Weg, Geschwindigkeit, Zeit – unterschiedliche Richtungen

Weg, Geschwindigkeit, Zeit – unterschiedliche Richtungen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Objekten, die sich in unterschiedliche Richtungen bewegen.

  Tipps

  Du kannst die letzte Variable einer Formel berechnen, wenn du alle bis auf diese Variable gegeben hast.

  Zwei Objekte können nur zusammenstoßen, wenn sie zur gleichen Zeit am gleichen Ort sind.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die für die Berechnung notwendigen Größen hängen wie folgt zusammen: Zeit ist gleich Geschwindigkeit mal Weg."

  • In der Formel ist die Zeit gleich Weg geteilt durch Geschwindigkeit, also $t=\frac{s}{v}$.

  „In jeder beliebigen Formel, unabhängig davon, wie viele Variablen sie besitzt, kannst du die letzte Variable ausrechnen, wenn du zwei beliebige Variablen gegeben hast.“

  • Du kannst die letzte Variable einer Formel berechnen, wenn du alle bis auf diese Variable gegeben hast. Eine Formel kann allerdings beliebig viele Variablen haben. Beispielsweise kannst du die letzte Variable einer Formel mit insgesamt zehn Größen erst berechnen, wenn du neun dieser Größen gegeben hast.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Starten zwei Objekte gleichzeitig und bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aufeinander zu, ist die Zeit, die bis zum Aufprall vergeht, für beide Objekte gleich.“

  • Zwei Objekte können nur zusammenstoßen, wenn sie zur gleichen Zeit am gleichen Ort sind. Wenn sie also zur gleichen Zeit starten, muss für beide gleich viel Zeit vergangen sein.

  „Eine Formel für den Zusammenhang von Strecke $s$, Geschwindigkeit $v$ und Zeit $t$ lautet: $s=v \cdot t$“

  „Bewegen sich zwei Objekte aufeinander zu, legen sie gemeinsam die Distanz zwischen ihnen zurück. Das heißt, dass sich beim Zusammenstoß die zurückgelegten Strecken der einzelnen Objekte zur gesamten anfänglichen Distanz addieren.“

  • Wenn die Objekte zuvor eine bestimmte Distanz zueinander hatten und anschließend am gleichen Ort sind, muss genau diese Strecke zurückgelegt worden sein.

• Berechne die Zeit und den Ort des Crashs zweier Autos.

  Tipps

  In die allgemeine Formel für die zurückgelegte Strecke kannst du die gegebenen Größen einsetzen.

  Die Autos bewegen sich gleichmäßig aufeinander zu. Insgesamt müssen sie eine bestimmte Strecke zurücklegen. Das kannst du ausnutzen, um die vergangene Zeit zu berechnen.

  Lösung

  Die Lücken kannst du so vervollständigen:

  „Die Strecke $s$, die jedes Auto nach einer bestimmten Zeit $t$ zurückgelegt hat, kannst du angeben durch:

  $s=v \cdot t$

  Damit gilt für Auto $1$:

  $s_1=50 \cdot t$

  Und für Auto $2$ gilt:

  $s_2=70 \cdot t$

  • Die allgemeine Formel für eine zurückgelegte Strecke lautet $s=v \cdot t$. Hier kannst du die gegebenen Größen einsetzen.

  „Die Autos legen zusammen eine Strecke von $s=1,\!2~\text{km}$ zurück. Damit gilt:

  $s_1+s_2=1,\!2$

  Setzt du die Größen ein, kannst du die Zeit ausrechnen:

  $50 \cdot t + 70 \cdot t=1,\!2$

  Also erhältst du für die vergangene Zeit: $t=0,\!01\text{h}$

  • Die Autos bewegen sich gleichmäßig aufeinander zu. Insgesamt müssen sie eine Strecke von $1,2~\text{km}$ zurücklegen. Das kannst du ausnutzen, um die vergangene Zeit zu berechnen. Diese muss für beide Autos gleich sein.

  „Mit den Formeln für die zurückgelegten Strecken der beiden Autos erhältst du:

  $s_1=50 \cdot 0,\!01=0,\!5$

  Das erste Auto hat also bis zum Crash eine Strecke von $0,\!5~\text{km}$ zurückgelegt. Für das zweite Auto erhältst du:

  $s_1=70 \cdot 0,\!01=0,\!7$.

  Es legte also $0,\!7~\text{km}$ zurück.

  • Mit der berechneten Zeit kannst du die zurückgelegten Strecken der Autos bestimmen. In Aufgaben mit verschiedenen bewegten Objekten ist es immer hilfreich, zuerst die vergangene Zeit zu bestimmen.

• Berechne die Zeit und den Ort des Zusammenstoßes zweier Motorräder.

  Tipps

  Die Strecke $s$, die jedes Motorrad nach einer bestimmten Zeit $t$ zurückgelegt hat, kannst du angeben durch:

  $s=v \cdot t$

  Stelle eine Gleichung für die zurückgelegte Strecke jedes Motorrads auf.

  Lösung

  Die gesuchten Größen kannst du folgendermaßen berechnen. Die Einheiten lassen wir in den Rechnungen weg. Das dient der Übersichtlichkeit.

  Die Formel für die Strecke, die das erste Motorrad nach einer Zeit $t$ zurücklegt, lautet:

  $s_1=30 \cdot t$

  Die Formel für das zweite Motorrad lautet:

  $s_2=20 \cdot t$

  Zusammen legen die beiden Motorräder eine Strecke von $1~\text{km}$ zurück. Daraus ergibt sich:

  $s=s_1+s_2=30 \cdot t+20 \cdot t=1$

  Nach $t$ aufgelöst ergibt das: $t=0,\!02 ~\text{h}$. Das können wir in die Formeln für die Strecken $s_1$ und $s_2$ einsetzen und erhalten:

  $s_1=0,\!6 ~\text{km}$

  $s_2=0,\!4 ~\text{km}$

• Ermittle die fehlenden Geschwindigkeiten.

  Tipps

  Überlege dir, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt werden muss und wende dann folgende Formel an:

  $v=\frac{s}{t}$

  Lösung

  So kannst du die Geschwindigkeiten berechnen:

  Janina muss $4~\text{km}$ zurücklegen. Wenn sie mit einer Geschwindigkeit von $4~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ läuft, braucht sie genau eine Stunde, denn:

  $t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{4~\text{km}}{4~\frac{\text{km}}{\text{h}}}= 1 ~\text{h}$

  Joachim läuft $8~\text{km}$, die er in einer Stunde zurücklegen muss. Also braucht er eine Geschwindigkeit von:

  • $v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{8~\text{km}}{1~\text{h}}=8~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

  In der zweiten Situation hat Joachim für seine $8~\text{km}$ genau $40$ Minuten Zeit, das sind $\frac{2}{3}~\text{h}$. Damit ergibt sich:

  • $v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{8~\text{km}}{\frac{2}{3}~\text{h}}=12~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

  In der dritten Situation müssen beide gleich schnell und gleich weit laufen. Damit ergibt sich:

  • $v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{6~\text{km}}{1~\text{h}}=6~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

  In der letzten Situation muss Janina $10~\text{km}$ in einer Stunde laufen. Das ergibt eine Geschwindigkeit von:

  • $v=\dfrac{10~\text{km}}{1~\text{h}}=10~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

• Ergänze die fehlenden Werte.

  Tipps

  Um die Tabelle zu vervollständigen, musst du die Größen in Verbindung setzen. Dafür kannst du folgende Formel verwenden und sie so umstellen, dass du die gesuchte Größe berechnen kannst:

  $v=\frac{s}{t}$

  Für die Berechnung einer Strecke bringst du die Formel in folgende Form:

  $s=v \cdot t$

  Lösung

  Um die Tabelle zu vervollständigen, musst du die Größen in Verbindung setzen. Dafür kannst du die Formel

  $v=\frac{s}{t}$

  verwenden und sie so umstellen, dass du die gesuchte Größe berechnen kannst.

  Für die erste Geschwindigkeit erhältst du:

  $v=\frac{s}{t}=\frac{0,5~\text{km}}{0,01~\text{h}}= 50~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

  Die erste Zeit berechnest du durch:

  $t=\frac{s}{v}=\frac{0,7~\text{km}}{70~\frac{\text{km}}{\text{h}}}= 0,\!01~\text{h}$

  Für die erste Strecke erhältst du:

  $s=v \cdot t=90~\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 0,\!01~\text{h} = 0,\!9~\text{km}$

  Damit kannst du die Tabelle vervollständigen zu:

  $\begin{array}{l|l|l} \text{Strecke in km} & \text{Zeit in h} & \text{Geschwindigkeit in } \frac{\text{km}}{\text{h}} \\ \hline 0,\!5 & 0,\!01& 50\\ 0,\!7 & 0,\!01& 70\\ 0,\!9 & 0,\!01&90 \\ 1,\!2 & 0,\!01& 120\\ \end{array}$

• Erschließe, ob der Ball im Tor landet.

  Tipps

  Um zu bestimmen, welche der Geschwindigkeitsangaben auf das Tor treffen, musst du zuerst bestimmen, wann der Ball die $11~\text{m}$ zum Tor zurückgelegt hat. Dann setzt du diese Zeit in die Formel der Geschwindigkeit $v_y$ ein, welche die Bewegung des Balls in Richtung der Ecke des Tors beschreibt. So kannst du die Strecke ausrechnen, die der Ball in diese Richtung zurücklegt. Ist diese Strecke kleiner als $3$, trifft der Ball aufs Tor.

  Wird der Ball mit $v_x=25~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_y=2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geschossen, kannst du zunächst die Zeit, die der Ball zum Tor benötigt, so berechnen:

  $t=\frac{x}{v_x}=\frac{11~\text{m}}{25~\frac{\text{m}}{\text{s}}}= 0,\!44 ~\text{s}$

  Anschließend überprüfst du, wie weit der Ball in dieser Zeit in $y$-Richtung geflogen ist:

  $y=v_y \cdot t = 2~\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0,\!44~\text{s} = 0,88~\text{m}$

  Da der Ball in $y$-Richtung nur $0,\!88~\text{m}$ geflogen ist, was weniger als die $3~\text{m}$ zum Pfosten sind, landet der Ball im Tor.

  Lösung

  Um zu bestimmen, welche der Geschwindigkeitsangaben auf das Tor treffen, musst du zuerst bestimmen, wann der Ball die $11~\text{m}$ zum Tor zurückgelegt hat. Dann setzt du diese Zeit in die Formel der Geschwindigkeit $v_y$ ein, welche die Bewegung des Balls in Richtung der Ecke des Tors beschreibt. So kannst du die Strecke ausrechnen, die der Ball in diese Richtung zurücklegt. Ist diese Strecke kleiner als $3$, trifft der Ball aufs Tor. Zum Beispiel erhältst du für:

  „Die dritte Schützin Johanna tritt den Ball mit Geschwindigkeitskomponenten von $v_x=20~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_y=6~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.“

  Die Zeit, die der Ball zum Tor benötigt, beträgt:

  $t=\frac{x}{v_x}=\frac{11~\text{m}}{20~\frac{\text{m}}{\text{s}}}= \frac{11}{20}~\text{s}$

  Die Variable $x$ bezeichnet die Strecke, die der Ball in diese Richtung zurücklegt. Setzen wir die berechnete Zeit in die Gleichung der Geschwindigkeit in $y$-Richtung ein, erhalten wir:

  $y=v_y \cdot t = 6~\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac{11}{20}~\text{s} = \frac{66}{20}~\text{m} \approx 3,\!3 ~\text{m}$

  Dieser Schuss geht also am Tor vorbei. Die Variable $y$ bezeichnet die Strecke, die der Ball in diese Richtung zurücklegt. Die anderen Schüsse kannst du analog analysieren. So erhältst du:

  Folgender Schuss geht auch nicht aufs Tor:

  “Alyssas zweiter Schuss gelingt mit Geschwindigkeitskomponenten von $v_x=15~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_y=5~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.“

  • Hier trifft der Ball $3,\!\bar{6}~\text{m}$ vom Mittelpunkt des Tors entfernt auf.

  Folgende Schüsse gehen aufs Tor:

  „Alyssas erster Schuss gelingt mit einer Geschwindigkeit zum Tor von $v_x=11~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und einer Geschwindigkeit vom Mittelpunkt entfernt von $v_y=2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.“

  • Hier trifft der Ball $2~\text{m}$ vom Mittelpunkt des Tors entfernt auf.

  „Alyssas Freundin Maria schießt mit Geschwindigkeiten von $v_x=15~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_y=4~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.“

  • Hier trifft der Ball $2,\!9\bar{3}~\text{m}$ vom Mittelpunkt des Tors entfernt auf.

  „Marias zweiter Schuss passiert mit $v_x=13~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_y=3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.“

  • Hier trifft der Ball ca. $2,\!54~\text{m}$ vom Mittelpunkt des Tors entfernt auf.