ggT und kgV in der Bruchrechnung

ggT und kgV in der Bruchrechnung Übung

• Beschreibe, wie man das $\text{kgV}$ und den $\text{ggT}$ in der Bruchrechnung nutzen kann.

  Tipps

  Zwei Antworten sind korrekt.

  Beispiel:

  $\dfrac{12}{16} = \dfrac{12:4}{16:4} = \dfrac{3}{4}$

  • $\text{ggT}$: größter gemeinsamer Teiler ($\Rightarrow$ kürzen)
  • $\text{kgV}$: kleinstes gemeinsames Vielfaches ($\Rightarrow$ Hauptnenner)

  Lösung

  Die Abkürzung $\text{kgV}$ steht für das kleinste gemeinsame Vielfache,
  die Abkürzung $\text{ggT}$ für den größten gemeinsamen Teiler.

  Das $\text{kgV}$ und der $\text{ggT}$ helfen uns in der Bruchrechnung.

  Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen verwenden wir das $\text{kgV}$.

  Beispiel: $\frac{3}{4} + \frac{ 2}{3} \qquad \text{kgV}(3,4)=12$

  Das heißt:

  $\frac{3}{4} + \frac{ 2}{3} = \frac{9}{12} + \frac{8}{12}= \frac{17}{12}$

  Um zwei oder mehr Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen: den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist das $\text{kgV}$ der Nenner.

  Demnach ist folgende Aussage richtig:
  Als Hauptnenner bei der Addition kann das $\textbf{kgV}$ der Nenner der Brüche genutzt werden. Diese Aussage ist hingegen falsch:
  Als Hauptzähler bei der Addition kann der $\textbf{ggT}$ der Zähler der Brüche genutzt werden.

  Beim Kürzen von Brüchen verwenden wir den $\text{ggT}$.

  Beispiel: $\frac{12}{16} \qquad \text{ggT}(12,16)=4$

  Das heißt:

  $\frac{12}{16} = \frac{12:4}{16:4} = \frac{3}{4}$

  Daher ist diese Aussage richtig:
  Ein Bruch kann mit dem $\textbf{ggT}$ von Zähler und Nenner gekürzt werden.

  Diese Aussage ist falsch:
  Ist das $\textbf{kgV}$ von Zähler und Nenner $1$, so ist der Bruch vollständig gekürzt.

• Addiere, indem du die beiden Brüche mithilfe des $\text{kgV}$ auf den Hauptnenner bringst.

  Tipps

  Bestimme zuerst das $\text{kgV}$ der Nenner. Es gibt dir den Hauptnenner an.

  Beispiel:

  $\frac{1}{20} + \frac{5}{6}$

  $\text{kgV}(6; 20) = 60$ $\frac{1}{20} + \frac{5}{6} = \frac{3}{60} + \frac{50}{60} = \frac{3+50}{60} = \frac{53}{60}$

  Lösung

  Um mehrere Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir diese zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der beiden Brüche. Anschließend behalten wir den Hauptnenner bei und addieren bzw. subtrahieren die Zähler:

  Beispiel 1:

  $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
  $\text{kgV}(2;3) = 6$
  $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

  Beispiel 2:

  $\frac{7}{8} - \frac{5}{12}$
  $\text{kgV}(8; 12) = 24$
  $\frac{7}{8} - \frac{5}{12} = \frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11}{24}$

  Beispiel 3:

  $\frac{1}{6} + \frac{3}{8}$
  $\text{kgV}(6; 8) = 24$
  $\frac{1}{6} + \frac{3}{8} = \frac{4}{24} + \frac{9}{24} = \frac{13}{24}$

• Kürze mithilfe des $\text{ggT}$.

  Tipps

  Um den Bruch möglichst geschickt in einem Schritt zu kürzen, kannst du den $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner bestimmen. Dieser gibt dir die Kürzungszahl an: Du dividierst Zähler und Nenner durch diese Zahl.

  Beispiel:

  $\frac{16}{24}$
  $\text{ggT}(16; 24) =8$
  $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

  Lösung

  Der $\text{ggT}$ ist der größte gemeinsame Teiler. Das ist die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt.

  Der $\text{ggT}$ hilft uns beim geschickten Kürzen von Brüchen. Der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner ist die Kürzungszahl, also die Zahl, durch die wir Zähler und Nenner dividieren müssen, um den Bruch vollständig zu kürzen.

  Beispiel 1:

  $\frac{12}{30}$
  $\text{ggT}(12; 30) =6$
  $\frac{12}{30} = \frac{12:6}{30:6} = \frac{2}{5}$

  Beispiel 2:

  $\frac{12}{16}$
  $\text{ggT}(18; 24) =4$
  $\frac{12}{16} = \frac{12:4}{16:4} = \frac{3}{4}$

  Beispiel 3:

  $\frac{78}{108}$
  $\text{ggT}(78; 108) =6$
  $\frac{78}{108} = \frac{78:6}{108:6} =\frac{13}{18}$

  Beispiel 4:

  $\frac{42}{91}$
  $\text{ggT}(42; 91) =7$
  $\frac{42}{91} = \frac{42:7}{91:7} = \frac{6}{13}$

• Überprüfe, ob richtig gerechnet wurde.

  Tipps

  Überprüfe, ob richtig gekürzt wurde: Zähler und Nenner müssen durch die gleiche Zahl dividiert werden. Die Kürzungszahl ist der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner.

  Beim Addieren und Subtrahieren hilft uns das $\text{kgV}$. Wenn wir das $\text{kgV}$ der Nenner bilden, erhalten wir den Hauptnenner.

  Lösung

  Beim Kürzen von Brüchen verwenden wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT):
  Der $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner gibt die Kürzungszahl beim Kürzen an.

  Wir überprüfen die Beispiele:

  • $\frac{20}{45} = \frac{20:5}{45:5} =\frac{4}{9}$

  Das ist richtig, denn $\text{ggT}(20; 45) =5$.

  • $\frac{12}{84} =\frac{1}{8}$

  Das ist falsch, denn $\text{ggT}(12, 84) =12$, also $\frac{12}{84} = \frac{12:12}{84:12} =\frac{1}{7}$.

  Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen verwenden wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV):
  Um zwei oder mehr Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen: den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist das $\text{kgV}$ der Nenner.

  Wir überprüfen die Beispiele:

  • $\frac{1}{5} + \frac{2}{9} = \frac{1+2}{5+9} = \frac{3}{14}$

  Das ist falsch, denn $\text{kgV}(5; 9) = 45$. Es ergibt sich also:
  $\frac{1}{5} + \frac{2}{9} = \frac{9}{45} + \frac{10}{45} =\frac{9+10}{45} = \frac{19}{45}$

  • $\frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30}= \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

  Das ist richtig, denn $\text{kgV}(6; 15) = 30$.

  Und hier noch eine geschickte Addition durch Kürzen der Brüche:

  • $\frac{21}{28} + \frac{1}{4} + \frac{6}{24} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

  Das ist richtig, denn $\text{ggT}(21; 28) =7$. Der Bruch $\frac{21}{28}$ wurde also mit $7$ gekürzt.
  Bei $\text{ggT}(6; 24) =6$ wurde der Bruch $\frac{6}{24}$ mit $6$ gekürzt.
  Dadurch haben alle drei Brüche den Hauptnenner $4$ und können addiert werden.

• Bestimme das $\text{kgV}$ bzw. den $\text{ggT}$.

  Tipps

  Das $\text{kgV}$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Es ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches der Zahlen ist.

  Um das $\text{kgV}$ von zwei oder mehr Zahlen zu bestimmen, zerlegen wir die Zahlen in ihre Primfaktoren. Das $\text{kgV}$ ist dann das Produkt aller Primfaktoren (diejenigen, die bei beiden Zahlen als Faktoren vorkommen, werden jeweils nur einmal, nicht doppelt hinzugenommen).

  Der $\text{ggT}$ ist der größte gemeinsame Teiler.

  Um das $\text{ggT}$ zu bestimmen, notieren wir die Teilermengen der Zahlen. Der $\text{ggT}$ ist dann die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt.

  Lösung

  Das $\text{kgV}$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

  Um das $\text{kgV}$ von zwei oder mehr Zahlen zu bestimmen, zerlegen wir die Zahlen in ihre Primfaktoren. Das $\text{kgV}$ ist dann das Produkt der auftretenden Primfaktoren in ihrer höchsten Anzahl.

  Wir bestimmen:

  $4=2 \cdot 2$
  $6 = 2 \cdot 3$
  $\text{kgV} (4; 6) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

  $15=3 \cdot 5$
  $21= 3 \cdot 7$
  $\text{kgV} (15; 21) =3 \cdot 5 \cdot 7=105$

  $4=2 \cdot2$
  $10= 2\cdot 5$
  $\text{kgV} (4; 10) =2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7=20$

  Der $\text{ggT}$ ist der größte gemeinsame Teiler.

  Um das $\text{ggT}$ zu bestimmen, notieren wir die Teilermengen der Zahlen. Der $\text{ggT}$ ist dann die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt.

  Wir bestimmen:

  $T_{25} = \lbrace 1; 5; 25 \rbrace$
  $T_{30} = \lbrace 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 \rbrace$
  $\text{ggT}(25; 30)= 5$

  $T_{8} = \lbrace 1; 2; 4; 8 \rbrace$
  $T_{12} = \lbrace 1; 2; 3; 4; 6; 12 \rbrace$
  $\text{ggT}(25; 30)= 4$

• Berechne die Additions- und Subtraktionsaufgaben.

  Tipps

  Bilde das $\text{kgV}$ der Nenner. Dies ist der Hauptnenner.

  Um das $\text{kgV}$ von zwei oder mehr Zahlen zu bestimmen, zerlegen wir die Zahlen in ihre Primfaktoren. Das $\text{kgV}$ ist dann das Produkt der auftretenden Primfaktoren in ihrer höchsten Anzahl.

  Lösung

  Um mehrere Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir diese zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der Brüche. Anschließend behalten wir den Hauptnenner bei und addieren bzw. subtrahieren die Zähler:

  Beispiel 1:

  $\frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{9}$
  $\text{kgV}(3; 6; 9) =18$
  $\frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{12}{18} - \frac{2}{18} = \frac{3+12-2}{18} = \frac{13}{18}$

  Beispiel 2:

  $\frac{3}{5} + \frac{1}{4} + \frac{7}{10}$
  $\text{kgV}(4; 5; 10) =20$
  $\frac{3}{5} + \frac{1}{4} + \frac{7}{10} = \frac{12}{20} + \frac{5}{20} + \frac{14}{20} = \frac{12+5+14}{20} = \frac{31}{20}$

  Beispiel 3:

  $\frac{1}{20} + \frac{5}{6}$
  $\text{kgV}(6; 20) =60$
  $\frac{1}{20} + \frac{5}{6} = \frac{3}{60} + \frac{50}{60}= \frac{3+50}{60} = \frac{53}{60}$

  Beispiel 4:

  $\frac{7}{12} - \frac{1}{3} - \frac{1}{10}$
  $\text{kgV}(3; 10; 12) =60$
  $\frac{7}{12} - \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{35}{60} - \frac{20}{60} - \frac{6}{60} = \frac{35-20-6}{60} = \frac{9}{60}= \frac{3}{20}$