Weg, Zeit, Geschwindigkeit – gleiche Richtung

Weg, Zeit, Geschwindigkeit – gleiche Richtung Übung

• Gib den Zusammenhang von Weg, Zeit und Geschwindigkeit an.

  Tipps

  Die Geschwindigkeit hat zum Beispiel die Einheit Kilometer pro Stunde $\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]$.

  Die Formel lautet in Worten: $\text{Zeit} = \frac{\text{Weg}}{\text{Geschwindigkeit}}$.

  Dieses Dreieck könnte dir bei deiner Entscheidung helfen.

  Lösung

  Die Geschwindigkeit $v$ beschreibt, wie schnell ein Körper einen bestimmten Weg $s$ innerhalb einer bestimmten Zeit $t$ zurücklegt. Sie lässt sich mithilfe der Formel

  $\quad v=\frac{s}{t}$

  ermitteln. Durch Äquivalenzumformung kannst du diese Formel sowohl nach dem Weg $s$, als auch nach der Zeit $t$ umstellen. Für die Berechnung der Zeit $t$, die Tom und seine Mutter jeweils für ihre Heimfahrt benötigen, muss diese Formel nach der Zeit $t$ umgestellt werden.

  Dies erfolgt durch Multiplikation der Formel mit der Zeit $t$ und anschließender Division durch die Geschwindigkeit $v$.

  Die Formel für die Berechnung der Zeit $t$ lautet dann:

  $\begin{array}{llll} v &=& \frac{s}{t} & \vert \cdot t\\ v\cdot t &=& s & \vert :v\\ t &=& \frac{s}{v} & \end{array}$

  Du musst dir also eigentlich nur die Formel für die Geschwindigkeit $(v=\frac st)$ merken und diese nach der gesuchten Größe, also der Zeit oder dem Weg, umstellen.

• Berechne die Fahrtzeiten von Tom und seiner Mutter.

  Tipps

  Die Formel für Weg, Zeit und Geschwindigkeit lautet in Worten:

  • $\text{Geschwindigkeit}=\dfrac{\text{Weg}}{\text{Zeit}}$.

  Diese kann durch Äquivalenzumformung nach der Zeit $t$ oder nach dem Weg $s$ umgestellt werden.

  Die Umrechnung von Stunden $\left[\text{h}\right]$ in Minuten $\left[\text{min}\right]$ resultiert aus der Überlegung, dass eine ganze Stunde $60$ Minuten hat. Somit gilt für die Umrechnung:

  $\begin{array}{lllll} &1\ \left[\text{h}\right]\quad&\xrightarrow{\cdot~ 60}&\ &60\ \left[\text{min}\right] \\ \\ &1\ \left[\text{h}\right]\quad&\xleftarrow{:~ 60}&\ &60\ \left[\text{min}\right] \\ \end{array} $

  Lösung

  Wir betrachten hier zwei Fälle, in denen jeweils Geschwindigkeit $v$ und Weg $s$ gegeben sind. Die Weglänge $s$ ist in beiden Fällen identisch. Die Geschwindigkeit $v$ unterscheidet sich. Gesucht ist für beide Fälle die Fahrtzeit $t$ bei gegebener Weglänge $s$ und Geschwindigkeit $v$. Für beide Rechnungen wird die Formel

  $\quad t=\frac{s}{v}$

  verwendet.

  In der Aufgabenstellung sind für Tom folgende Daten gegeben:

  • $v = 25 \ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
  • $s=12,5\ \text{km}$

  Nach Einsetzen in die obige Formel folgt die Fahrtzeit für Tom mit:

  $t = \frac{12,5}{25} = 0,5 \left[ \text{h}\right] = 30 \left[ \text{min}\right].$

  Für Toms Mutter sind gegeben:

  • $v = 50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
  • $s=12,5\ \text{km}$

  Ihre Fahrtzeit kann also wie folgt berechnet werden:

  $t = \frac{12,5}{50} = 0,25 \left[ \text{h}\right] = 15 \left[ \text{min}\right]$.

  Obwohl Tom $10$ Minuten früher losfährt als seine Mutter, schafft er es aufgrund der $15$ Minuten längeren Fahrtzeit nicht mehr den Verweis vor seiner Mutter in die Finger zu kriegen.

• Berechne die fehlenden Größen.

  Tipps

  Für die Berechnung der gesuchten Größen $v$, $s$ und $t$ muss folgende Formel verwendet werden:

  • $v=\frac st$.

  Durch Äquivalenzumformung kannst du diese Formel nach den Größen $s$ und $t$ umstellen.

  Ein ähnliches Beispiel könnte dir helfen:

  Gegeben:

  • $s=12\ \text{km}$
  • $v=30\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$

  Gesucht:

  • $t$ in $\left[\text{h}\right]$

  Lösung:

  $\quad t=\frac{s}{v}=\frac{12}{30}=0,4\ \left[\text{h}\right]$.

  Lösung

  Es sind immer zwei Größen von $v$, $s$ und $t$ bekannt. Die gesuchte Größe muss mit dem Zusammenhang

  • $v = \frac st$

  und deren Äquivalenzumformung berechnet werden.

  Beispiel 1:

  Gegeben:

  • $s=1860\ \text{km}$
  • $v=744\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$

  Gesucht:

  • $t$ in $\left[\text{h}\right]$

  Lösung:

  $\quad t=\frac{s}{v}=\frac{1860}{744}=2,5\ \left[\text{h}\right]$

  Der Flug von Berlin nach Barcelona dauert also $t=2,5$ Stunden. Somit landet der Flieger um 14:15 Uhr.

  Beispiel 2:

  Gegeben:

  • $s=25\ \text{m}$
  • $v=20\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$

  Gesucht:

  • $t$ in $\left[\text{s}\right]$

  Lösung:

  $\quad t=\frac{s}{v}=\frac{25}{20}=1,25\ \left[\text{s}\right]$

  Der Torwart darf eine maximale Reaktionszeit von $t=1,25$ Sekunden haben, wenn er den Ball noch halten soll.

  Beispiel 3:

  Gegeben:

  • $s=2000\ \text{m}$
  • $t=160\ \text{s}$

  Gesucht:

  • $v$ in $\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$

  Lösung:

  $\quad v=\frac st=\frac{2000}{160}=12,5\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$

  Das Rennpferd Amadeus hat eine Geschwindigkeit von $v=12,5\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Beispiel 4:

  Gegeben:

  • $v=30\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
  • $t=0,1\ \text{h}$

  Gesucht:

  • $s$ in $\left[\text{km}\right]$

  Lösung:

  $\quad s=v\cdot t=30\cdot 0,1=3\ \left[\text{km}\right]$

  Die Katze hat während ihrer Flucht eine Strecke von $s=3\ \text{km}$ zurückgelegt.

• Ermittle die fehlenden Größen und vergleiche diese.

  Tipps

  Achte auf die Einheiten der gegebenen Größen.

  Für die Umrechnung von Kilometer $\left[\text{km}\right]$ und Meter $\left[\text{m}\right]$ gilt:

  $\begin{array}{lllll} &1\ \left[\text{km}\right]\quad&\xrightarrow{\cdot~ 1000}&\ &1000\ \left[\text{m}\right] \\ &1\ \left[\text{km}\right]\quad&\xleftarrow{:~1000}&\ &1000\ \left[\text{m}\right] \end{array} $

  Die Umrechnung von Kilometer pro Stunde $\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]$ und Meter pro Sekunde $\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$ erfolgt mit:

  $\begin{array}{lllll} &3,\!6\ \left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]\quad&\xrightarrow{:~3,6}&\ &1\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right] \\ &3,\!6\ \left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]\quad&\xleftarrow{\cdot~ 3,6}&\ &1\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right] \end{array} $

  Für beide Läufer ist eine Weglänge von $s=0,1\ \text{km}$ gegeben. Gesucht sind für:

  Läufer 1: Zeit $t_1$ mit einer Geschwindigkeit von $v_1=4\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$

  Läufer 2: Geschwindigkeit $v_2$ mit einer Zeit von $t_2=20\ \text{s}$

  Durch Äquivalenzumformung kannst du beide Berechnungen mit folgender Formel durchführen:

  • $v=\frac st$.

  Lösung

  Gegeben sind folgende Daten:

  Entfernung: $s=0,\!1\ \text{km}$
  Läufer 1: $v_1=4\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
  Läufer 2: $t_2=20\ \text{s}$

  Beide Läufer müssen eine Entfernung von $s=100\ \text{m}$ zurücklegen.

  Zunächst soll die fehlende Größe – die benötigte Zeit $t_1$ – für den Läufer 1 berechnet werden. Die Berechnung erfolgt mit der Formel $t_1=\frac{s}{v_1}$ und liefert folgende Lösung:

  $t_1=\frac{100}{4}=25\ \left[\text{s}\right]$.

  Für Läufer 2 muss die Geschwindigkeit wie folgt ermittelt werden:

  $v_2=\frac{s}{t_2}=\frac{100}{20}=5\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$.

  Somit treffen folgende Aussagen zu:

  • $v_1 < v_2$
  • $t_1 > t_2$
  • $s_1 = s_2$

• Benenne die Größen in der Formel für Weg, Zeit und Geschwindigkeit.

  Tipps

  Der englische Begriff für die Geschwindigkeit lautet velocity.

  Die Geschwindigkeit beschreibt den zurückgelegten Weg pro Zeit und hat zum Beispiel die Einheit Kilometer pro Stunde $\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]$.

  Lösung

  Die Geschwindigkeit beschreibt, wie schnell ein bestimmter Weg zurückgelegt wird. Um diese zu berechnen, muss der Weg durch die Zeit geteilt werden. In Worten lautet die Formel also:

  • $\text{Geschwindigkeit}=\frac{\text{Weg}}{\text{Zeit}}$.

  Das Formelzeichen für die Geschwindigkeit, also $v$, wird von dem englischen Begriff velocity bzw. dem lateinischen Begriff velocitas abgeleitet. Das Formelzeichen $v$, welches die Zeit beschreibt, hat seinen Ursprung im englischen Begriff time bzw. im lateinischen Begriff tempus. Für den Weg verwenden wir das Formelzeichen $s$, welches aus der englischen Bezeichnung space bzw. der lateinischen Bezeichnung spatium resultiert.

  Damit ergibt sich also die Formel:

  • $v = \frac st$.

• Bestimme für unterschiedliche Szenarien die gesuchte Größe.

  Tipps

  Für das ursprüngliche Szenario wurden folgende Ankunftszeiten berechnet:

  • Mutter: 15:15 Uhr mit einer Fahrtzeit von $t_{Mutter}=15\ \text{min}$
  • Tom: 15:20 Uhr mit einer Fahrtzeit von $t_{Tom}=30\ \text{min}$

  Szenario 1: Tom kommt $5$ Minuten vor seiner Mutter zu Hause an, also um 15:10 Uhr.
  Szenario 2: Toms Mutter kommt $10$ Minuten nach Tom zu Hause an, also um 15:30 Uhr.

  Folgende Überlegungen müssen für die Berechnung der gesuchten Größen berücksichtigt werden:

  Szenario 1: Toms Bus fährt um 14:50 Uhr ab und soll um 15:10 Uhr ankommen. Damit resultiert eine neue Fahrtzeit für Tom von $t_{Tom}=20\ \text{min}$.

  Szenario 2: Toms Mutter macht um 15:00 Uhr Feierabend und soll um 15:30 Uhr zu Hause ankommen. Damit resultiert eine neue Fahrtzeit für Toms Mutter von $t_{Mutter}=30\ \text{min}$.

  Lösung

  Für das ursprüngliche Szenario im Video wurden folgende Daten angenommen:

  Entfernung: $s=12,5\ \text{km}$

  Mutter: Abfahrt 15:00 Uhr, $v_{Mutter}=50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$

  Tom: Abfahrt 14:50 Uhr, $v_{Tom}=25\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$

  Mit diesen wurde berechnet, dass Toms Mutter für den Heimweg eine Viertelstunde braucht und demnach um 15:15 Uhr zu Hause ankommt. Toms Heimfahrt hingegen dauert eine halbe Stunde, sodass er um 15:20 Uhr zu Hause ist.

  Nun betrachte man die neuen Szenarien:

  Szenario 1:

  Gesucht ist diejenige Geschwindigkeit $v_{Tom}$, bei der Tom fünf Minuten vor seiner Mutter zu Hause ankommt. Das heißt, dass er um 15:10 Uhr zu Hause sein muss und somit eine Fahrtzeit von $20$ Minuten bzw. $\frac{1}{3}$ Stunde haben darf.

  Mit der ermittelten Fahrtzeit $t_{Tom}=\frac{1}{3}\ \text{h}$ und der bekannten Weglänge $s=12,5\ \text{km}$ kann nun die gesuchte Geschwindigkeit $v_{Tom}$ berechnet werden.

  Für diese resultiert:

  $v_{Tom}=\frac{s}{t_{Tom}}=\frac{12,5}{\frac{1}{3}}=\frac{12,5\cdot 3}{1}=37,5\ \left[\text{h}\right]$.

  Szenario 2:

  Gesucht ist diejenige Entfernung $s_{Mutter}$, bei der Toms Mutter genau zehn Minuten nach Tom zu Hause antrifft. Das heißt, dass sie um 15:30 Uhr zu Hause sein muss und somit eine Fahrtzeit von $30$ Minuten bzw. $\frac{1}{2}$ Stunde haben müsste.

  Mit der ermittelten Fahrtzeit $t_{Mutter}=\frac{1}{2}\ \text{h}$ und der bekannten Geschwindigkeit $v_{Mutter}=50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ kann nun die gesuchte Weglänge $s_{Mutter}$ berechnet werden.

  Für diese resultiert:

  $s_{Mutter}=v_{Mutter}\cdot t_{Mutter}=50\cdot \frac{1}{2}=25\ \left[\text{km}\right]$.