 176 durch, so erhält man 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 11. Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, multiplizieren wir die Primfaktoren, die beide Zerlegungen gemeinsam haben hier also 2 mal 2 mal 2. Der ggT von 216 und 176 ist also 8. Bevor die ersten Gäste eintrudeln, fassen wir zusammen. Wir haben drei verschiedene Möglichkeiten gesehen, wie man den ggT zweier bestimmen kann. Diese kann man auch auf die Bestimmung des ggTs mehrerer Zahlen anwenden. Bei der ersten Möglichkeit haben wir die Teilermengen der Zahlen betrachtet, die gemeinsamen Teiler gefunden und mithilfe dieser den größten gemeinsamen Teiler bestimmt. Eine andere Möglichkeit war es, die Teilermenge der größten Zahl zu ermitteln. Anhand dieser konnten wir überprüfen, welche Teiler auch Teiler der anderen Zahlen sind. Dabei haben wir bei dem größten Teiler begonnen. Den ggT kann man außerdem mithilfe der Primfaktorzerlegung finden, indem man die gemeinsamen Primfaktoren multipliziert. Ist der erste gemeinsame Teiler, den man findet, 1, so nennt man die Zahlen teilerfremd. Sie haben dann keine gemeinsamen Primfaktoren. Schauen wir doch mal, wie es mit den ersten Gästen so läuft. Oh! Die hat sie ja gar nicht eingeplant!

29 Kommentare
  1. Bisschen kompliziert aber trotzdem gut erklärt 😊

    Von Tamo, vor 7 Monaten
  2. toll

    Von Kimon, vor mehr als 2 Jahren
  3. Super Erklärung tolle Beispiele werde ich auf jedem fall meinen Mitschülern weiter empfehlen :-)

    Von Hannah , vor mehr als 3 Jahren
  4. Sehr gut👌👌

    Von Julia, vor mehr als 3 Jahren
  5. Sehr hilfreich danke

    Von Emely, vor mehr als 3 Jahren
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