Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung Übung

• Beschreibe, wie man den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) bestimmen kann.

  Tipps

  Der Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ verrät dir schon eine Möglichkeit, ihn zu bestimmen.

  Beispiel:

  $\text{ggT}(8, 12) = 4$

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten, den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) zweier Zahlen zu bestimmen:

  Erste Möglichkeit:

  Wir können die Teilermengen der beiden Zahlen vergleichen. Von allen gemeinsamen Teilern ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler.

  Beispiel: $15$ und $25$

  $T_{15} = \lbrace 1, 3, 5, 15 \rbrace$

  $T_{25} = \lbrace 1, 5, 25 \rbrace$

  Der größte gemeinsame Wert ist $5$. Daher gilt:

  $\text{ggT}(15, 25) = 5$

  Zweite Möglichkeit:

  Wir können die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen nutzen. Multiplizieren wir alle gemeinsamen Primfaktoren, so erhalten wir den $\text{ggT}$.

  Beispiel: $18$ und $210$

  $18=2 \cdot 3 \cdot 3$

  $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

  Gemeinsame Primfaktoren sind $2$ und $3$. Daher gilt:

  $\text{ggT}(18, 210) = 2 \cdot 3 = 6$

  Wir erhalten jedoch den größten gemeinsamen Teiler nicht durch:

  • Multiplikation des größten Primfaktors mit dem kleinsten Teiler
  • Multiplikation der beiden Zahlen selbst
  • Division des Quadrats der ersten Zahl durch die zweite Zahl

• Bestimme den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) von $12$ und $16$ mithilfe der Primfaktorzerlegung.

  Tipps

  Bei der Primfaktorzerlegung schreiben wir eine Zahl als Produkt aus mehreren Primzahlen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

  Primfaktorzerlegung von $28$:

  $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$

  Lösung

  Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers ($\text{ggT}$) zweier Zahlen. Wir können den ($\text{ggT}$) als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

  Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dabei schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primfaktoren:

  $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

  $16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

  Die beiden gemeinsamen Primfaktoren sind eine $2$ und noch eine $2$. Daher gilt:

  $\text{ggT} (12, 16) =2 \cdot 2 =4$

• Vervollständige die Teilermengen, um den $\text{ggT}$ zu bestimmen.

  Tipps

  Teiler einer Zahl sind diejenigen Zahlen, durch die die gegebene Zahl ohne Rest teilbar ist.

  Die Teilermenge von $42$ lautet:

  $T_{42} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 \rbrace$

  Lösung

  Wir notieren die Teilermengen der beiden Zahlen und vergleichen dann ihren Inhalt: Von den Zahlen, welche in beiden Teilermengen vorkommen, ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler ($\text{ggT}$).

  Die Teilermenge von $20$ schreiben wir wie folgt:

  $T_{20} = \lbrace 1, 2, 4, 5, 10, 20 \rbrace$

  Die Teilermenge von $30$ schreiben wir wie folgt:

  $T_{30} = \lbrace 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \rbrace$

  In beiden Teilermengen kommen die Zahlen $1$, $2$, $5$ und $10$ vor. Der größte Wert ist $10$. Daher gilt:
  $\text{ggT}(20, 30) =10$

• Vervollständige die Primfaktorzerlegung, um den $\text{ggT}$ von $420$ und $90$ zu bestimmen.

  Tipps

  Primfaktorzerlegung von $32$:

  $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

  Vergleiche die beiden Primfaktorzerlegungen: Welche Zahlen kommen in beiden Zerlegungen vor? Multiplizierst du sie, erhältst du den größten gemeinsamen Teiler.

  Lösung

  Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers ($\text{ggT}$) zweier Zahlen. Wir können den $\text{ggT}$ als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

  Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dazu schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primzahlen:

  $420 = 2 \cdot 210 = 2 \cdot 2 \cdot 105 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 35 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

  $90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

  Die gemeinsamen Primfaktoren sind $2$, $3$ und $5$. Daher gilt:

  $\text{ggT} (420, 90) =2 \cdot 3 \cdot 5 =30$

• Bestimme den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) von $12$ und $18$ mithilfe der Teilermengen.

  Tipps

  Gemeinsame Teiler sind Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

  Der $\text{ggT}$, also der größte gemeinsame Teiler, ist die größte dieser Zahlen.

  Lösung

  Wir können den $\text{ggT}$ aus den Teilermengen bestimmen, indem wir die größte der Zahlen auswählen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

  Schreiben wir die beiden Teilermengen untereinander:

  $T_{12} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 12 \rbrace$

  $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$

  So können wir erkennen, dass beide Mengen die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $6$ enthalten. Der größte gemeinsame Wert ist dabei $6$. Daher gilt:

  $\text{ggT}(12, 18) = 6$

• Bestimme den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$).

  Tipps

  Nutze die Teilermengen der beiden Zahlen oder die Primfaktorzerlegung.

  $\text{ggT}(14, 63) = 7$

  Lösung

  Um den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) zweier Zahlen zu bestimmen, können wir die Teilermengen der beiden Zahlen oder deren Primfaktorzerlegung nutzen.

  Mithilfe der Teilermengen der beiden Zahlen ergibt sich für die drei Beispiele:

  Beispiel 1

  $T_{9} = \lbrace 1, 3, 9 \rbrace$

  $T_{105} = \lbrace 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 \rbrace$

  Der größte gemeinsame Wert ist $3$. Daher gilt:

  $\text{ggT}(9, 105) = 3$

  Beispiel 2

  $T_{45} = \lbrace 1, 3, 5, 9, 15, 45 \rbrace$

  $T_{154} = \lbrace 1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154 \rbrace$

  Der größte gemeinsame Wert ist $1$. Daher gilt:

  $\text{ggT}(45, 154) = 1$

  Beispiel 3

  $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$

  $T_{36} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36 \rbrace$

  Der größte gemeinsame Wert ist $18$. Daher gilt:

  $\text{ggT}(18, 36) = 18$

  Mithilfe der Primfaktorzerlegung ergeben sich folgende Lösungswege:

  Beispiel 1

  $9 = 3 \cdot 3$

  $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

  $\text{ggT}(9, 105) = 3$

  Beispiel 2

  $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$

  $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$

  Es gibt keine gemeinsamen Primfaktoren. Deshalb gilt:

  $\text{ggT}(45, 154) = 1$

  Beispiel 3

  $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$

  $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

  $\text{ggT}(18, 36) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$