Darstellen von Daten in Diagrammen

Darstellen von Daten in Diagrammen Übung

• Beschreibe die Listen und Diagramme.

  Tipps

  Absolute Häufigkeiten sind Anzahlen, relative Häufigkeiten sind Verhältnisse von Anzahlen oder Anteile an der Gesamtzahl.

  In einer Urliste notiert man seine Beobachtungen in der Reihenfolge des Auftretens, d.h. nicht nach systematischen Kriterien geordnet.

  Zur graphischen Darstellung absoluter Häufigkeiten sind Säulen- oder Balkendiagramme gut geeignet.

  Lösung

  Die Urliste dient Kurt, um seine Beobachtungen nacheinander in der Reihenfolge ihres Auftretens zu notieren. Heute beobachtet er Schmetterlinge und schreibt deren Farben auf. Die Liste ist nicht sortiert, denn er schreibt die Farben so nacheinander auf, wie er die Schmetterlinge beobachtet. Um die Ergebnisse eines Beobachtungstages zusammenzufassen, überträgt er die Daten zunächst in eine Strichliste. Darunter versteht man eine Tabelle mit zwei Spalten. In der linken Spalte stehen die beobachteten Merkmale, das sind im Fall von Kurts Beobachtungen die Farben der Schmetterlinge. In der rechten Spalte macht Kurt einen Strich für jedes Vorkommen einer Farbe in seiner Urliste.

  Um die beobachteten Anzahlen darzustellen, erstellt Kurt aus den Ergebnissen der Strichliste als nächstes eine Häufigkeitstabelle. Er bestimmt für jedes Merkmal, d.h. für jede Farbe die Anzahl der Striche in der Strichliste, und trägt diese Zahlen in die Tabelle ein. Die Häufigkeitstabelle dokumentiert die absoluten Häufigkeiten der beobachteten Schmetterlingsfarben. Für eine anschauliche, graphische Darstellung dieser Häufigkeiten kann Kurt auch ein Säulendiagramm oder ein Balkendiagramm verwenden. Die Länge der Säulen bzw. Balken entspricht jeweils den Werten aus der Häufigkeitstabelle, d.h. der beobachteten absoluten Häufigkeit.

  Um nun auch die relativen Häufigkeiten graphisch darzustellen, eignet sich ein Kreisdiagramm. Dem Anteil eines Merkmals an der Gesamtzahl der beobachteten Merkmale entspricht dabei der Anteil des Sektors am Vollkreis. Den zeitlichen Verlauf der absoluten Häufigkeiten über verschiedene Beobachtungstage stellt Kurt schließlich durch ein Liniendiagramm dar.

• Gib die Eigenschaften verschiedener Diagramme an.

  Tipps

  In die Häufigkeitstabelle trägt Kurt die tatsächlich beobachtete Anzahl der Schmetterlinge jeder Farbe ein.

  Das Kreisdiagramm zeigt Kurt, wie groß der Anteil der roten Schmetterlinge am Beobachtungstag $5$ war.

  Um anschaulich darzustellen, wie sich die Anzahl der roten Schmetterlinge von Tag zu Tag entwickelt, zeichnet Kurt ein Liniendiagramm.

  Lösung

  Richtig sind folgende Aussagen:

  • „Zu jedem Säulendiagramm gibt es genau ein Balkendiagramm mit derselben Reihenfolge der Farben und denselben Längen der Balken bzw. Säulen der jeweiligen Farbe.“ Du kannst jedes Säulendiagramm eindeutig in ein Balkendiagramm übersetzen und umgekehrt. Du musst nur die Länge der Säulen bzw. Balken für jede Farbe übernehmen und die Reihenfolge beibehalten.

  • „Um aus einer Strichliste eine Häufigkeitstabelle zu erstellen, muss man die Anzahl aller Striche zu jedem Merkmal bestimmen.“ So erhältst du aus einer Strichliste eine Tabelle, in der für jedes Merkmal die absolute Häufigkeit seines Auftretens notiert ist.

  • „Aus einem Liniendiagramm kann man die Veränderung der absoluten Häufigkeit über mehrere Datenerhebungen ablesen.“ In einem Liniendiagramm sind die absoluten Häufigkeiten der Merkmale bei verschiedenen Beobachtungen als Punkte eingetragen und durch Linien verbunden. Aus dem Verlauf der Linien kannst du die Veränderung der Daten ablesen. Ist eine Linie z.B. waagerecht, so hat sich die absolute Häufigkeit des zugehörigen Merkmals nicht verändert. Fällt sie ab, so hat die absolute Häufigkeit abgenommen.

  • „Eine Häufigkeitstabelle zeigt die absoluten Häufigkeiten an, ein Kreisdiagramm veranschaulicht die relativen Häufigkeiten.“ In die Häufigkeitstabelle trägst du die tatsächlich beobachteten Anzahlen ein. Diese heißen absolute Häufigkeiten. Im Kreisdiagramm ist veranschaulicht, wie groß der jeweilige Anteil eines Merkmals an der Gesamtzahl aller beobachteten Merkmale ist. Diesen Anteil nennt man die relative Häufigkeit.

  Falsch sind folgende Aussagen:

  • „In einem Kreisdiagramm trägt man die absoluten Häufigkeiten als Winkel ab.“ Der Winkel ergibt sich nicht aus der absoluten Häufigkeit, sondern aus der relativen Häufigkeit. Abgetragen wird auch nicht der Wert des Winkels. Stattdessen ist der Anteil des Winkels am Gesamtwinkel $360^\circ$ dasselbe, wie der Anteil eines Merkmals an der Gesamtzahl, d. h. die relative Häufigkeit.

  • „In einer Häufigkeitstabelle werden die relativen Häufigkeiten der Daten eingetragen.“ Die Häufigkeitstabelle dient zur Auflistung der tatsächlichen Anzahlen des jeweiligen Merkmals. Diese nennt man absolute Häufigkeit.

  • „Aus einem Balken- oder Säulendiagramm kann man ein Liniendiagramm erstellen, indem man die Säulen durch Linien verbindet.“ In einem Liniendiagramm werden die absoluten Häufigkeiten zunächst als Punkte eingetragen. Für jeden Beobachtungstag wählt man eine Stelle der $x$-Achse. Darüber trägt man die absoluten Häufigkeiten ab. Dann werden die Punkte, die zum selben Merkmal gehören, durch Linien verbunden und zwar in der Reihenfolge der Beobachtungen. D. h. es geht eine Linie vom roten Punkt an Tag $1$ zu dem roten Punkt am Tag $2$, dann von dort eine Linie zum roten Punkt am Tag $3$ usw.

• Charakterisiere die Säulen des Diagramms.

  Tipps

  Die Anzahl eines Merkmals bestimmt die Höhe der Säule im Säulendiagramm.

  Verwende für jedes Merkmal den Marker mit der passenden Farbe.

  Da Kurt vier violette Käfer entdeckt hat, darfst du die Säule der Höhe $4$ violett markieren.

  Lösung

  In einem Säulendiagramm zeigt die Höhe einer Säule jeweils die absolute Häufigkeit des beobachteten Merkmals an. Beobachtet Kurt vier violette Käfer, so gehört zu dem Merkmal „violett“ eine Säule der Länge $4$. Umgekehrt kannst du (sofern keine Säulen gleicher Höhe vorkommen) aus der Höhe der Säule erschließen, zu welchem Merkmal sie gehört.

  Am einfachsten erstellst du zunächst eine Häufigkeitstabelle:

  $ \begin{array}{l|l} \text{gelb} &7 \\ \hline \text{blau} & 3 \\ \hline \text{violett} & 4 \\ \hline \text{grün} & 8 \end{array} $

  Mit dieser Tabelle kannst du den Säulen die passenden Farben zuordnen und die Säulen farblich markieren. Du erhältst dann dieses Säulendiagramm.

• Vergleiche die Diagramme.

  Tipps

  Die Länge der Balken eines Balkendiagramms entspricht der absoluten Häufigkeit aus einer Häufigkeitstabelle oder Strichliste.

  Kommt die Farbe rot doppelt so oft vor wie braun, so ist der rote Sektor im Kreisdiagramm doppelt so groß wie der braune.

  Lösung

  Die Länge der Balken in einem Balkendiagramm bzw. die Höhe der Säulen in einem Säulendiagramm entspricht den absoluten Häufigkeiten in einer Häufigkeitstabelle oder Strichliste. Auf diese Weise findest Du eine Zuordnung zwischen Strichlisten bzw. Tabellen und Säulen- bzw. Balkendiagrammen. Die Sektoren in einem Kreisdiagramm stellen die relativen Häufigkeiten dar. Tritt eine Farbe doppelt so oft auf wie die andere, so ist der zugehörige Sektor im Kreisdiagramm ebenfalls doppelt so groß.

  Wenn Du auf diese Weise die Diagramme vergleichst, findest Du die im Folgenden beschriebene Zuordnung:

  • Zu dem Balkendiagramm mit Balkenlängen $2$ (blau), $5$ (rot) und $3$ (gelb) gehört die Strichliste mit den Strichzahlen $2$ (blau), $5$ (rot) und $3$ (gelb).

  • Zu dem Säulendiagramm mit den Säulenlängen $4$ (blau), $6$ (rot) und $2$ (gelb) gehört das im Bild gezeigte Kreisdiagramm: Der rote Sektor ist ein Halbkreis, da die Länge $6$ der roten Säule genau die Hälfte der Summe aller Säulenlängen $4+6+2=12$ ist. Die Länge der blauen Säule ist doppelt so groß wie die der gelben, daher ist der blaue Sektor des Kreisdiagramms doppelt so groß wie der gelbe.

  • Zu der Strichliste mit Strichzahlen $1$ (blau), $5$ (rot) und $2$ (gelb) gehört das Kreisdiagramm, bei dem der rote Sektor mehr als ein Halbkreis ist, nämlich $\frac{5}{8}$ des Vollkreises. In der Strichliste sind halb so viele blaue Striche wie gelbe, daher ist der blaue Sektor halb so groß wie der gelbe.

  • Zu der Häufigkeitstabelle mit Werten $1$ (blau), $5$ (rot) und $3$ (gelb) gehört das Balkendiagramm mit den Balkenlängen $1$ (blau), $5$ (rot) und $3$ (gelb).

  • Zu dem Kreisdiagramm, bei dem der rote Sektor ein Halbkreis und der blaue und gelbe Sektor je ein Viertelkreis sind, gehört ein Diagramm, bei dem der rote Wert die Hälfte der Summe aller Werte ausmacht. Der blaue und gelbe Wert ergeben zusammen die andere Hälfte und sind dabei gleich groß. Das einzige solche Diagramm ist das Säulendiagramm mit den Säulenlängen $3$ (blau), $6$ (rot) und $3$ (gelb).

• Erstelle eine Häufigkeitstabelle.

  Tipps

  Zähle die Striche in dem Kästchen neben jeder Farbe und übertrage die Anzahl in das passende Kästchen der Häufigkeitstabelle.

  Zähle alle Striche, nicht nur die senkrechten.

  Die Anzahl der gelben und der blauen Striche ist gleich.

  Lösung

  In der Häufigkeitstabelle wird die Anzahl der Striche aus einer Strichliste als Zahl notiert. In der Strichliste stehen vier blaue Striche, acht rote Striche und vier gelbe Striche. Daher trägst du die Zahlen $4$ bei „blau“, $8$ bei „rot“ und $4$ bei „gelb“ ein und erhältst die abgebildete Häufigkeitstabelle.

• Analysiere das Liniendiagramm.

  Tipps

  Je mehr rote Schmetterlinge Kurt an einem Tag gesehen hat, desto höher liegt der zugehörige Punkt über der $x$-Achse.

  Bestimme für jede Farbe die Differenz zwischen der größten und kleinsten Anzahl und finde den größten Wert dieser Differenz unter allen Farben.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „An keinem Tag hat Kurt von jeder Farbe gleich viele Schmetterlinge gesehen.“ Die gleiche Anzahl von Schmetterlingen einer Farbe bedeutet, dass die zugehörigen Punkte an diesem Tag identisch sind. An keinem Tag sind alle vier Punkte identisch.

  • „Die Zahl der violetten Schmetterlinge hat während des gesamten Beobachtungszeitraumes abgenommen.“ An jedem folgenden Tag ist die Anzahl kleiner als am vorherigen. Das erkennst du im Liniendiagramm daran, dass die violette Linie immer abfällt.

  • „Die Zahl der roten Schmetterlinge war am fünften Beobachtungstag viel größer als am ersten.“ Die Anzahl am ersten Tag beträgt $1$, am fünften Tag sind es dagegen $8$ rote Schmetterlinge, also viel mehr.

  • „Die relative und absolute Häufigkeit der gelben Schmetterlinge ist an keinem Tag größer als die aller anderen.“ An keinem der fünf Beobachtungstage ist der gelbe Punkt der höchste von allen.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Zahl der blauen Schmetterlinge ist am ersten und fünften Beobachtungstag gleich.“ Die Zahl beträgt am ersten Tag $2$, am fünften Tag aber $4$.

  • „Von allen Schmetterlingen hat sich bei den violetten die Zahl am stärksten verändert, d. h. die Differenz zwischen der größten und der kleinsten beobachteten Anzahl ist für diese Schmetterlinge am größten.“ Die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert beträgt bei den violetten Schmetterlingen $8-2 = 6$, bei den roten Schmetterlingen aber $8-1 = 7$.

  • „Bei jeder Schmetterlingsfarbe hat sich die beobachtete Anzahl von jedem Tag zum nächsten verändert.“ Die Anzahl der gelben Schmetterlinge ist am zweiten und dritten Tag gleich.