Mit Einheiten rechnen – Division

Mit Einheiten rechnen – Division Übung

• Berechne die Geschwindigkeit der Reise.

  Tipps

  Eine Geschwindigkeit gibt an,

  • wie viel Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird oder
  • wie viel Zeit für eine bestimmte Strecke benötigt wird.

  „Stunde“ heißt auf Englisch „hour“, was man mit „h“ abkürzen kann.

  Lösung

  Auf ihrer Reise legen Gottfried und Charlotte die ersten $21$ Kilometer in $3$ Stunden zurück. Um die Reisegeschwindigkeit zu berechnen, müssen sie den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit teilen.

  • Eine Geschwindigkeit gibt an, wie viel Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird (oder wie viel Zeit man für eine bestimmte Strecke benötigt). Um eine Geschwindigkeit zu berechnen, teilst du also immer eine Strecke durch eine Zeit.

  Ausgedrückt durch eine Gleichung sieht das so aus:

  $\text{Geschwindigkeit}=\frac{\text{Weg}}{ \text{Zeit}} $

  Dann setzen sie die Zahlenwerte ein und erhalten:

  $\text{Geschwindigkeit}=\frac{21~ \text{km}}{3~ \text{Stunden}} $

  • Um die Geschwindigkeit zu berechnen, setzt du die Zahlenwerte in die Gleichung ein und rechnest aus.

  Sie schreiben die Gleichung um und rechnen aus:

  $\text{Geschwindigkeit}=\frac{21}{3 }~ \frac{ \text{km}}{ \text{Stunden}}=7~ \frac{ \text{km}}{ \text{Stunden}}$

  Sie wissen, dass man Stunden normalerweise mit $\text{h}$ abkürzt, also beschreiben sie die Reisegeschwindigkeit durch:

  $\text{Geschwindigkeit}=7 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$

  • Um sich Schreibarbeit zu sparen, kürzt man Stunden normalerweise mit „$\text{h}$“ (englisch: hour) ab.

• Berechne die Anzahl der Fütterungen für Monti.

  Tipps

  Um die gesamte Anzahl an Fütterungen zu bestimmen, multiplizierst du die Fütterungsrate mit der Anzahl der Tage.

  Wenn du dir einen besseren Überblick über die Rechnung verschaffen möchtest, schreibe sie so um, dass Gleiches bei Gleichem steht (also Zahlen bei Zahlen und Einheiten bei Einheiten).

  Lösung

  Die Menge des Kaviars berechnet sich durch:

  $\frac{5~ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen}}{\text{Tag}} \cdot 6~ \text{Tage}$

  • Um die gesamte Anzahl der Fütterungen zu bestimmen, multiplizierst du die Rate der Fütterungen mit der Anzahl der Tage.

  Das kannst du auch schreiben als:

  $ 5 \cdot 6 ~\frac{ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} \cdot \text{Tage}}{\text{Tag}} $

  • Um dir einen Überblick über die Rechnung zu verschaffen, ist es immer hilfreich, die Rechnung so umzuschreiben, dass Gleiches bei Gleichem steht.

  Die Zahlen berechnest du zuerst:

  $ 30~ \frac{ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} \cdot \text{Tage}}{\text{Tag}} $

  Und schließlich die Einheiten:

  $ 30~ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} $

  • In der Mathematik verrechnen wir nämlich am liebsten Gleiches mit Gleichem (hier also Zahlen mit Zahlen und Einheiten mit Einheiten). Diese Rechnungen führen wir schrittweise nacheinander durch.

  Monti bekommt also insgesamt $30$ Portionen Kaviar.

  • Den Antwortsatz nicht vergessen!

• Entscheide, welche Lösung zu welcher Rechnung gehört.

  Tipps

  Geschwindigkeiten erhältst du, indem du die eine Strecke durch eine Zeit teilst.

  Längen erhältst du durch Multiplikation einer Geschwindigkeit mit einer Zeit.

  Lösung

  Um die Lösungen zuzuordnen, musst du die Geschwindigkeiten bzw. Längen berechnen. Die Geschwindigkeiten erhältst du, indem du die Strecke durch die Zeit teilst. Zum Beispiel:

  $\text{Geschwindigkeit}=\frac{ 10~\text{km}}{ 5~\text{h}}=2 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$

  Die Längen erhältst du durch Multiplikation der Geschwindigkeiten mit den Zeiten. Beispielsweise:

  $\text{Weg}= 5~\frac{ \text{km}}{ \text{h}} \cdot 3~\text{h} =15~\text{m}$

  Damit können den Rechnungen folgende Lösungen zugeordnet werden:

  1) In $5$ Stunden werden $10$ Kilometer zurückgelegt.

  $\text{Geschwindigkeit}=\frac{10~\text{km}}{5~\text{h}}=2 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$

  2) Du reist $3$ Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von $5 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$.

  $\text{Weg}=5~\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 3~\text{h}=15~\text{km}$

  3) Eine Rakete legt $300$ Meter in $20$ Sekunden zurück.

  $\text{Geschwindigkeit}=\frac{300~\text{m}}{20~\text{s}}=15 ~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$

  4) Ein Skateboard rollt $8$ Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von $2~ \frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.

  $\text{Weg}=2~\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 8~\text{s}=16~\text{m}$

• Entscheide, wozu die Rechenschritte gehören.

  Tipps

  Rechne rückwärts, um zu bestimmen, welche Rechenschritte zu den Lösungen gehören.

  Überlege dir, wie du die Zahlenwerte mit Einheiten noch ausdrücken kannst. Frage dich also zum Beispiel, durch welche Multiplikation zweier Zahlen du das gegebene Ergebnis erhalten kannst.

  Lösung

  Um zu bestimmen, welche Rechenschritte zu den Lösungen gehören, rechnen wir rückwärts. Wir überlegen uns also, wie wir die gegebenen Zahlenwerte mit Einheiten noch ausdrücken können.

  • Zur Lösung $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$ gehören:

  $5~\text{m}$ in $3~\text{s}$.

  $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$

  $=\frac{5~ \text{m}}{3~ \text{s}}$

  Schreibst du jeweils die Zahlen und Einheiten in einen getrennten Bruch, erhältst du $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.

  $\approx 1,66~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$

  Das erhältst du durch Berechnen des Bruchs $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.

  • Zur Lösung $15~ \text{m}$ gehören:

  $15~ \text{m}$

  $=5~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot 3 \text{s}$

  $=5\cdot 3~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot \text{s}$

  $=15~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot \text{s}$

  • Zur Lösung $80~ \text{m}$ gehören:

  $80~ \text{m}$

  $=10~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot 8 \text{s}$

  $=10\cdot 8~ \text{m}$

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Einheiten.

  Tipps

  Ein Teiler ist eine Zahl, durch die du eine andere Zahl ohne Rest teilen kannst. $12$ hat zum Beispiel die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

  Um einen Bruch aus Einheiten verschwinden zu lassen, kann man beispielsweise folgendes tun:

  $\begin{array}{llll} &=&\frac{\text{km}}{ \text{h}} \vert \cdot \text{h} & \\ &=& \frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}} \\ &=& \text{km} & \end{array}$

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Stehen im Nenner und Zähler eines Bruchs unterschiedliche Einheiten, kann man diese kürzen.

  Wir können immer nur gleiche Einheiten in einem Bruch kürzen. In folgendem Beispiel kann also nur $\text{h}$ gekürzt werden, da es jeweils einmal im Nenner und Zähler vorkommt:

  $\frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}}= \text{km} $

  • Sind Einheiten in einem Bruch gegeben, kann man den Bruch verschwinden lassen, indem man mit dem Zähler des Bruchs multipliziert.

  Um den Bruch verschwinden zu lassen, müssen wir mit der Einheit des Nenners multiplizieren. Zum Beispiel:

  $\begin{array}{llll} &=&\frac{\text{km}}{ \text{h}} \vert \cdot \text{h} & \\ &=& \frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}} \\ &=& \text{km} & \end{array}$

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Möchte man zwei Zahlen mit Einheiten verrechnen, verrechnet man Zahlen und Einheiten getrennt.

  In der Mathematik kann man generell nur Gleiches mit Gleichem verrechnen. Deshalb verrechnet man Zahlen und Einheiten getrennt.

  • Stehen im Nenner und Zähler eines Bruchs Zahlen mit gleichen Teilern, kann man diese kürzen.

  Ein Teiler ist eine Zahl, durch die du eine andere Zahl ohne Rest teilen kannst. $12$ hat zum Beispiel die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

  • Nur wenn im Nenner und Zähler eines Bruchs gleiche Einheiten stehen, kann man diese kürzen.

  Wie Zahlen, kann man auch Einheiten in Brüchen kürzen. Dabei können allerdings nur gleiche Einheiten gekürzt werden.

• Erschließe wie man Einheiten umrechnet.

  Tipps

  Die Vorsilbe "Kilo" zeigt immer an, dass die Einheit mit $1000$ multipliziert wurde.

  Lösung

  Folgendes muss in den Lückentext eingesetzt werden:

  • Ein Kilometer entspricht $1000$ Metern.

  • Ein Meter entspricht $\frac{1}{1000}$ Kilometer.

  • Eine Stunde hat $60$ Minuten.

  Eine Stunde hat $3600$ Sekunden, also:

  • Eine Sekunde entspricht $\frac{1}{3600}$ Stunde.

  • Die Umrechnung von Meter auf Kilometer lautet:

  $7900 ~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}= 7900 \cdot \frac{1}{1000} ~\frac{\text{km} }{ \text{s}}=7,9 ~\frac{\text{km} }{ \text{s}}$

  • Die Umrechnung von Sekunde auf Stunde lautet:

  $7,9 ~\frac{\text{km} }{ \text{s}} =7,9 \cdot \frac{1}{\frac{1}{3600}} ~\frac{\text{km} }{ \text{h}} =7,9 \cdot 3600~\frac{\text{km} }{ \text{h}}=28440~\frac{\text{km} }{ \text{h}}$

  Um durch einen Bruch zu teilen, muss man mit dem Kehrbruch multiplizieren. Deshalb gilt:

  $ \frac{1}{\frac{1}{3600}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3600}{1} = 3600$

  Allgemein kannst du die eine Geschwindigkeit in der Einheit $\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$ in die Einheit $\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$ umrechnen, indem du mit dem Faktor $3,6$ multiplizierst.

  $1~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}= \frac{3600}{1000} \frac{ \text{km}}{ \text{h}}= 3,6 \frac{ \text{km}}{ \text{h}}$